高中数学异面直线夹角自编Word文件下载.docx
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则ZCiBE就是异面直线DB与BG所成的角,连结6£
在4BGE中,
ZGBE=i35,CiE=35,
cosZGBE=^34,/ZCBEwrccos7^34。
i70i70
课堂思考:
1•如图,PA矩形ABCD,已知PA=AB=8,BC=10,求AD与PC所成角的余切值为。
2.在长方体ABCDAiBiCiDi中,若棱BBi=BC=1AB=/3,求DB和AC所成角的余弦值•
【例2】如图所示,长方体AiBiCiDi-ABCD中,/ABAi=45。
,/AiADi=60°
,求异面直线AiB与ADi所成的角的度数•
中位线平移法
分析:
构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为平面问题,解三角形求之。
如图①连结BiC交BCi于0,过0点作OE//DBi,贝卩/BOE为所求的异面直线DBi与BCi所成的角。
连结EB,由已知有BiD=、34,BCi=5,
,…cos/BOE=
2I70
/•ZBOE^arccos—
I70
图①
如图②,连DBAC交于O点,过O点作OE//DB,过E点作EF
//CB,则/OEF或其补角就是两异面直线所成的角,过0点作OM/DC连结
MFOF。
贝SOF&
73,cos/OEF二迺,二异面直线BD与BG所成的角为
2170
A/34
arccos—
解法三:
如图③,连结DB交DB于0,连结DA,则四边形ABGD为平行四边形。
在平行四边形ABGD中过点0作EF//BG交ABDG于E、F,则/DOF或其补角就是异面直线DB与BG所成的角。
在△ADF中DF=3迈,cos/
2
DOfZ^4,二/DOF=arccos乙岂。
170170
课堂练习
1•在正四面体ABG[中,已知E是棱BC的中点,求异面直线AE和BD所成角的余弦值。
补形法
在已知图形外补作一个相同的几何体,以例于找出平行线。
如图⑥,以四边形ABCD为上底补接个高为4的长方体
ABCD-ABGD,连结DB,贝卩DB//DB,「./GBD或其补角就是异面直线DB与
•••异面直线DB与BG所成的角是arccos7i734
课堂练习:
求异面直线A1C1与BD1所成的角
在长方体ABCD-A1B1C1啲面BC1上补上一个同样大小的长方体,将AC平移到BE,则/D1BE
或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角,在厶BD1E中,BD1=3
二、矢量法。
利用向量,设而不找,对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法
之一。
常有向量几何法和向量代数法两种。
如图⑦,连结DBDC,设异面直线DB与BC所成的角为
=|DB」|BBjcos〈DB,BB>
+|DBj|B1Cjcos〈DB1,B1C1>
BB//DD
〈DB1,BB1>
=〈DD1,DB1>
=ZDDB
4
cos/DDB=—
V34
〈DB1,BQ>
=180°
—/DBG
cos/DBG二
3
/.cos〈DBj,
B1G1>
=一cos/DBG=—
DBiBGi=7
7「34
cos=
170
A34
arccos—
如图⑧,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(3,3,0),B
(3,3,4),D(0,0,0),G(3,0,4)设DB1和BC1的夹角为,
SfCCng
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为'
-
向量代数法:
葩・〔-&
72),忑・总厂卩)
以D为坐标原点,DCDADD1分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,0)、
C(2,0,0),B(2,1,0)、D1(0,0,2),
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
二、公式法
公式法实质是矢量几何法的推广:
AB2AC2BC2AD2AC2CD2
AD2BC2AB2CD2
22
cADa-PECa-AEa-DCa
cost1-
2AC-BD
所以有:
长方体ABCD-A1B1C1D中,AB=AA仁2cmAD=1crp求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解:
连结BC1A1B在四面体为臼,易求得
由定理得:
辭■込竺上心£
2A1C1-BD1
所以
已知平面的斜线a与内一直线b相交成B角,且a与相交成1角,a在上的射影
c与b相交成2角,则有cos1cos2cos
公式2用几何法研究:
在平面的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线POPB垂足为OB
异面直线AB与CCi所成的角的余弦值为(D)
讲解习题:
例1在长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=3AA=4.求异面直线AB和AD所成的角的余弦.(如图1)
例2在长方体ABC-ABCD中,/CBC=45,/BAB=60.求AB与BC所成角的余弦.(如图2)
例3已知正方体的棱长为a,M为AB的中点,N为BB的中点.求AM与CN所成的
角的余弦.(如图3)(1992年高考题)
作业:
k在长方体ABCD—凫]B&
]D]中,AB=27WTEC=5?
