高考数学一轮复习第2节二元一次不等式组与简单的线性规划问题教学案理解析版.docx

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高考数学一轮复习第高考数学一轮复习第2节二元一次不等式组与简单的线性节二元一次不等式组与简单的线性规划问题教学案理解析版规划问题教学案理解析版考纲传真考纲传真1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决并能加以解决1二元一次不等式二元一次不等式（组组）表示的平面区域表示的平面区域不等式不等式表示区域表示区域AxByC0直线直线AxByC0某一侧某一侧的所有点组成的平面区域的所有点组成的平面区域不包括边不包括边界直线界直线AxByC0包括边界包括边界直线直线不等式不等式组组各个不等式所表示平面区域的公共部分各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的相关概念线性规划中的相关概念名称名称意义意义约束条件约束条件由变量由变量x，y组成的不等式组成的不等式（组组）线性约束线性约束条件条件由由x，y的一次不等式的一次不等式（或方程或方程）组成的不等组成的不等式组式组目标函数目标函数关于关于x，y的函数解析式，如的函数解析式，如z2x3y等等线性目标线性目标函数函数关于关于x，y的一次解析式的一次解析式可行解可行解满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解（x，y）可行域可行域所有可行解组成的集合所有可行解组成的集合最优解最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划线性规划问题问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题值或最小值问题常用结论常用结论1点点P1（x1，y1）和和P2（x2，y2）位于直线位于直线AxByC0的的两侧的充要条件是两侧的充要条件是（Ax1By1C）（Ax2By2C）0；位于直线；位于直线AxByC0同侧的充要条件是同侧的充要条件是（Ax1By1C）（Ax2By2C）0.2常见目标函数的几何意义常见目标函数的几何意义

（1）zaxby：

z表示直线表示直线yx在在y轴上的截距的轴上的截距的b倍；倍；

（2）z：

z表示可行域内的点表示可行域内的点（x，y）和点和点（a，b）连线的斜连线的斜率；率；（3）z（xa）2（yb）2：

z表示可行域内的点表示可行域内的点（x，y）和点和点（a，b）间的距离的平方间的距离的平方基础自测基础自测1（思考思考辨析辨析）判断下列结论的正误判断下列结论的正误（正确的打正确的打“”，错误的，错误的打打“”）

（1）不等式不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方的上方（）

（2）线性目标函数的最优解可能不唯一线性目标函数的最优解可能不唯一（）（3）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域域（）（4）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上上（）答案答案

（1）

（2）（3）（4）2下列各点中，不在下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是表示的平面区域内的是（）A（0,0）B（1,1）C（1,3）D（2，3）C1310，点点（1,3）不在不在xy10表示的平表示的平面区域内，故选面区域内，故选C.3不等式组不等式组表示的平面区域是表示的平面区域是（）ABCDC把点把点（0,0）代入不等式组可知，点代入不等式组可知，点（0,0）不在不在x3y60表示的平面区域内，点表示的平面区域内，点（0,0）在在xy20表示的平面区域内，故表示的平面区域内，故选选C.4设变量设变量x，y满足约束条件满足约束条件则目标函数则目标函数zxy的最大值为的最大值为（）A.B1C.D3D不等式组表示的可行域如图所示不等式组表示的可行域如图所示由图可知，当过点由图可知，当过点A时，目标函数时，目标函数zxy取得最大值又取得最大值又A（0,3），故，故z033.故选故选D.5在平面直角坐标系中，不等式组在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域表示的平面区域的面积是的面积是_1不等式组表示的区域如图中的阴影部分所不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，示，由由x1，xy0得得A（1，1），由由x1，xy40得得B（1，3），由由xy0，xy40得得C（2，2），|AB|2，SABC211.二元一次不等式二元一次不等式（组组）表示的平面区域表示的平面区域1不等式不等式（x2y1）（xy3）0在坐标平面内表示的区域在坐标平面内表示的区域（用阴影部用阴影部分表示分表示）大致是大致是（）ABCDC（x2y1）（xy3）0，即，即或或与选项与选项C符合符合故选故选C.2已知不等式组已知不等式组所表示的平面区域为所表示的平面区域为D，若直线，若直线ykx3与平面区域与平面区域D有公共点，则有公共点，则k的取值范围为的取值范围为（）A3,3B.C（，33，）D.C满足约束条件的平面区域如图中阴影部满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示因为直线分所示因为直线ykx3过定点过定点（0，3），所以当，所以当ykx3过点过点C（1,0）时，时，k3；当；当ykx3过点过点B（1,0）时，时，k3，所以当所以当k3或或k3时，直线时，直线ykx3与平面区域与平面区域D有公共有公共点故选点故选C.3若不等式组若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面表示的平面区域为三角形，且其面积等于积等于，则，则m的值为的值为（）A3B1C.D3B如图，如图，要使不等式组表示的平面区域要使不等式组表示的平面区域为三角形，则为三角形，则2m2，即，即m1，所围成的区域为，所围成的区域为ABC，SABCSADCSBDC.点点A的纵坐标为的纵坐标为1m，点，点B的纵坐标为的纵坐标为（1m），C，D两两点的横坐标分别为点的横坐标分别为2，2m，所以，所以SABC（22m）（1m）（22m）（1m）（1m）2，解得，解得m3（舍去舍去）或或m1.规律方法规律方法1求平面区域的面积求平面区域的面积,对平面区域进行分析，若对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形为三角形应确定底与高，若为规则的四边形如平行四边形或梯如平行四边形或梯形形，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可几个三角形，分别求解再求和即可.2利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解利用数形结合的方法求解.求目标函数的最值求目标函数的最值考法考法1求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值【例【例1】（2019济南模拟济南模拟）设变量设变量x，y满足约束条件满足约束条件则则z2xy的取值范围为的取值范围为（）A1,3B1,6C1,5D5,6B画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含边界含边界）所示，由图知，当目标函数所示，由图知，当目标函数z2xy经过点经过点A（3,0）时取得最大时取得最大值值2306，经过点，经过点B（0,1）时取得最小值时取得最小值2011，所以，所以z的取值范围为的取值范围为1,6，故选，故选B.考法考法2求非线性目标函数的最值求非线性目标函数的最值【例【例2】

