存在级联故障的双层互依网络Word文档下载推荐.docx
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例如，如果要求是以L为阈值限制剩余连接部分，此问题在cardinality-constrained
criticalnodedetectionproblem有论述。
在L=1的特殊情况下，此问题变为典型的最小节点覆盖问题，那些“触摸”了网络中所有边的节点集的最小基数，故而在所有最小覆盖节点都被破坏之后就剩下没有边存在的残余网络。
本文中，我们定义并分析了双层互依网络情况下的最小节点覆盖问题，考虑了由两种常见连接类型导致的级联故障的可能性。
据我们所知，这是第一份将经典优化问题拓展至互依网络结构的研究。
确定出那些如果被删除将严重破坏整个网络的节点的集的最小基数，这无论在攻击还是预防角度都是极为有用的。
在以前的构想中，攻击者确定出最应该摧毁的节点集，然而在之后的构想中，保护者有机会去保护这些已确认出的节点集并防止受到可能出现的级联故障传播的干扰。
在分析互依网络鲁棒性方面已经有大量的工作被做，包括一般的和挑战性的，互依网络在节点或边被移除情况下的性能及相对危险率的评估问题，还有分析和仿真的方法研究互依网络的级联故障。
总之，大多数之前的研究主要集中于仿真，缺少基于优化的精确方法。
本文在此方面探索。
文章结构。
本文后续组织结构如下。
第二部分概括了将用到的基本定义；
第三部分提出了数学分析结构并证明了所考虑问题的相关分析结果；
第四部分证明了所有考虑问题的NP完备性的推断；
第五部分给出了计算性实验的结果；
第六部分总结了讨论过程并确定了未来工作的大致方向。
图1由电网和SCADA网络组成的双层互依网络。
二、级联故障：
基本概念
我们建立一个双层互依网络的模型，图G1=（V1,E1），G2=（V2,E2）为它的层，V1={1,...,n1}，V2={1,...,n2}（n1+n2=n）为节点集，E1,E2为边。
我们假设，某一层中的一个节点依赖于另一层中的某些节点，用E12,，E21表示互依连边的集合。
如果（i,j）∈E12，则节点j∈V2依赖于节点i∈V1。
例如，在图2描述的网络中，
和
。
为简单起见，我们将整个双层互依网络表示为
我们假设，最初的失效节点集由于互依关系（集合（E12,E21））逐步导致随后其他节点的失效，这类似于Buldyrev中的假设。
这个假设的动机是，事实上在很多情况下级联故障并不立即传播，而是在各级联阶段之间有些许延迟。
假设级联阶段数由已定参数S限制。
本文中我们考虑两种常见的互依关系：
类型1（一到多）；
类型2（多到一）。
定义1.如果一个节点的失效导致所有依赖它的节点都失效，则这个互依网络具有类型1失效关系。
图2双层互依网络的例子
定义2.如果一个节点的失效只能由它所依赖的所有节点的失效引起，则该互依网络具有类型2失效关系。
对于一个给定的互依网络G
（2），相互连接类型和级联阶段S数，级联的各阶段和节点覆盖的定义如下。
定义3（级联阶段）.使初始失效/受攻击的节点集属于阶段0。
对于任意
，阶段s包含属于阶段（s-1）或者由于依赖于阶段（s-1）的节点而被破坏的节点。
定义4（节点覆盖）.G
（2）节点覆盖是
中节点的集合，这些节点的失效将通过相应的级联故障作用导致阶段S，图G1和G2中节点覆盖集的失效。
对于给定的互依网络G
（2），互依的类型和级联阶段S数，求最小节点覆盖问题需要的最小节点覆盖集的势都在G
（2）中。
图3类型1互依方式逐步导致的节点失效
图3显示了阶段0时2个失效节点（图3（b）阴影线）逐步导致的其它节点失效，假设为类型1，S=2.在阶段2，各层中的每一条边都被失效节点“触摸”，因此最初的失效节点表现为这个互依网络的一个节点覆盖（图3（a））。
图4说明相同情况下假设为类型2互依。
由于不同的互依类型，节点覆盖中的节点数为3，这意味着更多的节点需要在阶段0成为失效节点以在阶段2实现相同的结果。
