贝塞尔公式word精品Word文件下载.docx
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标准偏差的理论计算公式
设对真值为X的某量进行一组等精度测量，其测得值为11、丨2、测得值I与该量真值X之差为真差占CT,则有（T1=1i-X
（T2=I2-X
（Tn=|n-X
1n
朽（H
i=l
我们定义标准偏差（也称标准差）C为
=lun
由于真值X都是不可知的，因此真差C占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差b的常用估计一贝塞尔公式
由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值
增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值…之差一一剩余误差（也叫残差）V来代替真差（T,即
Vi=Li-L
设一组等精度测量值为丨1、丨2、，，In
贝U—-.1-L
14=b-E
JJ
Vn=ln~L
通过数学推导可得真差c与剩余误差v的关系为
将上式代入式
（1）有
式
（2）就是著名的贝塞尔公式（Bessel）。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，
=f用—為一工,可见贝塞尔公式与（T的定义式⑴是完全一致的
应该指出，在n有限时，用贝塞尔公式所得到的是标准偏差c的一个估计值。
它不是总体标准偏差c。
因此，我们称式
（2）为标准偏差c的常用估计。
为了强调这一点，我们将c的估计值用“S”表示。
于是，将式
（2）改写为
（2'
）
nni
z仏一qjdS
*5
（2"
式（2'
）可写为
按式（2"
）求S时，只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方
n
（E）2
艺，即可。
标准偏差c的无偏估计
数理统计中定义S2为样本方差
数学上已经证明S是总体方差（72的无偏估计。
即在大量重复试验中,S围绕72散布,它们之间没有系统误差。
而式（2'
）在n有限时,S并不是总体标准偏差7的无偏估计，也就是说S和7之间存在系统误差。
概率统计告诉我们，对于服从正态分布的正态总体，总体标准偏差7的无偏估计值•为
则-二、—U
即S和S仅相差一个系数K.,K°
是与样本个数测量次数有关的一个系数,K7值见表。
计算&
时用到
r（n+1）=nr（n）
r
（1）=1
a
2
L2533
7
E0424
20
3
1.12S4
8
1.0362
25
4
1.0854
9
；
EG317
30
5
1.0638
10
1.0281
40
6
1.0509
15
1.0180
50
由表1知,当n>
30时，八十1■-［工;
打怎〔。
因此，当n>
30时，式（3'
）和式（2'
）之间的差异可略而不计。
在n=30〜50时，最宜用贝塞尔公式求标准偏差。
当n<
10时,由于&
值的影响已不可忽略,宜用式（3'
）,求标准偏差。
这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。
标准偏差的最大似然估计
将c的定义式⑴中的真值X用算术平均值二代替且当n有限时就得到
171_
$=\洛仏_驴
\11i=l
式⑷适用于n>
50时的情况,当n>
50时,n和（n-1）对计算结果的影响就很小了。
2.5标准偏差c的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大，
不宜现场采用，而极差估计的方法则有运算简便，计算量小宜于现场采用的特点。
极差用"
R"
表示。
所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中
的最大值与最小值之差。
若对某量作次等精度测量测得I1、■■「，且它们服从正态分布，则
R=Imax-Imin
概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为
血⑸
S3称为标准偏差c的无偏极差估计，d2为与样本个数n（测得值个数）有关的无偏极差系数，其值见表2
1/込
L414
1J28
0.886
1.732
L693
0.59L_
2,000
2.059
0.486
2.236
2.326
広心）［
2.450
7.534
63!
仔!
