高中数学异面直线夹角自编Word文件下载.docx

1、则Z CiBE就是异面直线DB与BG所成的角，连结6,在4 BGE中,Z GBE=i35, CiE=3 5 ,cos Z GBE=34 , /Z CBEwrccos734。i70 i70课堂思考:1如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8 , BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。2.在长方体ABCDAiBiCiDi中，若棱B Bi=BC=1 AB=/3，求D B和AC所成角的余弦值【例2】 如图所示，长方体 AiBiCiDi-ABCD中，/ ABAi=45。，/AiADi=60，求异面直线 AiB与 ADi所成的角的度数中位线平移法分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异

2、面直线所成的 角转化为平面问题，解三角形求之。如图连结BiC交BCi于0,过0点作OE/ DBi,贝卩/ BOE为 所求的异面直线DBi与BCi所成的角。连结EB，由已知有BiD=、34，BCi=5,，cos / BOE=2 I70/Z BOEarc cos I70图如图，连DB AC交于O点，过O点作OE/ DB，过E点作EF/ CB,则/ OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过 0点作OM/ DC连结MF OF。贝S OF&73 , cos / OEF二迺，二异面直线 BD与BG所成的角为2 170A/34arc cos 解法三：如图，连结DB交DB于0,连结DA,则四边形ABGD为平行

3、 四边形。在平行四边形 ABGD中过点0作EF/ BG交AB DG于E、F,则/ DOF 或其补角就是异面直线 DB与BG所成的角。在 ADF中DF=3迈,cos /2DOfZ4，二/ DOF=arc cos 乙岂。170 170课堂练习1 在正四面体ABG中，已知E是棱BC的中点，求异面直线 AE和BD所成角的余弦值。补形法在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。如图，以四边形 ABCD为上底补接 个高为 4的长方体ABCD-ABGD，连结 DB,贝卩DB/ DB,./ GBD或其补角就是异面直线 DB与异面直线DB与BG所成的角是arc cos 7i734课堂练习：求异面直线

4、A1C1与BD1所成的角在长方体ABCD-A1B1C1啲面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE,则/ D1BE或其补角就是异面直线 A1C1与BD1所成的角，在厶BD1E中, BD1=3二、矢量法。利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。常有向量几何法和向量代数法两种。如图，连结DB DC，设异面直线DB与BC所成的角为=|DB|BBj cos DB，BB +|DBj |B1Cj cos DB1，B1C1 BB / DDDB1， BB1 = DD1， DB1 =Z DDB4cos / DDB=V34DB1 , BQ =180/ DBGcos /

5、DBG二3/. cos DBj ,B1G1 =一 cos / DBG =DBi BGi =7734cos =170A 34arccos如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B （3, 3, 0）, B （3, 3, 4），D（0, 0, 0），G（3, 0, 4） 设DB1和BC1的夹角为，SfCC ng所以异面直线A1C1与BD1所成的角为 -向量代数法:葩-&72）,忑总厂卩）以D为坐标原点，DC DA DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则 A（0, 1, 0）、C （2, 0, 0）, B （2, 1, 0）、 D1 （0, 0, 2）,所以异面直线 A1C1与BD1所成的

6、角为二、公式法公式法实质是矢量几何法的推广:AB2 AC2 BC2 AD2 AC2 CD2AD2 BC2 AB2 CD22 2c ADa -P ECa -AEa-DCacost1- 2 AC - BD所以有:长方体 ABCD-A1B1C1D中，AB=AA仁2cmAD=1crp求异面直线 A1C1与BD1所成的角。解：连结BC1 A1B在四面体为臼，易求得由定理得:辭込竺上心2A1C1-BD1所以已知平面 的斜线a与 内一直线b相交成B角，且a与 相交成1角，a在 上的射影c与b相交成 2角，则有cos 1 cos 2 cos公式2用几何法研究:在平面 的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b

7、的垂线PO PB垂足为O B异面直线AB与CCi所成的角的余弦值为（D ）讲解习题：例1 在长方体ABCD- ABCD中，AB=BC=3AA=4.求异面直线 AB和AD所成的角的 余弦.（如图1）例2 在长方体ABC- ABCD中，/ CBC=45，/ BAB=60 .求AB与BC所成角的 余弦.（如图2）例3 已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为BB的中点.求AM与CN所成的角的余弦.（如图3）（ 1992年高考题）作业:k 在长方体ABCD 凫B&D中，AB = 27WT EC=5? E1B=12. 求BD】和所成的角的余弦需|2.在长方体ABCD - 中，CD 二乎，DD；6求儿併