注意，如果集合E12，E21均为空，则没有失效扩展发生，所考虑的问题将变为一个简单无向图G1∪G2的经典最小覆盖问题。
三、优化模式
3.1类型1互依
3.1.1IP结构
用
表示边集E1,E2，互依连边集E12，E21，分别对应相应的元素
定义二元变量
，说明层l（l=1,2）中的节点i至阶段s是否失效（若失效则
=1；
否则
=0）。
由这些变量，图G
（2）最小节点覆盖问题的线性0-1结构可被表示如下：
约束式
（2）保证，阶段S时失效节点在整个两层网络中组成一个节点覆盖。
约束式（3）和（4）递归地逐步构建由属于阶段0的节点失效导致的节点失效（在各层中）。
约束式（5）和（6）显示了至阶段s时未受级联故障影响的节点在阶段s仍保持运作所需要的条件。
式子
（1）-（7）包含（S+1）n个二元变量和
个约束条件。
接下来的部分描述了利用类型1互依方式的性质对于同一问题得到更简洁的式子，它包含n个二元变量和
个约束条件（即，个体数不再取决于S）。
同时，对于严格LP松弛，约束式（3）有
而非n2，约束式（4）有
而非n1.虽然我们在计算实验中使用了这些结果，但为了确保可靠性，我们使用前文中的规范系数进行更深入的讨论。
3.1.2更简洁的IP结构
对于层m（m=1,2）中任一节点i，定义Drm（i）为层r（r=1,2）中节点的集合，在阶段0时Drm（i）中的任一节点的失效都会导致节点i在阶段S失效，这可一般性地表示为
Drm（i）={k∈Vr：
若k在阶段0失效，则i∈Vm在阶段S失效}（8）
为了进一步简化，定义
如果要强调它对于所考虑级联阶段S数的依赖性，我们将用到表达式
或
所以，当且仅当对于层1中的任意边（i，j），在集合
中至少存在一个失效（被攻击）节点，并对于层2中的任意边（i，j），在集合
中至少存在一个失效（被攻击）节点，则阶段S时所有受影响的节点构成一个节点覆盖。
利用这个结论以及Drm（i）的定义，该问题可表示如下：
这个表达式需要对网络中每一个节点i的Drm（i）集合进行确认。
这个过程通过反向宽度优先从i到阶段S搜索很容易完成，因为Drm（i）是Vr中节点的集合，由此处存在lenght≤S通过
至节点i∈Vm的最短直接路径。
3.1.3LP松弛近似
总所周知，最小节点覆盖问题的LP松弛提供了2-近似算法。
在本部分中，分析了基于式（9）-（11）的LP松弛在互依网络中的最小节点覆盖问题的近似算法。
推论1.定义Δ1和Δ2为
且
则，式（9）-（11）的LP松弛提供了一个Δ-近似。
证明。
使
作为IP式（9）-（11）的LP松弛的一个最优解，使
为LP和IP的最优目标值。
显然，wLP≤wIP。
对l=1,2定义
因为（9）-（11）每一个约束式中的变量数都不比Δ大，矢量
是IP（9）-（11）的一个可行解。
使wIPLP为这个结果相应的目标函数，则
同时，由（14）式，有
结合最后两个不等式，有
注意，如果各层之间不存在互依连接
则Δ=2，问题（9）-（11）减少为标准的最小节点覆盖问题。
因此，推论1包含了最为特殊情况的标准最小节点覆盖问题的经典的2-近似结果。
3.1.4级联深度S*
如前所述，级联故障过程中总的阶段数不可能超过S=n-1（“最长的可能级联”），因为在每一个阶段级联或者停止或者导致多于一个的节点失效。
故，如果要“无约束”失效阶段数的该问题，则应该被用在之前提到的问题公式化
中。
然而，由于计算的原因，使用最大可能S并不一定有效，因为这可能需要大量不必要计算和变量的调用。
我们给出了怎样选择这样一个失效阶段S*数，S*≤n-1。
问题公式化F1（S）和F1c（S）对所有S≥S*有相同的最优解。
在表达式F1（S）和F1c（S）中，我们用论点S帮助问题公式化F1，有给定参数S的F1c。
定义5.级联深度S*是给定的互依网络G
（2）的级联故障序列的最大可能长度。
下一个推论显示在类型1互依情况下，对于任意给定的例题，级联深度可被明确地确定。
推论2.使
