新编基础物理学上册5Word文档格式.docx
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/6）]（SI）沿着x轴振动.求：
t=0时，作用于质点的力的大小；
作用于质点的力的最大值和此时质点的位置. 分析根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。
跟据f?
ma?
m?
2x，x?
/6）]将t?
0代入上式中，得：
f?
f?
2x可知，当x?
时，质点受力最大，为f?
5-4为了测得一物体的质量m，将其挂到一弹簧上并让其自振动，测得振动频率 ?
1?
；
而当将另一已知质量为m’的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为?
2?
设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量.分析根据简谐振动频率公式比较即可。
12?
k/m，对于同一弹簧采用比较法可得：
?
1m’?
2m解得：
4m’ 5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A?
2m，周期T=，当t=0时，物体在正方向端点；
物体在平衡位置，向负方向运动；
物体在x?
2m处，向负方向运动；
物体在x?
2m处，向负方向运动.求以上各种情况的振动方程。
分析根据旋转矢量图位移和速度确定相位。
进而得出各种情况的振动方程。
设所求振动方程为：
Acos[A旋转矢量图可求出 2?
[4?
]T?
0,?
/2,?
/3,?
4?
/3 题图5-5 x?
t]（SI）x?
2]（SI）2?
]（SI）3?
3]（SI）x?
5-6在一轻弹簧下悬挂m0?
100g砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂m?
250g的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度.选x轴向下，求振动方程. 分析在平衡位置为原点建立坐标，初始条件得出特征参量。
弹簧的劲度系数k?
m0g/?
l。
当该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：
x?
] 角频率为?
k/m代入数据后求得?
7rad/s 以平衡位置为原点建立坐标，有：
x0?
v0?
/s据A?
（v0/?
）2得：
x0得?
于v0?
0,应取?
（rad）A2据?
cos?
1于是，所求方程为：
（7t?
）（m）5-7某质点振动的x-t曲线如题图5－7所示.求：
质点的振动方程；
质点到达P点相应位置所需的最短时间. 分析旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。
并根据P点的相位确定最短时间。
设所求方程为：
1x?
Acos（?
0）从图中可见，t?
0,x0?
A/2,v0?
0旋转矢量法可知；
0?
又?
1s,?
3 ?
5?
6题图5-7 5?
）m63?
P点的相位为0故：
tp?
0tp?
63即质点到达P点相应状态所要的最短时间为有一弹簧，当下面挂一质量为m的物体时，伸长量为?
2m.若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向. 当t＝0时，物体在平衡位置上方?
2m，静止开始向下运动，求振动方程.
（2）当t＝0时，物体在平衡位置并以/s的速度向上运动，求振动方程.分析根据初始条件求出特征量建立振动方程。
） 其中角频率?
k/m?
mg/m?
lg，代入数据得：
10rad/s?
l以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：
0据A?
rad于v0＝0,不妨取?
radA2据?
x1?
（10t?
）（SI） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：
0,v0?
/2rad于v0?
/2radA2据?
x2?
/2）（SI） 5-9一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为x?
2cos（2?
）（SI），求：
从t=0时刻 3起到质点位置在x=-2cm处，且向x轴正方向运动的最短时间. 分析旋转矢量图求得两点相位差，结合振动方程中特征量即可确定最短时间。
解:
依题意有旋转矢量图 从图可见?
而?
（t0?
0） 故所求时间为：
t0?
5-10两个物体同方向作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为A/2的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡 解答图5-9 ?
1s2位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差. 分析旋转矢量图求解。
根据运动速度的方向与位移共同确定相位。
于x10?
A/2、v10?
0可求得：
/4于x20?
A/2、v20?
/4如图5-10所示，相位差：
/2 题图5-10 题图5-11 题图5-11 5-11一简谐振动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程. 分析利用旋转矢量图求解，图中两个确定点求得相位，再根据时间差求得其角频率。
设所求方程为x?
） 当t=0时：
5cm,v1?
0A旋转矢量图可得：
/3rad当t=2s时：
从x-t图中可以看出：
0,v2?
0
t?
0时，x?
5cm?
t?
2s时，x?
Acos（2?
）?
Asin?
上二式解得tg?
1 因为在A点质点的速度大于零，所以?
t=4s?
或44?
xABvAOvBvB?
t=0t=2s题解图5-19A?
x/cos?
52cm ?
t3?
∴振动方程 x?
52?
10cos（?