8、EIER所成角的大小阳3.在棱长为a的正方体 ABCD- ABGD中，0是正方形 ABCD勺中心，E, F分别是AB, BC中点.求：（1）异面直线AD和CD的距离；（2）异面直线C10和EF的距离.r J53） 呂4.在长方体 ABCD-ABCD中，/ BAB=/BAQ=30.求：（1） AB与AC所成的角的 度数；（2） AiA与CB所成的角的度数；（3） AB与AC所成的角的余弦. 3130；仔！ 一5、如图，在三棱锥 S-ABC中，E、F分别是SC、AB的中点，且EF 5,SA 6,BC 8，则异面直线SA与BC的夹角为多少? 将上例中的问题改为 求SF与BE所成角的余弦值.连结 CF

9、，Q取CM的中点 G,连结EG、BG，贝U EG/SF,二/ BEG为异面直线 SF、BE所成的角在ABEG中，利用余弦定理可解得： COS/ BEG= 3 .高考题：例1（2005年全国高考福建卷）如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中，AAi=AB=2 , AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线 A1E与GF所成的角是（ ）连B1G，贝U A1E/ B1G，知/ B1G F就是异面直线 A1E与GF所成的角.在 BQF中，由余弦定理，得BG2 GF2 B1F2C0SB1GF = 2BG?GF评注：本题是过异面直线 FG上的一点G,作B1G,则A1E / B1

10、G，知/ B1G F就是所求的角，从而 纳入三角形中解决.此时点A在平面BCDE内的射影恰为点 B,则M、N故 例2（2005年全国高考浙江卷）设M、N是直角梯形 ABCD两腰的中点，DE丄AB于E（如图）.现将 厶ADE沿DE折起，使二面角 A DE B为45的连线与AE所成角的大小等于 1ED .取AE中点G,连结GM、BG/ GM / ED , BN / ED, GM = 一 ED BN =2 ， GM / BN，且 GM = BN . BNMG为平行四边形， MN/BG/ A的射影为B . AB 丄面 BCDE ./ 又 G为中点， BG丄AE .B 即MN丄AE .E - MN与AE

11、所成角的大小等于 90度.A 故填 三、平移（或构造）几何体Z 有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程B例3（2005年全国高考天津卷）如图，PA 平面ABC , ACB 90且PA AC BC a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于 .E 解：将此多面体补成正方体 DBCA DBCP , PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在 Rt PDB中，即tan DBA 史 2 .故填 2 . DB，点 评：本题是将三棱柱补成正方体 DBCA DP，从而将问题简化.例4 在棱长为a的正方体ABCD A B C D中，E、F分别是BC、A的中点.解：如图所示

12、，在平面 ABCD内，过C作CP / DE,交直线AD于P,则/ A CP（或补角）为异面直线A C与DE所成的角.故A C与DE所成角为arccos5 .15侧棱AA1例5:如下图，已知平行六面体 ABCD AiBiCiDi中，底面ABCD是边长为a的正方形, 长为b,且AAi与AB、AD的夹角都是120 .求: （1）ACi 的长；直线BDi与AC所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用（1） | AC1 |2 AC1 AC1 （AA, AC）（ AAi AC）（AA1 AB AD）（AA AB AD）| AA |2 |AB |2 | AD |2 2AA（ AB

13、 2AA（ AD 2AB AD由已知得:|AA1 |2 b2,| AB |2 |AD|2 a2Aa1,AB AA1, AD 120 , AB, AD 901 1AA| AB b a cos120 ab, AA-i AD b a cos120 ab, AB AD 0,|AC|2 2a2 b2 2ab, | AC1 | .2a2 b2 2ab.（2）依题意得,| AC | . 2a,AC AB ADBD1ACbIBD1l|AC|4a2 2b2bd1 Ad BA AA1 Ad AbAC BD1 （AB AD）（AA1 AD AB）Ab AA1 Ad AA1 AbADAD2 AB2ABab2|BD1 |2 BD1 BD1 （AA1AB）（AA1AB）一 2 2 2IAA1 | |AD| |AB|2AA1AD 2 AB2AAAB 2a2 b2| BD1 | 2a2 b2 cos BD1, AC-BD1与AC所成角的余弦值为 4a2 2 b2