高考文数题型秘籍21简单的三角恒等变换解析版.docx

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高考文数题型秘籍21简单的三角恒等变换解析版

专题21简单的三角恒等变换-

【高频考点解读】

1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式、但对这三组公式不要求记忆）.

【热点题型】

题型一已知三角函数值求值

例1、已知角A、B、C为△ABC的三个内角、＝（sinB＋cosB、cosC）、＝（sinC、sinB－cosB）、·＝－.

（1）求tan2A的值；

（2）求的值．

【举一反三】

已知α∈（、π）、且sin＋cos＝.

（1）求cosα的值；

（2）若sin（α－β）＝－、β∈（、π）、求cosβ的值．

【热点题型】

题型二已知三角函数值求角

例2、如图、在平面直角坐标系xOy中、以Ox轴为始边做两个锐角α、β、它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点、已知A、B两点的横坐标分别为、.

（1）求tan（α＋β）的值；

（2）求α＋2β的值．

【提分秘籍】

（1）已知某些相关条件、求角的解题步骤：

①求出该角的范围；

②结合该角的范围求出该角的三角函数值．

（2）根据角的函数值求角时、选取的函数在这个范围内应是单调的．

【举一反三】

已知向量a＝（sinθ、－2）与b＝（1、cosθ）互相垂直、其中θ∈（0、）．

（1）求sinθ和cosθ的值；

（2）若sin（θ－φ）＝、0<φ<、求φ的值．

【热点题型】

题型三正、余弦定理的应用

例3、在△ABC中、内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知＝.

（1）求的值；

（2）若cosB＝、b＝2、求△ABC的面积S.

【提分秘籍】

（1）利用正弦定理、实施角的正弦化为边时只能是用a替换sinA、用b替换sinB、用c替换sinC.sinA、sinB、sinC的次数要相等、各项要同时替换、反之、用角的正弦替换边时也要这样、不能只替换一部分；

（2）以三角形为背景的题目、要注意三角形的内角和定理的使用．像本例中B＋C＝60°；

（3）在求角的大小一定要有两个条件才能完成：

①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来判断角的大小时、一定要注意角的范围及三角函数的单调性．

【举一反三】

在锐角△ABC中、a、b、c分别为A、B、C所对的边、且a＝2csinA.

（1）确定角C的大小；

（2）若c＝、且△ABC的面积为、求a＋b的值．

【热点题型】

题型四解三角形与实际问题

例4、如图、A、B是海面上位于东西方向相距5（3＋）海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号、位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救、其航行速度为30海里/时、该救援船到达D点需要多长时间？

【提分秘籍】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：

（1）分析题意、准确理解题意、分清已知与所求、尤其要理解题中的有关名词、术语、如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；

（2）根据题意画出示意图、并将已知条件在图形中标出；

（3）将所求问题归结到一个或几个三角形中、通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；

（4）检验解出的结果是否具有实际意义、对结果进行取舍、得出正确答案．

【举一反三】

如图所示、上午11时在某海岛上一观察点A测得一轮船在海岛北偏东60°的C处、12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处、12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口、如果轮船始终匀速直线前进、问船速为多少？

【高考风向标】

1．（2014·福建卷）已知函数f（x）＝2cosx（sinx＋cosx）．

（1）求f的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

2．（2014·全国卷）函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．

3．（2014·全国卷）直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为（1、3）、则l1与l2的夹角的正切值等于________．

4．（2014·全国新课标卷Ⅰ]若tanα＞0、则（　　）

A．sinα＞0B．cosα＞0

C．sin2α＞0D．cos2α＞0

5．（2014·四川卷）已知函数f（x）＝sin.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角、f＝coscos2α、求cosα－sinα的值．

6．（2013·北京卷）已知函数f（x）＝（2cos2x－1）sin2x＋cos4x.

（1）求f（x）的最小正周期及最大值；

（2）若α∈、且f（α）＝、求α的值．

7．（2013·新课标全国卷Ⅱ]已知sin2α＝、则cos2＝（　　）

A.B.

C.D.

8．（2013·四川卷）设sin2α＝－sinα、α∈、π、则tan2α的值是________．

9．（2013·重庆卷）设0≤α≤π、不等式8x2－（8sinα）x＋cos2α≥0对x∈R恒成立、则α的取值范围为________．

【随堂巩固】

1．已知sin＝、cos＝－、则角θ所在的象限是（　　）

A．第一象限　　　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

2．已知sinα＝、则cos4α的值是（　　）

A.B．－

C.D．－

3．若－2π<α<－、则的值是（　　）

A．sinB．cos

C．－sinD．－cos

4．已知θ为第二象限角、sin（π－θ）＝、则cos的值为（　　）

A.B.

C．±D．±

5．已知x∈（、π）、cos2x＝a、则cosx＝（　　）

A.B．－

C.D．－

6．若cosα＝－、α是第三象限角、则＝（　　）

A．－B.

C．2D．－2

7．已知cos2α＝、则sin2α＝________.

8．＝－3、则tan2B＝________.

9．设α是第二象限角、tanα＝－、且sin

10．化简：

sin（－x）＋cos（－x）

11．求的值．

12．已知函数f（x）＝sin2x－2sin2x.

（1）求函数f（x）的最大值；

（2）求函数f（x）的零点的集合．