物体对平板的压力的表达式.T?
，振幅A?
4cm，求：
平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？
分析首先确定简谐振动方程，再根据物体离开平板的临界位置为最高点，且对平板压力为零。
物体与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标，振动方程为：
（4?
）（SI） 设平板对物体的作用力为N，于是物体在运动中所受合力为：
f?
mg?
N?
2x 据牛顿第三定律，物体对平板的作用力N’为：
N’?
m（g?
2x） 即：
16?
2x）?
2cos（4?
） 当频率不变时，设振幅变为A’，在最高点处物体与平板间作用力最小令N’?
0可得：
A’?
g/?
5-22一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动.已知氢原子质量m?
27Kg，振动频率?
1014Hz，振幅A?
11m.试计算：
（1）此氢原子的最大速度；
（2）与此振动相联系的能量. 分析振动能量可其最大动能确定。
（1）最大振动速度：
vm?
103m/s 1mvm2?
20J25-23一物体质量为，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k=25N/m，如果起始振动时具有势能和动能，求：
（1）振幅；
（2）动能恰等于势能时的位移；
（3）经过平衡位置时物体的速度. 分析简谐振动能量守恒，其能量振幅决定。
1解：
E?
EK?
EP?
kA2 2
（2）氢原子的振动能量为：
[2（EK?
EP）/k]1/2?
（m）
（2）因为E?
12kA，当EK?
EP时，有2EP?
E，又因为EP?
kx2/22得：
2x2?
A2，即x?
A/2?
（m） （3）过平衡点时，x?
0，此时动能等于总能量E?
1mv22v?
EP）/m]1/2?
（m/s） 5-24一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如题图5－24所示.设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力.现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率. 分析牛顿第二定律和转动定律确定其加速度与位移的关系即可得到证明。
取如图x坐标,平衡位置为原点O，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长x0 mg?
kx0
（1） 设m在x位置，分析受力，这时弹簧伸长x?
x0 T2?
k（x?
x0）
（2）牛顿第二定律和转动定律列方程：
mg?
T1?
maT1R?
T2R?
J?
（3）（4） ma?
R?
（5） kx2（J/R）?
m题图5-24 联立
（1）
（2）（3）（4）（5）解得a?
于x系数为一负常数，故物体做简谐振动， k其角频率为:
（J/R2）?
m kR2 J?
mR2 题图5-24 15-25两个同方向的简谐振动的振动方程分别为:
2cos2?
（t?
）（SI）, 81合振动的振幅和初相；
若另有一同方向同频率x2?
）（SI）求：
4的简谐振动x3?
）（SI），则?
为多少时，x1?
x3的振幅最大？
又为多少时，x2?
x3的振幅最小？
分析合振动的振幅其分振动的相位差决定。
） 按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为 A?
42?
32?
24cos（?
/4）?
2m 4sin（?
3sin（?
/2）?
4cos（?
3cos（?
/2） ?
arctg所以，合振动方程为x?
）（SI）
（2）当?
2k?
，即?
/4时，x1?
x3的振幅最大.当?
（2k?
1）?
/2时，x2?
x3的振幅最小. 5-26有两个同方向同频率的振动，其合振动的振幅为，合振动的相位与第一个振动的相位差为?
/6，第一个振动的振幅为，求第二个振动的振幅及两振动的相位差。
分析根据已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。
采用旋转矢量合成图求解 取第一个振动的初相位为零，则合振动的相位为?
/6据A?
A1?
A2可知A2?
A1,如图：
A2?
A2?
2AA1cos?
（m） 2于A、A1、A2的量值恰好满足勾股定理，故A1与A2垂直. 即第二振动与第一振动的相位差为?
/2 5－27一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 题图5-26 x1?
2cos（4t?
/3）（SI），x2?
2sin（4t?
/6）（SI）画出两振动的旋转矢量 图，并求合振动的振动方程. 分析须将方程转化为标准方程从而确定其特征矢量，画出矢量图。
/6） ?
/6?
/3）作两振动的旋转矢量图，如图所示.图得：
合振动的振幅和初相分别为A?
（5?
3）cm?
2cm,?
/3. 合振动方程为x?
/3）（SI） 题图5-27 5－28将频率为348Hz的标准音叉和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为若在待 测音叉的一端加上一个小物体，则拍频将减小，求待测音叉的角频率.分析质量增加频率将会减小，根据拍频减少可推知两个频率的关系。
拍频公式?
