超详细鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解精华版Word格式.docx
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=475÷
19=25（个）
解二1000-（15×
1000+3525）÷
＝1000-18525÷
19
=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费×
×
元，破旧者不仅不给运费，仍需要赔成本×
元⋯⋯；
它的解法明显可套用上述公式；
）
（5））鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷
（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）
÷
（每只鸡兔脚数之差）〕÷
2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷
（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷
2=兔数；
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，如将鸡数与兔数互换，就共有脚52只；
鸡兔各是多少只？
解〔（52+44）÷
（4+2）+（52-44）÷
（4-2）〕÷
2
鸡兔同笼
目录1总述2假设法3方程法一元一次方程二元一次方程
4抬腿法5列表法6详解7具体解法基本问题特别算法习题
8鸡兔同笼公式
1总述
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一；
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个好玩的问题；
书中是这样表达的：
“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
”这四句话的意思是：
有如干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚；
问笼中各有几只鸡和兔？
算这个有个最简洁的算法；
（总脚数-总头数×
鸡的脚数）÷
（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数
（94－35×
2）÷
2=12（兔子数）总头数（35）－兔子数（12）=鸡数
（23）
说明：
让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就削减了头数×
2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以
2就是兔子数；
虽然现实中没人鸡兔同笼；
2假设法
假设全是鸡：
2×
35=70（只）
鸡脚比总脚数少：
94－70=24（只）兔：
24÷
（4-2）=12（只）
鸡：
35－12=23（只）假设法（通俗）
假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：
94-35=59（只）
然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两
只脚站立的兔子，站立脚：
59-35=2（4
只）兔：
24÷
2=1（2
只）鸡：
35-12=23（只）
3方程法
一元一次方程
解：
设兔有x只，就鸡有（35-x）只；
4x+2（35-x）=94
4x+70-2x=94
2x=94-70
2x=24
x=24÷
2x=12
或解：
设鸡有x只，就兔有（35-x）只；
2x+4（35-x）=94
2x+140-4x=94
2x=46x=23
35-23=12（只）
答：
兔子有12只，鸡有23只；
注：
通常设方程时，挑选腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些；
二元一次方程
设鸡有x只，兔有y只；
x+y=352x+4y=94
（x+y=35）×
2=2x+2y=70
（2x+2y=70）-（2x+4y=94）=（2y=24）y=12
把y=12代入（x+y=35）
x+12=35
x=35-12（只）
x=23（只）；
兔子有12只，鸡有23只
4抬腿法法一
假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，仍有94除以2=47只脚；
笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数；
法二
假如鸡与兔子都抬起两只脚，仍剩下94－35×
2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷
2=12只兔子，就有35－12=23只鸡
5列表法
腿数
鸡（只数）兔（只数）6详解
中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪；
这本书浅显
易懂，有很多好玩的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
题目中给出雉兔共有35只，假如把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡；
鸡兔总的脚数是35×
2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）；
现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即
70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，
2，2⋯⋯，始终连续下去，直至增加24，因此兔子数：
2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）；
我们来总结一下这道题的解题思路：
假如先假设它们全是鸡，于是依据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔；
概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：
兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×
鸡兔总数）÷
（每只兔子脚数-每只鸡脚数）；
类似地，也可以假设全是兔子；
我们也可以采纳列方程的方法：
设兔子的数量为x，鸡的数量为y
那么：
x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：
兔子有12只，鸡有23只；
7具体解法基本问题
"
鸡兔同笼"
是一类出名的中国古算题；
最早显现在《孙子算经》中.很多学校算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"
假设法"
来求解；
因此很有必要学会它的解法和思路.
例1有如干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只
我们设想，每只鸡都是"
金鸡独立"
一只脚站着；
而每只兔子都用
两条后腿，像人一样用两只脚站着；
现在，地面上显现脚的总数的一半，·
也就是
244÷
2=122（只）.
