杭州初三数学二次函数练习题复习题二次函数知识点Word下载.docx

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c,2ab,b2

4ac）之间的关系

开口向上

开口向下

对称轴在

y轴右侧

对称轴在y轴左侧

抛物线与

轴的交点在轴正半轴

轴的交点在轴负半轴

看

时函数的值

抛物线与x轴有两个交点

4ac

抛物线与x轴有一个交点

抛物线与x轴没有交点

杭州中考网1

2a+b

由-

可得

1（

1）

2ab

注意a的正负

由-b

例1、

（1）已知二次函数

ax2

c（a

0）的图象如图所示，有下列

5个结论：

①abc

0；

②b

c；

③

2bc

④2c3b；

⑤ab

m（amb），

（m1的实数）

其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

（2）如图4所示，二次函数yax2bxc（a0）的图象经过点（－1，2），且与x轴交

点的横坐标分别为x1，x2，其中－2<

x1<

－1，0<

x2<

1，下列结论：

①4a－2b+c<

0；

②2a－b<

③a<

－1；

④b2+8a>

4ac。

其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（3）如图，抛物线yax2bxc与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包

括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则

①abc#.0（填“”或“”）；

②a的取值范围是#.

三、二次函数的性质

①当a>

0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，增大而增大。

它有最底点，所以存在最小值，标的值就是二次函数的最小值。

②当a<

0时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，增大而减小。

它有最高点，所以存在最大值，标的值就是二次函数的最大值。

y随x增大而减小；

在对称轴右侧，y随x这个最小值就是当x取顶点横坐标，顶点纵坐

y随x增大而增大；

在对称轴右侧，y随x这个最大值就是当x取顶点横坐标，顶点纵坐

例2、已知M,N两点关于Y轴对称，且点M在双曲线

x3上，

上，点N在直线y

设点M的坐标为（a,b），则二次函数yabx2

（a

b）x有最大值还是最小值，那最大（小）

值是多少？

四、二次函数的基本应用

杭州中考网2

1、利润问题

例3、

（1）、某商店购进一批单价为

元的日用商品，如果以单价

30元销售，那么半月可

售出400件，根据销售经验（提高销售单价会导致销售量的减少）

，即销售单价每提高1元，

销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？

（2）、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，

年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过

程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润

S（万元）与销售时间t（月）

之间的关系（即前t个月的利润总和

S与t

之间的关系）。

根据图象提供的信息，解答下列问题：

①

由已知图象上的三点坐标，求累积利润

S（万元）与时间

t（月）之间的函数表达式；

②

求截止到几月末公司累积利润可达到

30万元；

求第8个月公司所获利润是多少万元？

（3）、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产

品，并投入资金1500万元进行批量生产。

已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程

中发现：

当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；

销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价x为元，年销售量为y万件，年获利z（年获利＝年销售额－

生产成本－投资）万元。

①试写出y与x之间的函数关系式；

（不必写出的取值范围）

②试写出z与x之间的函数关系式；

③计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？

相应的年销售量分别为多少万件？

④公司计划：

在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。

请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？

2、距离（长度）问题

例4、某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道

其高度为6米,宽OM=12

米,现以O

点为原点,OM所在直线为x轴建立如图的直角坐标系.

请直接写出点M及抛物线顶点P的坐标.

求出这条抛物线的解析式.

施工队计划在隧道门口搭建一个矩形

“脚手架”ABCD,使A、D在抛物线上,B、C在地面

OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木料AB、AD、DC的长度之和的最大值

.试问:

其

最大值是多少?

杭州中考网3

3、过隧道及过桥问题

例5、如图所示，隧道的截面是由抛物线和长方形构成的。

长方形的宽是

2米，长是

8米，

抛物线可用

y025x4

表示。

①一辆卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？

②如果该隧道内设双行道，那么这辆卡车能通过吗？

4、分段函数

例6、

（1）、通过实验研究，专家们发现：

初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，

随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表

示注意力越集中）.当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．⑴当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