（1）若变量若变量x，y满足满足则则x2y2的最大值是的最大值是（）A4B9C10D12

（2）若若x，y满足约束条件满足约束条件则则z的最大值为的最大值为_

（1）C

（2）3

（1）如图如图，作出不等式组所表示的可行域，作出不等式组所表示的可行域（阴影阴影部分部分），设可行域内任一点，设可行域内任一点P（x，y），则，则x2y2的几何意义为的几何意义为|OP|2.显然，当点显然，当点P与点与点A重合时，取得最大重合时，取得最大值值由由解得解得A（3，1）所以所以x2y2的最大值为的最大值为32

（1）210.故选故选C.

（2）由约束条件由约束条件作出可行域如图，联立作出可行域如图，联立解得解得A.z的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则z的最大值为的最大值为3.考法考法3求参数的值或取值范围求参数的值或取值范围【例【例3】已知已知a0，x，y满足约束条件满足约束条件若若z2xy的最小值为的最小值为1，则，则a（）A.B.C1D2A约束条件对应的平面区域是以点约束条件对应的平面区域是以点（1，2a），（1,2）和和（3,0）为顶点的三角形及其内部，当为顶点的三角形及其内部，当y2xz经过点经过点（1，2a）时，时，z取得最小值取得最小值1，则，则22a1，a，故选，故选A.规律方法规律方法1.求目标函数最值的解题步骤求目标函数最值的解题步骤1作图作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；示的平行直线系中过原点的那一条直线；2平移平移将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得.3求值求值解方程组求出对应点坐标解方程组求出对应点坐标即最优解即最优解，代入目标，代入目标函数，即可求出最值函数，即可求出最值.2.常见的三类目标函数常见的三类目标函数1截距型：

形如截距型：

形如zaxby.,求这类目标函数的最值常将函求这类目标函数的最值常将函数数zaxby转化为直线的斜截式：

转化为直线的斜截式：

，通过求直线的截距，通过求直线的截距的最值间接求出的最值间接求出z的最值的最值.2距离型：

形如距离型：

形如zxa2yb2.3斜率型：

形如斜率型：

形如.易错警示：

注意转化的等价性及几何意义易错警示：

注意转化的等价性及几何意义.

（1）（2018浙江高考浙江高考）若若x，y满足约束条件满足约束条件则则zx3y的最小值是的最小值是_，最大值是，最大值是_

（2）已知变量已知变量x，y满足约束条件满足约束条件且有无穷多个点且有无穷多个点（x，y）使目标函数使目标函数zxmy取得最小值，则取得最小值，则m_.

（1）28

（2）1

（1）由题可得，该约束条件表示的平面区由题可得，该约束条件表示的平面区域是以域是以（2,2），（1,1），（4，2）为顶点的三角形及其内部区域为顶点的三角形及其内部区域（图图略略）由线性规划的知识可知，目标函数由线性规划的知识可知，目标函数zx3y在点在点（2,2）处取处取得最大值，在点得最大值，在点（4，2）处取得最小值，则最小值处取得最小值，则最小值zmin462，最大值，最大值zmax268.

（2）作出线性约束条件表作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示的平面区域，如图中阴影部分所示示若若m0，则，则zx，目标函数，目标函数zxmy取得最小值的最优取得最小值的最优解只有一个，不符合题意解只有一个，不符合题意若若m0，则目标函数，则目标函数zxmy可看作斜率为可看作斜率为的动直线的动直线yx，若若m0，则，则0，数形结合知使目标函数，数形结合知使目标函数zxm