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次；
因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数
122-88=34（只），
有34只兔子.当然鸡就有54只；
有兔子34只,鸡54只；
上面的运算，可以归结为下面算式：
总脚数÷
2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数特别算法
上面的解法是《孙子算经》中记载的；
做一次除法和一次减法，立刻
能求出兔子数，多简洁！
能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，"
脚数"
就不肯定是4和2，上面的运算方法就行不通；
因此，我们对这类问题给出一种一般解法.
仍说例1.
假如设想88只都是兔子，那么就有4×
88只脚，比244只脚多了88×
4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡
（88×
4-244）÷
（4-2）=54（只）.
说明我们设想的88只"
兔子"
中，有54只不是兔子；
而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=（兔脚数×
总头数-总脚数）÷
（兔脚数-鸡脚数）.
当然，我们也可以设想88只都是"
鸡"
那么共有脚2×
88=176（只），比244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，68÷
2=34（只）.
说明设想中的"
鸡"
有34只是兔子，也可以列出公式
兔数=（总脚数-鸡脚数×
总头数）÷
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数；
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为"
.
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式；
例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16
支，花了2.80元；
问红，蓝铅笔各买几支？
以"
分"
作为钱的单位.我们设想，一种"
有11只脚，一种"
兔子"
有19只脚，它们共有16个头，280只脚；
现在已经把买铅笔问题，转化成"
问题了.利用上面算兔数公
式，就有
蓝笔数=（19×
16-280）÷
（19-11）
=24÷
8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
买了13支红铅笔和3支蓝铅笔；
对于这类问题的运算，经常可以利用已知脚数的特别性.例2中的"
19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是"
8只是"
依据这一设想，脚数是
8×
（11+19）=240（支）；
比280少40.
40÷
（19-11）=5（支）；
就知道设想中的8只"
应少5只，也就是"
（蓝铅笔）数是3.
30×
8比19×
16或11×
16要简洁运算些；
利用已知数的特别性，靠心算来完成运算.
实际上，可以任意设想一个便利的兔数或鸡数；
例如，设想16只中，"
兔数"
为10,"
鸡数"
为6，就有脚数
19×
10+11×
6=256.
比280少24.
（19-11）=3,
就知道设想6只"
要少3只；
要使设想的数，能给运算带来便利，经常取决于你的心算本事.
下面再举四个稍有难度的例子；
例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打如干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时；
甲打字用了多少小时？
我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷
6=5（份），乙每小时打30÷
10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成"
兔"
头数，乙打字的时间看成"
头数，总
头数是7."
兔"
的脚数是5,"
的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成"
鸡兔同笼"
问题了；
依据前面的公式
数=（30-3×
7）÷
（5-3）
=4.5,
数=7-4.5
=2.5,
也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时；
甲打字用了4小时30分.
例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和
是17岁；
四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是
兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？
4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"
头数，弟的年龄
看作"
头数；
25是"
总头数"
.86是"
总脚数"
.依据公式，兄的年龄是（25×
4-86）÷
（4-3）=14（岁）.
1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
（25-14）×
4-4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
（40-10）÷
（3-1）=15（岁）.
这是2003年；
公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅
膀；
现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？
由于蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成"
8条腿"
与"
6条腿"
两种；
利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=（118-6×
18）÷
（8-6）
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀；
再利用一次公式蝉数=（13×
2-20）÷
（2-1）=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉；
例6某次数学考试考五道题，全班52人参与，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做
对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
对2道，3道，4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×
7-5×
6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5
道题的人（（2+3）÷
2=2.5）.这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5,
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
（144-2.5×
39）÷
（4-2.5）=31（人）.
