高考数学一轮复习第2节二元一次不等式组与简单的线性规划问题教学案理解析版.docx

1、 高考数学一轮复习第高考数学一轮复习第 2 节二元一次不等式组与简单的线性节二元一次不等式组与简单的线性规划问题教学案理解析版规划问题教学案理解析版 考纲传真考纲传真 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决并能加以解决 1二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域 不等式不等式 表示区域表示区域

2、 AxByC0 直线直线 AxByC0 某一侧某一侧的所有点组成的平面区域的所有点组成的平面区域 不包括边不包括边界直线界直线 AxByC0 包括边界包括边界直线直线 不等式不等式组组 各个不等式所表示平面区域的公共部分各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.线性规划中的相关概念线性规划中的相关概念 名称名称 意义意义 约束条件约束条件 由变量由变量 x，y 组成的不等式组成的不等式(组组)线性约束线性约束条件条件 由由 x，y 的一次不等式的一次不等式(或方程或方程)组成的不等组成的不等式组式组 目标函数目标函数 关于关于 x，y 的函数解析式，如的函数解析式，如 z2x3y等等 线性目标线

3、性目标函数函数 关于关于 x，y 的一次解析式的一次解析式 可行解可行解 满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x，y)可行域可行域 所有可行解组成的集合所有可行解组成的集合 最优解最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划线性规划问题问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题值或最小值问题 常用结论常用结论 1点点 P1(x1，y1)和和 P2(x2，y2)位于直线位于直线 AxByC0 的的两侧的充要条件是两侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0；位于直线；位于直线AxByC

4、0 同侧的充要条件是同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.2常见目标函数的几何意义常见目标函数的几何意义(1)zaxby：z 表示直线表示直线 y x 在在 y 轴上的截距的轴上的截距的 b倍；倍；(2)z：z 表示可行域内的点表示可行域内的点(x，y)和点和点(a，b)连线的斜连线的斜率；率；(3)z(xa)2(yb)2：z 表示可行域内的点表示可行域内的点(x，y)和点和点(a，b)间的距离的平方间的距离的平方 基础自测基础自测 1(思考思考辨析辨析)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”，错误的，错误的打打“”)(1)不等式不等式 AxByC0 表示

5、的平面区域一定在直线表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方的上方()(2)线性目标函数的最优解可能不唯一线性目标函数的最优解可能不唯一()(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域域()(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上上()答案答案 (1)(2)(3)(4)2下列各点中，不在下列各点中，不在 xy10 表示的平面区域内的是表示的平面区域内的是()A(0,0)B(1,1)C(1,3)D(2，3)C 1310，点点(1,3)不在不在 xy10 表示的平表示的平面区域

6、内，故选面区域内，故选 C.3不等式组不等式组表示的平面区域是表示的平面区域是()A B C D C 把点把点(0,0)代入不等式组可知，点代入不等式组可知，点(0,0)不在不在 x3y60表示的平面区域内，点表示的平面区域内，点(0,0)在在 xy20 表示的平面区域内，故表示的平面区域内，故选选 C.4设变量设变量 x，y 满足约束条件满足约束条件则目标函数则目标函数 zxy的最大值为的最大值为()A.B1 C.D3 D 不等式组表示的可行域如图所示不等式组表示的可行域如图所示 由图可知，当过点由图可知，当过点 A 时，目标函数时，目标函数 zxy 取得最大值又取得最大值又A(0,3)，故

7、，故 z033.故选故选 D.5在平面直角坐标系中，不等式组在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域表示的平面区域的面积是的面积是_ 1 不等式组表示的区域如图中的阴影部分所不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，示，由由 x1，xy0 得得 A(1，1)，由由 x1，xy40 得得 B(1，3)，由由 xy0，xy40 得得 C(2，2)，|AB|2，SABC 2 11.二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域 1不等式不等式(x2y1)(xy3)0 在坐标平面内表示的区域在坐标平面内表示的区域(用阴影部用阴影部分表示分表示)大致是大致是()A B C D C (x

8、2y1)(xy3)0，即，即或或与选项与选项C 符合符合 故选故选 C.2已知不等式组已知不等式组所表示的平面区域为所表示的平面区域为 D，若直线，若直线 ykx3 与平面区域与平面区域 D 有公共点，则有公共点，则 k 的取值范围为的取值范围为()A3,3 B.C(，33，)D.C 满足约束条件的平面区域如图中阴影部满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示因为直线分所示因为直线 ykx3 过定点过定点(0，3)，所以当，所以当 ykx3过点过点 C(1,0)时，时，k3；当；当 ykx3 过点过点 B(1,0)时，时，k3，所以当所以当 k3 或或 k3 时，直线时，直线 ykx3 与平面区

9、域与平面区域 D 有公共有公共点故选点故选 C.3若不等式组若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面表示的平面区域为三角形，且其面积等于积等于，则，则 m 的值为的值为()A3 B1 C.D3 B 如图，如图，要使不等式组表示的平面区域要使不等式组表示的平面区域为三角形，则为三角形，则2m2，即，即 m1，所围成的区域为，所围成的区域为ABC，SABCSADCSBDC.点点 A 的纵坐标为的纵坐标为 1m，点，点 B 的纵坐标为的纵坐标为(1m)，C，D 两两点的横坐标分别为点的横坐标分别为 2，2m，所以，所以 SABC(22m)(1m)(22m)(1m)(1m)2，解得，解得 m3(舍去舍