⑵一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36．

o5102040x

（2）、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：

分钟）与学习收益量y

的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间

x（单位：

分钟）与学习收益量

y的关系如图乙所

示（其中OA是抛物线的一部分，

A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于

解题的时间．

y与用于解题的

①求王亮解题的学习收益量

时间x之间的函数关系式，并写出自变量

x的

取值范围；

②求王亮回顾反思的学习收益量

y与用于回

顾反思的时间

x之间的函数关系式；

O2x

③王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这

30分钟的学习收益总量最大？

（学习收益总量

解题的学习收益量

图

回顾反思的学习收益量）

杭州中考网4

（3）、由于国家重点扶持节能环保产业，

某种节能产品的销售市场逐渐回暖．

某经销商销售

这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为

0.1

万元／台，并预付

了5万元押金。

他计划一年内要达到一定的销售量，

且完成此销售量所用的进货总金额加上

押金控制在不低于

34万元，但不高于40

万元．若一年内该产品的售价

y（万元／台）与月

0.05x

0.25（1

4）

次x（1x12且为整数）满足关系是式：

（4

6）

，一年后发现

0.015x

0.01（6

12）

实际每月的销售量

（台）与月次

之间存在如图所示的变化趋势．

．．

直接写出实际每月的销售量

之间的函数关系式；

．．．．．．

求前三个月中每月的实际销售利润

w（万元）与月次

③试判断全年哪一个月的的售价最高，并指出最高售价；

④请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量．

五、二次函数和方程及不等式的相互关系及相互转换

函数作为代数援助几何的衍生物，起着一个桥梁作用，因此在解决函数问题时，应该

注意数型结合。

作为代数的主体，方程和不等式与函数之间有着密切的联系，

解方程不等式

问题，从实质上说，是研究相应函数的零点、正负值问题．对于函数

f（x），它与x轴

交点的横坐标就是方程

f（x）

0的解，而y

f（x）在x轴上面（下面）的部分所对应的x

的取值范围就是不等式

0（f（x）

）的解集。

对于函数

f（x）和g（x），它们交点

的横坐标就是方程f（x）g（x）的解，而不等式f（x）g（x）（f（x）g（x））的解集反映

在图像上，就是f（x）的图像在g（x）图像上面的部分所对应的x的取值范围。

例7、

（1）、二次函数yax2bxc（a0）的图象

如图所示，根据图象解答下列问题：

①写出方程ax2bxc0的两个根．

②写出不等式ax2bxc0的解集．

③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．

④写出方程ax2bxc6的实数根：

⑤若方程ax2bxck有两个不相等的实数根，写出k的取值范围．

（2）、阅读材料，解答问题．

用图象法解一元二次不等式：

x22x30．

解：

设yx22x3，则y是x的二次函数．

杭州中考网5

0，

抛物线开口向上．

又当y

0时，x2

0，解得x1

1，x2

．

由此得抛物线

yx2

3的大致图象如图所示．

观察函数图象可知：

当

或x

3时，y

0．

2x30的解集是：

1或x

3．

①观察图象，直接写出一元二次不等式：

的解集是____________；

②仿照上例，用图象法解一元二次不等式：

0．（大致图象画在答题卡上）

．．．

（3）、已知抛物线y1

c的部分图象如图

1所示。

图1图2

①求c的取值范围；

②若抛物线经过点（

0，-1），试确定抛物线y1x2

c的解析式；

③若反比例函数y2

的图象经过

（2）中抛物线上点（

1，a），试在图

2所示直角坐

标系中，画出该反比例函数及（

2）中抛物线的图象，并利用图象比较

y1与y2的大小。

杭州中考网6

（4）、阅读：

我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示

一条直线；

我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图①.

观察图①可以得出：

直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组

的解，所以这个方程组的解为

y10

在直角坐标系中，x≤1

表示一个平面区域，即直线

x＝1以及它左侧的部分，如图②；

y≤

2x＋1也表示一个平面区域，即直线

y＝2x

＋1以及它下方的部分，如图③。

P（1,3）

y=2x+1

x=1

图①

图②

图③

回答下列问题：

在直角坐标系（图④）中，用作图象的方法求出方程组

的解；

2x2

x≥－2

用阴影表示

y≤－2x＋2，所围成的区域。

y≥0

六、动点面积问题

动点类面积问题的解题关键在于寻找临界点，划分时间段，需要注意的是，最后得到的

S与时间t或者距离x是一个分段函数，如果要求S的最值，则应该在区间内求最值，然后加以比较。

例8、

（1）、如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，

AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒

1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．

（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；

（2）设P点运动时间为t（秒）。

①当t＝5时，求出点P的坐标；

②若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式

（并写出相应的自变量t的取值范围）．

（2）、如图1,在△ABC中，∠A＝90°

，AB＝4，AC＝3，M是

AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O

内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

①用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；

杭州中考网7

②当

为何值时，⊙

与直线

相切？

③在动点

M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为

y，试求y关于x的函

数表达式，并求

x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

图1

图2

图3

（3）、如图，在平面直角坐标系中，两个函数y

x,y

6的图象交于点A。

动点P

从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作

PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ

为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为

S。

①求点A的坐标。

（2分）

②试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）

的关系式。

（4分）

③在②的条件下，S是否有最大值？

若有，求出

t为何值

时，S有最大值，并求出最大值；

若没有，请说明理由。

（2分）

④若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正

方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间

t满足的

条件是____________。

（4）、如图，已知直线l1:

8与直线l2:

16相交于点C，l1、l2

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