为类型1互依连接的互依网络，
dist（i，j）为在图G中从节点i到j的最短直接路径的长度（若从i至j不存在路径则dist（i，j）=∞）。
则，网络G
（2）的级联深度由下式给出
而且，规范式F1c（S）对于所有
是相同的。
图5推论3中S=5,S*=7的结构化互依网络。
虚线部分只包含了孤立节点。
表1随机产生的均匀及幂律度随机图，
的问题规范化F1c计算结果
证明过程根据S*的定义直接给出。
如计算实验结果显示的那样，级联深度S*明显小于n-1，这极大减小了问题的规模以及相应的CPU耗时。
3.2类型2互依连接
类似于类型1互依连接，考虑第二部分介绍的类型2互依连接失效阶段
的概念。
相应的线性0-1问题规范式可以利用如式
（1）-（7）一样的表示，通过改变关于逐步节点失效的约束式构成这种互依类型。
问题3（F2）
注意由于本质上失效机理的不同，已被证明对类型1互依方式的理论结果不必自动推广至类型2互依连接，从而由分析和计算的观点提出将极具挑战性。
3.3“混合”连接
除了两种之前提到的基本模型之外，网络的各层（层中的每一个节点）互依连接类型（如类型1或者类型2）是相同的，容易将最小节点覆盖问题拓展至更一般的情况：
网络各层的互依连接方式是不同的。
例如，层
至层
为类型1互依方式，层
为类型2互依方式。
这种情况下，线性0-1规划结构由规划F2通过代入约束式（22）、（24）直接得到，这相当于在
上由类型2引发的层
中的节点失效，通过约束式（3）（5）对应于层
中类型1互依引发的层
中的节点失效。
而且，如果互依网络中每一个节点至另一层的其它节点，有自己的互依方式（类型1或类型2），则规范式可以类似地得到。
表2表1中的示例问题的CPU耗时（以秒计）
四、计算复杂度
经典的最小节点覆盖（MVC）问题，是NP难问题，是S=0时的互依网络最小节点覆盖（MVCIN）问题的一种特殊情况。
然而，这并不是说对于任何给定的S*和S，MVCIN问题都是NP难的。
下面的推论显示，对于任何给定的S，S*，MVCIN问题的决定（认识）观点是NP完备的。
根据标准方法，我们定义，互依网络中的节点覆盖（VCIN）问题的认识观点如下：
给定正整数
，以及级联深度为S*的两层互依网络，是否存在一个规模为k的节点子集
，它的失效将导致能构建图G
（2）的一个节点覆盖的节点子集
的失效？
推论3.对于任何给定的S，S*，以类型1互依连接的VCIN问题是NP完备的。
VCIN问题显然是NP类的。
下来，我们弱化经典的VC问题为VCIN问题。
也就是，对于给定的
和图
，我们构建一个级联深度为S*两层互依网络
，并证明当且仅当G
（2）对于给定的失效阶段S数由规模为k的节点覆盖，则G有规模为k节点覆盖。
结构收益如下。
也就是，若i≤S+1，则Gi是图G的一个复制，有|V|个节点，若
则无边。
为了区分图Gi中的节点，我们将图Gi中的节点j∈V表示为jj。
表3表1中示例问题的LP松弛和LP近似结果
我们让
这个互依网络的级联深度显然是S*，网络结构可以在多项式时间内完成。
图5说明了互依网络G
（2）是怎样由
的图G=（V,E）构成的。
图G1中的失效节点j1将导致所有图Gi（i=2，…，S+1）中节点ji的失效。
假设
是图G的一个节点覆盖，而
令
则，显然，V
（2）是互依网络G
（2）的一个节点覆盖。
相反地，假设V
（2）是互依网络G
（2）中一个规模为k的节点覆盖。
由上面的讨论可得，拥有一个节点
不如拥有一个节点
事实上，节点j1的失效将导致那些对于任意i＞1时因为ji的失效而失效的节点全都失效。
因此，不失一般性，我们可以假设V
（2）中所有的节点都属于图
的第一副本。
显然，原图G中的节点V
（2）集合是它的规模为k的节点覆盖。
推论4.对于任意给定的S，S*，类型2互依连接的VCIN问题是NP完备的。
由推论3的证明，得知在构造的互依网络G
（2）中，类型2互依产生了相同的失效机理，因为G