1可知：
在待测音叉的一端加上一个小物体，待测音叉的频率?
2会减少，若拍频?
也随之减小，则说明?
2>
1,于是可求得：
351Hz 5-29一物体悬挂在弹簧下作简谐振动，开始时其振幅为，经144s后振幅减为问：
（1）阻尼系数是多少？
（2）如振幅减至，需要经过多少时间？
分析阻尼振动振幅随时间的变化规律可直接得到。
（1）阻尼振动振幅随时间的变化规律A?
A0e?
t得 ln ?
t1A0A?
3（1/s） A?
t得 A1e?
t1?
t2A2e?
144s 于是：
t2?
lnA1/A2?
5-30一弹簧振子系统，物体的质量m=Kg，弹簧的劲度系数k=900N/m.系统振动时受到阻尼作用，其阻尼系数为?
1/s，为了使振动持续，现加一周期性外力 F?
100cos30t（SI）作用.求：
振动达到稳定时的振动角频率；
若外力的角频率可以改变，则当其值为多少时系统出现共振现象？
其共振的振幅为多大？
分析受迫振动的频率外力决定。
振动达到稳定时，振动角频率等于周期性外力的角频率，有?
30rad/s
（2）受迫振动达到稳定后，其振幅为：
（F0/m）/（?
2）2?
2式中?
2k/m为系统振动的固有角频率，F0为外力的振幅 上式可解得，当外力的频率?
为：
02?
/s时系统出现共振现象，共振的振幅为：
Ar?
F0/m2?
22?
第六章 6-1频率为?
104Hz的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒的弹性模量 E?
1011N/m2，棒的密度?
10Kg/m.求该纵波的波长. 33分析纵波在固体中传播，波速弹性模量与密度决定。
波速u?
E/?
波长?
u/?
?
6-2一横波在沿绳子传播时的波方程为：
y?
x）（SI）
（1）求波的振幅、波 速、频率及波长；
（2）求绳上的质点振动时的最大速度；
（3）分别画出t=1s和t=2s的波形，并指出波峰和波谷.画出x=处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.解：
用比较法，y?
x）?
；
?
2?
x）得 2?
u?
/s ?
/s 题图 t=1（s）时波形方程为：
y1?
x） t=2（s）时波形方程为：
y2?
x） x=1（m）处的振动方程为：
） 6-3一简谐波沿x轴正方向传播，t=T/4时的波形图如题图6－3所示虚线，若各点的振动以余弦函数表示，且各点的振动初相取值区间为即可求解波的表达。
只要把各种情况中b的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得b点的振动规律。
解:
设其波长为λ,选o点处为坐标原点,方程y?
）；
可得取图中a 题图6-4 所示的坐标,则x处质点的振动比A点滞后x2?
故 ?
同理可得 x?
） ?
l?
l2?
）2?
要求距A为b的点的振动规律,只要把各种情况中b的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得.从结果可知,取不同的坐标只是改变了坐标的原点,波的表达式在形式上有所不同,但b点的振动方程却不变.即
（2） ?
b?
） 6-5一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A，频率为?
，波速为u.设t?
t’时刻的波形曲线如题图6－5所示.求
（1）x=0处质点振动方程；
（2）该波的波方程. 分析于图中是t’时刻波形图，因此，对x=0处质点，图得出的相位也为t’时刻的相位。
再旋转矢量推算出t=0时刻的初相位。
进而写出波动方程。
（1）设x?
0处质点的振动方程为y?
Acos[2?
t’）?
]。
图可知，t?
t’时 y?
0，?
0。
所以?
/2 t?
题图6-5 1?
]21
（2）该波的表达式为：
y?
t’?
x/u）?
] 2x?
0处的振动方程为：
6-6一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A?
10cm，波的角频率?
7?
rad/s，当而x?
20cm处的bt?
时，x?
10cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动， 质点正通过y?
点向y轴正方向运动.设该波波长?
10cm，求该平面波的波方程.分析通过旋转矢量图法，结合x?
10cm点和x?
20cm点，在t?
的运动状态，可得到波长和初相。
设平面简谐波的波长为?
，坐标原点处质点振动初相为?
，则该列平面简谐波的表达式可写成 y?
（7?
x/?
）（SI）。
时x?
10cm处 y?
[7?
（/?
0 因此时a质点向y轴负方向运动，故 7?
2
（1） 而此时,b质点正通过y?