10、去)或或 m1.规律方法规律方法 1 求平面区域的面积求平面区域的面积,对平面区域进行分析，若对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形为三角形应确定底与高，若为规则的四边形 如平行四边形或梯如平行四边形或梯形形，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可几个三角形，分别求解再求和即可.2 利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解利用数形结合的方法求解.求目标函数的最值求目标函数的最值 考法考法 1 求线性

11、目标函数的最值求线性目标函数的最值 【例【例 1】(2019 济南模拟济南模拟)设变量设变量 x，y 满足约束条件满足约束条件则则 z2xy 的取值范围为的取值范围为()A1,3 B1,6 C1,5 D5,6 B 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界含边界)所示，由图知，当目标函数所示，由图知，当目标函数 z2xy 经过点经过点 A(3,0)时取得最大时取得最大值值 2 306，经过点，经过点 B(0,1)时取得最小值时取得最小值 2 011，所以，所以 z的取值范围为的取值范围为1,6，故选，故选 B.考法考法 2 求非线性目标函数的最值求

12、非线性目标函数的最值【例【例 2】(1)若变量若变量 x，y 满足满足则则 x2y2 的最大值是的最大值是()A4 B9 C10 D12 (2)若若 x，y 满足约束条件满足约束条件则则 z 的最大值为的最大值为_(1)C (2)3 (1)如图如图，作出不等式组所表示的可行域，作出不等式组所表示的可行域(阴影阴影部分部分)，设可行域内任一点，设可行域内任一点 P(x，y)，则，则 x2y2 的几何意义为的几何意义为|OP|2.显然，当点显然，当点 P 与点与点 A 重合时，取得最大重合时，取得最大值值 由由解得解得 A(3，1)所以所以 x2y2 的最大值为的最大值为 32(1)210.故选故

13、选 C.(2)由约束条件由约束条件作出可行域如图，联立作出可行域如图，联立解得解得 A.z 的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则 z 的最大值为的最大值为 3.考法考法 3 求参数的值或取值范围求参数的值或取值范围【例【例 3】已知已知 a0，x，y 满足约束条件满足约束条件若若 z2xy 的最小值为的最小值为 1，则，则 a()A.B.C1 D2 A 约束条件对应的平面区域是以点约束条件对应的平面区域是以点(1，2a)，(1,2)和和(3,0)为顶点的三角形及其内部，当为顶点的三角形及其内部，当 y2xz 经过点经过点(1，2a)时，时

14、，z取得最小值取得最小值 1，则，则 22a1，a，故选，故选 A.规律方法规律方法 1.求目标函数最值的解题步骤求目标函数最值的解题步骤 1 作图作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；示的平行直线系中过原点的那一条直线；2 平移平移将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得.3 求值求值解方程组求出对应点坐标解方程组求出对应点坐标 即最优解即最优解，代入目标，代入目标函数，即可求出最值函

15、数，即可求出最值.2.常见的三类目标函数常见的三类目标函数 1 截距型：形如截距型：形如 zaxby.,求这类目标函数的最值常将函求这类目标函数的最值常将函数数 zaxby 转化为直线的斜截式：转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距，通过求直线的截距的最值间接求出的最值间接求出 z 的最值的最值.2 距离型：形如距离型：形如 z xa 2 yb 2.3 斜率型：形如斜率型：形如.易错警示：注意转化的等价性及几何意义易错警示：注意转化的等价性及几何意义.(1)(2018 浙江高考浙江高考)若若 x，y 满足约束条件满足约束条件则则 zx3y 的最小值是的最小值是_，最大值是，最大值是_(2)已知

16、变量已知变量 x，y 满足约束条件满足约束条件且有无穷多个点且有无穷多个点(x，y)使目标函数使目标函数 zxmy 取得最小值，则取得最小值，则 m_.(1)2 8 (2)1 (1)由题可得，该约束条件表示的平面区由题可得，该约束条件表示的平面区域是以域是以(2,2)，(1,1)，(4，2)为顶点的三角形及其内部区域为顶点的三角形及其内部区域(图图略略)由线性规划的知识可知，目标函数由线性规划的知识可知，目标函数 zx3y 在点在点(2,2)处取处取得最大值，在点得最大值，在点(4，2)处取得最小值，则最小值处取得最小值，则最小值 zmin462，最大值，最大值 zmax268.(2)作出线性约束条件表作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示的平面区域，如图中阴影部分所示示 若若 m0，则，则 zx，目标函数，目标函数 zxmy 取得最小值的最优取得最小值的最优解只有一个，不符合题意解只有一个，不符合题意 若若 m0，则目标函数，则目标函数 zxmy 可看作斜率为可看作斜率为 的动直线的动直线 y x，若若 m0，则，则 0，数形结合知使目标函数，数形结合知使目标函数 zxm