做对4道题的有31人；
以例1为例有如干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
以简洁的X方程运算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设
兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只；
设兔为X只；
就鸡为（88-X）只；
4X+2×
（88-X）=244
上列的方程说明为：
兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数；
4X
就是兔子的脚数，2×
（88-X）就是鸡的脚数；
88-2X=244
2X+176=244
2X+176-176=244-176
2X=68
2X÷
2=68÷
2X=34
即兔子为34只，总数是88只，就鸡：
88-34=54只；
兔子有34只，鸡有54只；
习题一
1.龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只？
2.学校有象棋，跳棋共26副，恰好可供120个同学同时进行活动；
象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？
3.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分
硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？
4.某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多；
那么2元，5元，10元各有多少张？
5．一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做
了如干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16
天.甲先做了多少天？
6.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成如干个阶段，每一阶段
中，有的是由一段上坡路（3千米），一段平路（4千米），一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；
有的是由一段上坡路（3千米），一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；
已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？
7.用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？
二，"
两数之差"
的问题
鸡兔同笼中的总头数是"
两数之和"
假如把条件换成"
又应当怎样去解呢
例7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角；
已知8分的邮票比4
分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？
解一：
假如拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
（680-8×
40）÷
（8+4）=30（张），
这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张；
因此8分邮票有
40+30=70（张）.
买了8分的邮票70张，4分的邮票30张；
也可以用任意假设一个数的方法.
解二：
譬如，假设有20张4分，依据条件"
8分比4分多40张"
那么
应有60张8分；
分"
作为运算单位，此时邮票总值是4×
20+8×
60=560.
比680少，因此仍要增加邮票；
为了保持"
差"
是40，每增加1张4
分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是
（680-4×
20-8×
60）÷
（4+8）=10（张）.
因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.
例8一项工程，假如全是晴天，15天可以完成；
假如下雨，雨天比
晴天多3天，
工程要多少天才能完成
类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有
（150-8×
3）÷
（10+8）=7（天）.
雨天是7+3=10天，总共7+10=17（天）.
这项工程17天完成；
请留意，假如把"
雨天比晴天多3天"
去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个；
这说明白例7，例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是"
两数之差"
又应当怎样去解呢例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？
解一：
假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷
2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷
2=2（倍），于是鸡的只数是兔的
只数的2倍；
兔的只数是
（100+28÷
2）÷
（2+1）=38（只）.
鸡是100-38=62（只）.
鸡62只，兔38只；
当然也可以去掉兔28÷
4=7（只）.兔的只数是（100-28÷
4）÷
（2+1）+7=38（只）.
也可以用任意假设一个数的方法；
假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是4×
50-2×
50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是
100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万留意，不是2）.因此要削减的兔数是（100-28）÷
（4+2）=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.
另外，仍存在下面这样的问题：
总头数换成"
总脚数也换成"
例10古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；
七言绝句是四
句诗，每句都是七个字；
有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多
13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？
假如去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差13×
5×
4+20=280（字）.
每首字数相差7×
4-5×
4=8（字）.
因此，七言绝句有280÷
（28-20）=35（首）.
五言绝句有35+13=48（首）.
五言绝句48首，七言绝句35首；
假设五言绝句是23首，那么依据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×
23=460（字），28×
10=280（字），五言绝句的字数，反而多了
460-280=180（字）.与题目中"
少20字"
相差180+20=200（字）.
说明假设诗的首数少了；
为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加200÷
8=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.
七言绝句有10+25=35（首）.
在写出"
公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7，例9和例10三个问题，当然也可以这样假设；
现在来具体做一下，把列出的运算式子与"
公式对比一下，就会发觉特别好玩的事.
例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680-8×
（8+4）=30（张）.
例9，假设都是兔，鸡的只数是（100×
4-28）÷
（4+2）=62（只）.
10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是（20×
13+20）÷
（28-20）=35（首）.
第一，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与"
公式
比较，这三个算式只是有一处"
-"
成了"
+"
.其奥妙何在呢
当你进入中学，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的全部例子都是同一件事；
例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数
目运算，每只2角，如有破旧，破旧瓶子不给运费，仍要每只赔偿1
元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破旧了几只？
假如没有破旧，运费应是400元；
但破旧一只要削减1+0.2=1.2
（元）.因此破旧只数是（400-379.6）÷
（1+0.2）=17（只）.
这次搬运中破旧了17只玻璃瓶；
请你想一想，这是"
同一类型的问题吗
例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包
含不答）1题倒扣1分
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