（2）中的每一个节点依赖于不多于一个的其他节点。
因此，同样的逻辑过程可以用来证明类型2互依的VCIN问题的NP完备性。
备注1.以“混合”类型互依连接的VCIN问题可直接得知其NP完备性。
五、计算实验
一系列计算性实验被完成，用来研究自主线性0-1规划以及它们的LP松弛、相应的LP近似（当适用时）的有效性和扩展性。
同时，计算性实验有助于定量研究最小节点覆盖规模和潜在互依网络的各种结构特点，如各层的拓扑结构，互依类型，互依连边数，级联阶段S。
这个关系有助于更好理解互依连接的存在怎样影响有着不同拓扑结构的网络的易损性，因为最小节点覆盖的规模可被视为一种网络鲁棒性的测量。
有着不同互依连边数的网络的级联深度同意值得考虑。
5.1硬件，软件和测试实例
计算性实验运行在7*64Windows操作系统的Dell电脑上，IntelCorei7940XMprocessor（CPU2.13GHz,L28MB）,RAM8GB。
所有的示例问题求最优解用的是FICO
Xpress-IVE软件。
相应的CPU耗时以秒计。
类似其他的相关研究，我们考虑示例问题为，度分布为幂律度和均匀分布的随机图。
均匀随机分布图G（n,p）有n个节点，每对节点由一条边按随机并独立的给定概率p的连接，而在节点度为k的幂律度分布图中，概率正比于k-β。
我们用这两种类型的度分布生成网络的层
假设一层中的节点按给定概率p随机依赖于另一层中的每一个节点，而生成互依连边E12和E21。
表4
据我们所知，在公共领域没有真实世界的互依网络数据可用；
因此，下面计算实验的大部分是基于随机生成的示例。
不过，为了在实际设置中对提出的模型给出一个直观的说明，我们也在图1中所示的双层网络中运行了计算性实验，该图包含了著名的IEEE118-bus电力能源网和随机生成的SCADA网络。
5.2结果和讨论
5.2.1规划过程，CPU耗时，LP松弛和近似
第一个实验集（如表1-4所列）用来评估提出的线性0-1规划（LP松弛和LP近似）的性能，其中，按均匀或幂律度分布的同规模网络层间的互依连接为类型1（表1-3）和类型2（表4）。
对于类型1互依连接，规模为
的10对不同的网络层（（u1_,...,u5_均匀，p1_,...,p5_幂律度分布）以10%的近似边密度分布。
20对不同的集合E12和E21以多种边密度q（q=0.1,0.2,0.3,0.4）产生，每个值q有5对。
互依网络uij和pij（i=1，…，5；
j=1，…，4）总共有40个例子，其中有相同ij的网络uij和pij有相同的E12和E21。
类型2互依网络按相同的过程产生；
但是，层的规模减小了：
由于相比类型1互依连接而言，此时问题变得更具计算挑战性，所以取
表5
由表1-3的结果得如下观点：
图6不同网络规模和互依连接数时的相对级联深度S*/n
●对于每一个列出的示例问题，随着更多级联阶段（S）被考虑，CPU耗时显著减少。
●对层按幂律度分布的网络示例，CPU时间通常更快。
●在大多数示例（包括均匀和幂律度）LP松弛给出最优IP目标值的较紧下界。
当S增加时界限变得更紧（有时和最优IP值同步）。
●LP近似算法通常给出的可行解相对接近最优，当IP优化目标非常小的时候例外。
基于表4的类型2互依连接问题得到如下观点：
●增加互依连边不一定减少最优目标值。
这可由类型2互依连接的定义直观理解。
它的影响将在图8深入说明。
●当级联阶段S和互依连边数变大时，CPU耗时大大增加。
表5给出了最优目标值，CPU时间，LP松弛结果和通过解决规模n=1000的网络的F1c获得LP近似算法的输出值。
表中包含了8个双层互依网络的例子，网络的层按均匀和幂律度分布产生（每种4个例子）。
幂律度和均匀随机图例子有大致相同的边密度，即，对于n=1000，p=0.01，相应的幂律度参数β近似等于1.4.同时还发现，CPU时间对于这个规模的网络适度地快些。
而且，如果S和q很大，则LP近似算法提供了一个相当接近于最优的结果，即使Δ（max
）很大。
