平方差完全平方公式Word文件下载.docx

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（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；

（3）×

；

（4）．

10．化简：

（m+n﹣2）（m+n+2）．

11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）

12．计算

（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；

（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．

13．计算：

20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．

14．利用乘法公式计算：

①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）

②472﹣94×

27+272．

15．已知：

x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．　_________　

16．观察下列各式：

（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；

（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…

（1）根据上面各式的规律得：

（x﹣1）（xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）=　_________　；

（其中n为正整数）；

（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．

17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：

题目：

化简（2+1）（22+1）（24+1）．

解：

（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．

问题：

化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．

18．．

19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为　_________　．

20．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．

21．（2009•佛山）阅读材料：

把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±

2ab+b2=（a±

b）2．

例如：

（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．

请根据阅读材料解决下列问题：

（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；

（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；

（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

22．（2004•太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．

23．（2001•宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．

24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：

（1）x2+y2；

（2）xy．

25．已知x+=4，求x﹣的值．

26．已知：

x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．

27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．

28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．

29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．

30．已，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

参考答案与试题解析

考点：

整式．2384219

分析：

解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断．

解答：

整式有x2+x﹣，共2个．

故选B．

点评：

主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．

2．（2011•湛江）多项式2x2﹣3x+5是　二　次　三　项式．

多项式．2384219

专题：

计算题．

根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解．

由题意可知，多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．

故答案为：

二，三．

本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：

多项式中的每个单项式叫做多项式的项；

多项式中不含字母的项叫常数项；

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．

3．（2010•毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式　x2y2　．（答案不唯一，只要写出一个）

单项式．2384219

开放型．

单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和∴x3y，x2y2，xy3等都是四次单项式．

根据四次单项式的定义，x2y2，x3y，xy3等都符合题意（答案不唯一）．

考查了单项式的次数的概念．只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求．

4．（2004•南平）把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是　x3+2x2﹣3x　．

按照x的次数从大到小排列即可．

按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．

主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．

平方差公式；

完全平方公式．2384219

（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再与（x2+y2）相结合，再次利用平方差公式计算；

（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．

（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2），

=（x2﹣y2）（x2+y2），

=x4﹣y4；

（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），

=a2﹣（2b﹣c）2，

=a2﹣4b2+4bc﹣c2．

本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．

平方差公式：

（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．完全平方公式：

（a±

b）2=a2±

2ab+b2．

平方差公式．2384219

先把124×

122写成（123+1）×

（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．

122，

=1232﹣（123+1）（123﹣1），

=1232﹣（1232﹣12），

=1．

本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键．

观察可得：

2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案．

，

=，

=2004．

本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的．

把原式化为[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，再运用平方差公式计算．

（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z），

=[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，

=z2﹣（x﹣2y）2，

=z2﹣（x2﹣4xy+4y2），

=z2﹣x2+4xy﹣4y2．

本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量．

（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2可以利用平方差公式进行计算；

（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）转化成[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；

可以转化成（80﹣）（80+）的形式，利用平方差公式计算；

（4）可以转化为（20﹣）2进行简便计算．

（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2=（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y），

=4xy；

（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2），

=[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]，

=x2﹣y2+4y﹣4；

=（80﹣）（80+），

=；

（4）=（20﹣）2=400﹣2×

20×

+，

=．

本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便．

把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是﹣2与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．

（m+n﹣2）（m+n+2），

=（m+n）2﹣22，

=m2+n2+2mn﹣4．

本题主要考查了平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．

把x﹣2y当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可．

（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m），

=（x﹣2y）2﹣m2，

=x2﹣4xy+4y2﹣m2．

本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．

根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．

（1）原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]

