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，所以AH＝1，OHA（?
1．
因为抛物线与x轴交于O、B（2,0）两点，设y＝ax（x－2），代入点A（?
1，可得
．图22所以抛物线的表达式为y?
x（x?
2）?
2
（2）由y?
x?
x?
1）2得抛物线的顶点M的坐标为（1,．．所以tan?
BOM?
a?
所以∠BOM＝30°
．所以∠AOM＝150°
．（3）由A（?
1、B（2,0）、M（1,，
得tan?
ABO
，AB?
OM?
OA
所以∠ABO＝30
°
，?
OM
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°
．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
BAOA?
?
时，BC?
2．此时C（4,0）．BCOMBCOA
②如图4
，当?
6．此时C（8,0）．
BAOM
①如图3
，当
图3图4
考点伸展
在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．
如图5，因为△BOM是30°
底角的等腰三角形，∠ABO＝30°
，因此△ABC也是底角为30°
的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为（－4,0）．
图5
例220XX年苏州市中考第29题
121b
（b?
1）x?
（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交444
于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？
如果存在，求出点P的坐标；
如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？
如果存在，求出点Q的坐标；
如果不存在，请说明理由．
如图1，已知抛物线y?
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．
1．第
（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．
2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
b）．4
（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为（x,x）．如图3，联结OP．
1b15
所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝?
b?
bx＝2b．
2428
161616
解得x?
．所以点P的坐标为（,）．
555
（1）B的坐标为（b,0），点C的坐标为（0,
图2图3
篇二：
2014挑战中考数学压轴题
．
例220XX年苏州市中考第29题
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．
例320XX年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1：
y?
1
（x?
2）（x?
m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与ym
轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M（2,2），求实数m的值；
（2）在
（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在
（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？
若存在，求m的值；
若不存在，请说明理由．
第（4）题也可以这样求BF的长：
在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直
线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？
若存在，请求出t的值；
图1图2
第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？
如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
如图1，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？
若存在，请求出符合条件的点P的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
第（3）题也可以这样解：
如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m，n）（1?
m?
4），那么
111
（2n?
4?
m（n?
n（4?
m）?
2n?
4．2221252
由于n?
2，所以S?
4m．
22
S?
篇三：
挑战中考数学压轴题（2015版）
挑战中考数学压轴题（第八版精选）（2015版）
1.1因动点产生的相似三角形问题1.2因动点产生的等腰三角形问题例120XX年武汉市中考第24题例120XX年长沙市中考第第26题
例220XX年上海市中考第24题例220XX年上海市虹口区中考模拟第25题例320XX年黄冈市中考第25题例320XX年扬州市中考第27题
1.3因动点产生的直角三角形问题1.4因动点产生的平行四边形问题例120XX年苏州市中考第29题例120XX年陕西省中考第24题
例220XX年山西省中考第26题例220XX年上海市松江区中考模拟第24题例320XX年广州市中考第24题例320XX年福州市中考第21题
1.5因动点产生的梯形问题1.6因动点产生的面积问题例120XX年上海市金山区中考模拟第24题例120XX年昆明市中考第23题例220XX年上海市松江中考模拟第24题例220XX年苏州市中考第29题例320XX年衢州市中考第24题例320XX年菏泽市中考第21题
1.7因动点产生的相切问题
例题20XX年上海市徐汇区中考模拟第25题
例120XX年武汉市中考第24题
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：
PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
图1图2图3图4
（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：
BPBABPBC325t105t8
?
①如果，那么，那么．?
．解得t＝1．②如果?
．解得t?
BQBCBQBA418?
4t88?
4t10
4
，所以BD＝
BPcosB＝4t，PD＝3t．5
ACCD768?
4t
当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．所以，即?
．QCPD84t3t
（2）作PD⊥BC，垂足为D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB
＝
图5图6
（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．
由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中点，E是AB的中点．所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．
例220XX年上海市中考第24题
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
图1图2
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．
在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°
，所以AH＝1，OHA（?
1．因为抛物线与x轴交于O、B（2,0）两点，设y＝ax（x－2），代入点A（?
1，可得a?
x（x?
2
（2）由y?
1）2所以抛物线的表达式为y?
（3）由A（?
1、B（2,0）、M（1,?
所以∠ABO＝30°
，
2xx．
得抛物线的顶点M的坐标为（1,所以tan?
．．所以∠BOM＝30°
，AB?
．，得tan?
ABO?
333
C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°
．OM
△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
时，BC?
②如图4，当?
①如图3，当
图3图4
m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在m
点C的左侧．
（2）在
（1）的条件下，求△BCE的面积；
11
m），得2?
4（2?
m）．解得m＝4．mm111
（2）当m＝4时，y?
（x?
4）?
x2?
2．所以C（4,0），E（0,2）．
442
所以S△BCE＝BC?
OE?
6?
2?
6．
（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
HPEO
设对称轴与x轴的交点为P，那么．?
CPCO
HP233因此?
．解得HP?
．所以点H的坐标为（1,）．
3422
（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
CEBC
由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即BC2?
CE?
BF时，△BCE∽△FBC．?
CBBF
m）
1FF&
#39;
EO2设点F的坐标为（x,?
m）），由，得?
．mBF&
COx?
2m
解得x＝m＋2．所以F′（m＋2,0）．
（1）将M（2,2）代入y?
COBF&
4由．所以BF?
．?
CEBFBF
由BC?
BF，得（m?
整理，得0＝16．此方程无解．
2
图1图2图3图4
②如图4，作∠CBF＝45°
交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，
BEBC
由于∠EBC＝∠CBF，所以，即BC2?
BE?
BF时，△BCE∽△BFC．?
BCBF
1
2．m
解得x＝2m．所以F′（2m,0）．所以BF′＝2m＋2
，BF?
2）．
在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得
由BC2?
2）2?
2）．解得m?
综合①、②，符合题意的m
为2?
例120XX年长沙市中考第26题
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0,0）
和1
）两点，点P16
在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0,2）．
（1）求a、b、c的值；
（2）求证：
在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M（x1,0）、N（x2,0）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
图1图4图5
请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在三种情况．
1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．
2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．
（1）已知抛物线的顶点为（0,0），所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．
111
将）代入y＝ax2，得?
a2．解得a?
（舍去了负值）．
16164
（2）抛物线的解析式为y?
x2，设点P的坐标为（x,x2）．
441
x2．已知A（0,2）
，所以PA?
41
而圆心P到x轴的距离为x2，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．
所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．
（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．
在Rt△PMH中，PM2?
PA2?
x4?
4，PH2?
（x）2?
x4，所以MH2＝4．
16416
所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．等腰△AMN存在三种情况：
①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．
图1图2图3
②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝
此时x＝OH＝
2．所以点P
的纵坐标为x2?
1）2?
44
③如图5，当NA＝NM时，点P
的纵坐标为也为4?
例220XX年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°
，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P
为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1备用图图5图6
（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以ED?
CD?
tan?
C?
5?
25315
，EC?
444
（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，
DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°
，∠MDN＝90°
，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．
34PMDM4
所以?
．所以QN?
PM，PM?
QN．
43QNDN3
图2图3图4
①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时QN?
33319
PM?
．所以CQ?
CN?
QN?
．44443151531
②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时QN?
PM?
4444
QDDN3
（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，tan?
QPD?
PDDM4
BA3
在Rt△ABC中，tan?
所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝
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