5.2.2.级联深度S*
图6显示了级联深度S*（跟网络规模相关），出现于类型1互依连接的双层网络中，节点数为200,400,600,1000（n1=n2）.横轴显示了网络间的互依连边数除以节点总数。
我们用|Edep|表示网络间的互依连边总数，即
初始的互依连边数为0，然后随机增加互依连边数（每条边出现的概率相等），计算每一步的S*。
有趣的是，级联深度S*一开始很小，但随着互依连边数而增加，并达到介于1和2之间的最大值|Edep|/n。
互依连边数进一步的增加导致相对级联深度的减小。
直观地，S*最初的增加可解释为，增加互依连边创造更长的级联链。
总之，一旦网络中所有的节点通过互依连边连接起来，任何进一步互依连边数的增加仅仅缩短了节点间的路径；
因此，增加了S*。
5.2.3.互依连边密度的增加产生的影响
如前所述，对于下面所有的计算性实验，最初为两个没有互依连边的网络层，然后随机均匀地一个个增加互依连边。
图7类型1互依连接，n=200（n1=n2=100），两层为幂律度和均匀度分布的互依网络的最小节点覆盖规模
图7显示了对于有着不同边密度和级联阶段S数，类型1互依连接的网络的最小节点覆盖规模。
图7（a）和（b）显示了边密度为0.1和0.2的均匀随机图的最小节点覆盖规模。
图7（c）和（d）对于边密度为0.1和0.2的幂律度分布图显示了相同的信息。
对于图7中描述的所有情况，随着互依连边数的增加，最小节点覆盖规模减少。
这个观点是直观清晰的，因为增加更多的互依连边减弱网络的鲁棒性，在阶段0攻击很少一部分节点将能够使得在阶段S整个网络的瘫痪。
均匀随机图有着稍大的最小节点覆盖规模，在这里这意味着较好的鲁棒性特点。
图8展示了类型2互依连接
，边密度0.3和0.5的两个随机图和两个幂律度图的最小节点覆盖规模。
有趣的是，随着|Edep|/n的增加，最小节点覆盖规模开始时减小，达到它对|Edep|/n的介于1和2的最小处，然后开始增加。
这个现象说明，不同于类型1互依连接，增加更多的互依连边（在某个临界之后）对增加类型2互依连接网络的鲁棒性可能是有用的。
图8类型2互依连接的幂律度或均匀度分布，
的双层互依网络的最小节点覆盖规模。
图9类型1互依连接，各层规模不同的互依网络的最小节点覆盖规模。
（a）（b）中的层2为
（边密度约为0.004），n2=1000的幂律度分布。
层1为
的幂律度分布。
图9表示了各层规模差异巨大的互依网络的最小节点覆盖规模，当互依连边数增加时的变化情况。
对于这个实验，第二层按近似边密度0.005和n2=1000的幂律度分布随机产生。
第一层也按幂律度分布产生，节点n1=10（图9（a））和n1=100（图9（b））。
得到相同规模层的模式很相似。
然而，对于n1=10，所考虑的级联阶段数似乎对最小节点覆盖规模的影响很小。
图10
5.2.4半现实互依网络（电网和SCADA）
图10展示了图1中所示的双层互依网络的最小节点覆盖的规模和构成。
层1代表IEEE118-bus网络，为美国电网系统的一部分，有118个节点和179条边。
层2代表SCADA网络，它控制着电网节点。
由于无法得到公共开放的SCADA网络数据，所以这是一个大约相等的节点和边数的幂律度随机生成网络。
互依连边
从0至500一个个随机增加，最小节点覆盖和它的构成（即，电网中在阶段0受攻击的节点数对比SCADA网络中受攻击的节点数）对S=1,2,3重复确认。
图10（a），（c）和（e）对应几乎真实的“混合”互依连接情况（从SCADA至电网为类型1，从电网至SCADA为类型2），而图10（b），（d），（f）对各层都对应于纯的类型1互依连接。
对“混合”互依连接，随着互依连边数的增加，最小节点覆盖的SCADA节点的百分比，比电网节点的百分比变得更大。
这说明如果为了破坏互依网络（和电网）而最优地攻击一个节点最小
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