处，有y?
，且质 1点b向y轴正方向运动，故 7?
3
（2）
（1）、
（2）两式联立得 ?
，?
17?
/3所以，该平面简谐波的表达式为：
]（SI）36-7已知一平面简谐波的波方程为y?
（125t?
）（SI）
（1）分别求 x1?
10m,x2?
25m两点处质点的振动方程；
（2）求x1、x2两点间的振动相位差；
（3）求x1点 在t=4s时的振动位移. 分析波方程中如果已知某点的位置即转化为某点的振动方程。
直接求解两点的振动相位差和某时刻的振动位移。
（1）x1?
10m、x2?
25m的振动方程分别为：
yx?
）（SI）, yx?
25?
）（SI）
（2）x2与x1两点间相位差 ?
（3）x1点在t=4s时的振动位移y?
（125?
6-8如题图6-8所示，一平面波在介质中以波速u?
20m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为y?
2cos4?
t（SI）.
（1）以A点为坐标原点写出波方程；
（2）以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波方程.分析波相对坐标轴的传播方向和已知点的振动方程直接写出波方程。
（1）坐标为x处质点的振动相位为 ?
[t?
（x/u）]?
（x/20）]波的表达式为 u BA题图6-8 y?
（x/20）]（SI）
（2）以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为 ?
’?
波的表达式为y?
2cos[4?
5]（SI）20x）?
]（SI）206-9有一平面简谐波在介质中传播，波速u?
100m/s，波线上右侧距波源O为75m处的一点P的运动方程为y?
（2?
/2）（SI）,求：
（1）波向x轴正向传播的波方程；
（2）波向x轴负向传播的波方程. 解：
（1）设以x?
0处为波源，沿轴正向传播的波方程为：
y?
0] 在上式中，代入x?
75m，并与该处实际的振动方程y?
/2）比较可得：
s?
1,?
，可得：
（2）设沿轴负向传播的波方程为：
， 可得：
所求 6-10一平面谐波沿ox轴的负方向传播,波长为λ，P点处质点的振动规律如题图6－10所示.求:
P点处质点的振动方程;
此波的波动方程；
若图中d?
/2,求O点处质点的振动方程. 分析首先已知振动规律结合旋转矢量图可得P点振动的初相与周期，从而得到其振动方程。
波动方程则P与原点的距离直接得到。
波动方程中直接代入某点的坐标就可求出该点的振动方程。
从图中可见T?
4s,且t?
0,ypo?
A,?
则P点处质点的振动方程为yp?
Acos（2?
x）（SI）为所求1002?
x]（SI）为100yP（m）2?
Acos（t?
）（SI）4201-AO向负方向传播的波动方程为 t（s）y?
Acos[把d?
2（t?
d?
] dPxx?
0代入波动方程即得 ?
/2y0?
） 24题图6-10 6-11一平面简谐波的频率为500Hz，在空气（?
/m3）中以 340m/s的速度传播，达到人耳时的振幅为?
6m.试求波在人耳中的平均能量密度 和声强. 分析平均能量密度公式直接求解。
声强即是声波的能流密度。
波在耳中的平均能量密度：
w?
6J/m32?
32声强就是声波的能流密度，即：
I?
uw?
10W/m 6-12一正弦空气波,沿直径为的圆柱形管传播,波的平均强度为9?
3J/s?
m2,频率为300Hz,波速为300m/s.求:
（1）波中的平均能量密度和最大的能量密度各是多少?
（2）每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量?
分析平均能量密度为其在一个周期内的平均值，为最大值的一半。
两个相邻同相面既是相距一个波长的距离的波段。
（1）?
v I9?
5J/m3 v300又?
wmax?
2w ?
6?
5J/m3
（2）两个相邻同相面间的波段所对应的体积为 ?
u?
300V?
2m3?
300?
W?
wV?
7J 2226－13在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox轴传播，波动表达式分别为 y1?
）]与y2?
2Acos[2?
）]，试求Ox轴上合振幅最大与合振 幅最小的那些点的位置。
分析合振幅大小相位差确定。
2解：
（1）设合振幅最大处的合振幅为Amax，有Amax?
（2A）2?
2A?
2Acos?
式中 ?
因为当cos?
1时，合振幅最大，即有4?
所以，合振幅最大的点x?
1k?
22
（2）设合振幅最小处的合振幅为Amin，有Amin?
1时，合振幅最小，即有4?
所以，合
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