2.646
0370
2柄1
2.847|
031
100G
2,970
0.337
3J62
3.078
O：
3251
11
3317
3J73
0.315
12
3.464
3.258
0.307
13
3,606
3336
0.300
14
3.742
3,407
0.294
3.873
3.472
0-288
16
4.000
3.532
0,283
17
4.123
3.588
0,279
18
<
243
3.640
0.275）
19
4.359
3.689
0.271
由表2知，当nW15时，，'
"
因此，标准偏差c更粗略的估计值为
（5'
S；
=-R
66（5"
显然，不需查表利用式（5'
）和（5"
）了即可对标准偏差值作出快速估计,用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。
应指出,式（5）的准确度比用其他公式的准确度要低，但当5<
nW15时,式（5）不仅大大提高了计算速度，而且还颇为准确。
当n>
10时，由于舍去数据信息较多，因此误差较大，为了提高准确度，这时应将测得值分成四个或五个一组先求出各组的极差R、-■'
=,再由各组极差求出极差平均值。
D_+***+Rk
灵
极差平均值和总体标准偏差的关系为
需指出，此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N（=nK）去查表2。
再则，分组时一定要按测得值的先后顺序排列，不能打乱或颠倒。
标准偏差（T的平均误差估计
平均误差的定义为
v|久|+|如+…+|几|
Ti=hm
/ngn
误差理论给出
/2r4
（A）
i1—5=0.7979<
ta-rrVTT5
7T
「「的关系为
可以证明亨=二与」1
（证明从略）
由式（A）和式（B）得
从而有
（n-l）
=1.2533昙也
0（舁—1）
4^n（n-1）
式⑹就是佩特斯（C.A.F.Peters.1856）公式。
用该公式估计S值,由于\right|V\right|不需平方，故计算较为简便。
但该式的准确度不如贝塞尔公式。
该式使用条件与贝塞尔公式相似。
标准偏差的应用实例⑴
对标称值Ra=0.160<
math>
卩m<
的一块粗糙度样块进行检定,顺次测得以下15个数
据:
1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1
.74和1.63卩m试求该样块R的平均值和标准偏差并判断其合格否'
解：
1）先求平均值…
L=1.60I
一12+5+0+7-8-14+12+9+17+4—4-10+4+4+3
=1.60I
27
15x100
=1.618（<
fim<
2）再求标准偏差S
若用无偏极差估计公式式（5）计算，首先将测得的，15个数据按原顺序分为三组，每组五个，见表3。
表3
组号
l_1
l_5
R
1.48
1.651
.601.
671.5
\20.1
1.46
1.721
.691.
771.6
>
40.3
1.56
1.501
.641.
741.6
30.2
=0-13
因每组为5个数据，按n=5由表2查得-
故
Sr==0-43x0.247=0.10621（<
pm<
a?
若按常用估计即贝塞尔公式式（2'
）,则
n_
T仏—L）1=0.0962（<
（im<
）、舁一1—
若按无偏估计公式即式（3'
）计算,因n=15,由表1查得Ks=1.018,则
S】=K&
S=1.018X0.0962=0.09793（<
若按最大似然估计公式即式（4'
）计算,则
=\
（UM]
\
3=1
寺xf39.3985一牛|匸
15\15
=0.09296（<
卩m<
）
若按平均误差估计公式即式（6）,则
S4=1.2533
=12533x
1.176
/15x14
=0-1017（<
现在用式（5'
）对以上计算进行校核
I_I
X0.247=0.0637（<
/zm<
可见以上算得的S、S、S、S3和S没有粗大误差。
由以上计算结果可知0.09296<
0.0962<
0.0979<
0.1017<
0.1062
即S2<
S<
S<
S4<
S3
可见，最大似然估计值最小，常用估计值S稍大，无偏估计值s又大，平均误差估计值S4再大，极差估计值S3最大。
纵观这几个值，它们相当接近，最大差值仅为0.01324卩m从理论上讲，用无偏估计值和常用估计比较合适，在本例中,它们仅相差0.0017卩m可以相信,随着的增大,S、S、S、S3和S之间的差别会越来越小。
就本例而言,无偏极差估计值S3和无偏估计值Si仅相差0.0083卩m这说明无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。
JJG102-89《表面粗糙度比较样块》规定Ra的平均值对其标称值的偏离不应超过+12%-17%,标准偏差应在标称值的4%-12%之间。
已得本样块二产,「:
;
产均在规定范围之内,故该样块合格。
标准偏差与标准差的区别
标准差（StandardDeviation）各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。
用c表示。
因此，标准差也是一种平均数。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数
相同的，标准差未必相同。
例如，AB两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
标准偏差（StdDev,StandardDeviation）-统计学名词。
一种量度数据分
布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。
标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
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