E1B=12.求BD】和所成的角的余弦•[需|]
2.在长方体ABCD-中,CD二乎,DD;
6求儿併EIER所成角的大小•阳]
3.在棱长为a的正方体ABCD-ABGD中,0是正方形ABCD勺中心,E,F分别是AB,BC中点.求:
(1)异面直线AD和CD的距离;
(2)异面直线C10和EF的距离.
rJ5
3)呂
4.在长方体ABCD-ABCD中,/BAB=/BAQ=30°
.求:
(1)AB与AC所成的角的度数;
(2)AiA与CB所成的角的度数;
(3)AB与AC所成的角的余弦.
「31
30°
;
仔!
一
5、如图,在三棱锥S-ABC中,E、F分别是SC、AB的中点,且EF5,SA6,BC8,则异
面直线SA与BC的夹角为多少?
将上例中的问题改为求SF与BE所成角的余弦值.
连结CF,Q取CM的中点G,连结EG、BG,贝UEG//SF,二/BEG为异面直线SF、BE
所成的角•在ABEG中,利用余弦定理可解得:
COS/BEG=3.
高考题:
例1(2005年全国高考福建卷)如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AAi=AB=2,AD=1,点E、F、G
分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是()
连B1G,贝UA1E//B1G,知/B1GF就是异面直线A1E与GF所成的角.在△BQF中,由余弦
定理,得
BG2GF2B1F2
C0SB1GF=———
2BG?
GF
评注:
本题是过异面直线FG上的一点G,作B1G,则A1E//B1G,知/B1GF就是所求的角,从而纳入三角形中解决.
此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N
故例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE丄AB于E(如图).现将厶ADE沿DE折起,使二面角A—DE—B为45
的连线与AE所成角的大小等于
1
ED.
取AE中点G,连结GM、BG
•/GM//ED,BN//ED,GM=一EDBN=
2,
•••GM//BN,且GM=BN.
•••BNMG为平行四边形,•MN//BG
•/A的射影为B.
•AB丄面BCDE.
/又•••G为中点,•BG丄AE.
B即MN丄AE.
E•-MN与AE所成角的大小等于90度.
A故
填三、平移(或构造)几何体
Z有些问题中,整体构造或平移几何体,能简化解题过程
B例3(2005年全国高考天津卷)如图,PA平面ABC,ACB90且PAACBCa,则异
面直线PB与AC所成角的正切值等于.
E解:
将此多面体补成正方体DBCAD'
B'
C'
P,PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线
PB与棱BD所成角的大小,在Rt△PDB中,即tanDBA史2.故填2.DB
,点评:
本题是将三棱柱补成正方体DBCAD'
P,从而将问
题简化.
[例4]在棱长为a的正方体ABCD—A'
B'
C'
D'
中,E、F分别是BC、A'
的中点.
⑵解:
如图所示,在平面ABCD内,过C作CP//DE,交直线AD于P,
则/A'
CP(或补角)为异面直线A'
C与DE所成的角.
故A'
C与DE所成角为arccos」5.
15
侧棱AA1
[例5:
如下图,已知平行六面体ABCD—AiBiCiDi中,底面ABCD是边长为a的正方形,长为b,且AAi与AB、AD的夹角都是120°
.
求:
(1)ACi的长;
⑵直线BDi与AC所成的角的余弦值.
技巧与方法:
数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用
(1)|AC1|2AC1AC1(AA,AC)(AAiAC)
(AA1ABAD)(AA'
ABAD)
|AA|2|AB|2|AD|22AA(AB2AA(AD2ABAD
由已知得:
|AA1|2b2,|AB|2|AD|2a2
Aa1,ABAA1,AD120,AB,AD90
11
AA|ABbacos120ab,AA-iADbacos120ab,ABAD0,
|AC^|22a2b22ab,|AC1|.2a2b22ab.
(2)依题意得,|AC|.2a,ACABAD
BD1
AC
b
IBD1
l|AC|
4a22b2
bd1AdBAAA1AdAb
ACBD1(ABAD)(AA1ADAB)
AbAA1AdAA1Ab
AD
AD2AB2
AB
ab
—2
|BD1|2BD1BD1(AA1
AB)(AA1
AB)
一222
IAA1||AD||AB|
2AA1
AD2AB
2AA
AB2a2b2
|BD1|2a2b2cosBD1,AC
-BD1与AC所成角的余弦值为
•4a22b2