=（c﹣b﹣d）2﹣a2

=c2+b2+d2+2bd﹣2bc﹣2cd﹣a2，

（2）∵x4﹣8x2y2+16y4=（x2﹣4y2）2

∴原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2﹣4y2）3

=（x2）3﹣3（x2）2（4y2）+3x2•（4y2）2﹣（4y2）3

=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．

本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．

分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．

原式=（20082﹣20072）+（20062﹣20052）+…+（22﹣12），

=（2008+2007）（2008﹣2007）+（2006+2005）（2006﹣2005）+（2+1）（2﹣1），

=2008+2007+2006+2005+…+2+1，

=2017036．

本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和．

①可用平方差公式计算：

找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，

②把94写成2×

47后，可用完全平方公式计算．

①原式=[a﹣（3b﹣2c）][a+（3b﹣2c）]=a2﹣（3b﹣2c）2=9b2+12bc﹣4c2；

②原式=472﹣2×

47×

27+272=（47﹣27）2=400．

本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键．

①把（3b﹣2c）看作一个整体是运用平方差公式的关键；

47是利用完全平方公式的关键．

x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．　5　

本题是平方差公式的应用．

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），

x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=20

把x+y=4代入求得x﹣y=5．

运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．把x+y=4代入求得x﹣y的值，为5．

（x﹣1）（xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）=　xm﹣1　；

（1）认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1，利用此规律求解填空；

（2）先根据上面的式子可得：

1+x+x2+x3+…+xn=（xn+1﹣1）÷

（x﹣1），从而得出1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷

（2﹣1），再进行计算即可．

（1）（x﹣1）（xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x2+x+1）=xm﹣1；

（2）根据上面的式子可得：

（x﹣1），

∴1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷

（2﹣1）=270﹣1．

本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键．

根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算．

原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），（4分）

=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），

=（34﹣1）（34+1）（38+1）（364+1），

=（38﹣1）（38+1）（364+1），

=（364﹣1）（364+1），（8分）

=（3128﹣1）．（10分）

本题主要考查了平方差公式，关键在于把（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，

由平方差公式，（1+）（1﹣）=1﹣，（1﹣）（1+）=1﹣，依此类推，从而得出结果．

原式=（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）

=（1﹣）（1+）（1+）（1+）

=（1﹣）（1+）（1+）

=（1﹣）（1+）

=1﹣．

本题考查了平方差公式的反复应用，是基础知识要熟练掌握．

19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为　7　．

将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．

由题意得，x+=3，

两边平方得：

x2+2+=9，

故x2+=7．

7．

此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．

根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．

由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，

∴a=1；

把a=1代入=1+1=2．

2．

本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．

阅读型．

（1）

（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；

（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．

（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：

x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，

x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，

x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；

（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，

a2+ab+b2=（a+b）2+b2；

（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，

=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），

=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），

=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，

从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，

即a=1，b=2，c=1，

∴a+b+c=4．

本题考查了根据完全平方公式：

a2±

b）2进行配方的能力．

先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值．

∵（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，

∴a2+b2+2ab=1，a2+b2﹣2ab=25．

∴4ab=﹣24，ab=﹣6，

∴a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=1﹣（﹣6）=7．

本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解．

对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a﹣b=﹣2代入计算即可．

原式==，

∵a﹣b=﹣2，

∴原式==2．

本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用．

根据完全平方公式把（x+y）2和（x﹣y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值．

由题意知：

（x+y）2=x2+y2+2xy=49①，

（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=1②，

①+②得：

（x+y）2+（x﹣y）2，

=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，

=2（x2+y2），

=49+1，

=50，

∴x2+y2=25；

①﹣②得：

4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣1=48，

∴xy=12．

本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键．

把已知条件两边平方求出x2+的值，再根据完全平方公式整理成（x﹣）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算．

∵，

∴，

∴x2+=14，

∵（x﹣）2=x2+﹣2=12，

∴x﹣=．

本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．

利用完全平方公式巧妙转化即可．

∵x+y=3，

∴x2+y2+2xy=9，

∵xy=2，

∴x2+y2=9﹣2xy=9﹣4=5．

本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力．

先把a+b=3两边平方，然后代入数据计算即可求出a2+b2的值，根据完全平方公式把（a﹣b）2展开，再代入数据求解即可．

∵a+b=3，

∴a2+2ab+b2=9，

∵ab=2，

∴a2+b2=9﹣2×

2=5；

∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=5﹣2×

2=1．

本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算更加简便．

整体思想．

先根据多项式乘多项式的法则把（x+2）（y+2）展开并代入数据求出x