超详细鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解精华版Word格式.docx

1、=47519=25（个）解二 1000- （151000+3525） 1000- 1852519=1000-975=25（个）（答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题” ，运到完好无损者每只给运费元，破旧者不仅不给运费，仍需要赔成本元；它的 解法明显可套用上述公式； ）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题）， 可用下面的公式：（两次总脚数之和） （每只鸡兔脚数和） +（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差） 2=鸡数；（两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数之和） - （两次总脚数之差） 2=兔数；例如，“有一些鸡和兔，共有脚 44只，如将鸡数与兔数互换，就共有脚 52

2、只；鸡兔各是多少只？解 （ 52+44）（ 4+2）+（52-44 ）（ 4-2 ）2鸡兔同笼目录 1 总述 2 假设法 3 方程法 一元一次方程 二元一次方程4 抬腿法 5 列表法 6 详解 7 具体解法基本问题 特别算法 习题8 鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一； 大约在 1500 年前，孙子算经中就记载了这个好玩的问题；书中是这样表达的： “今有雉兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问雉兔各几何？” 这四句话的意思是： 有如干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头,从下面数，有94 只脚；问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简洁的算法；（总脚数 -总头数鸡的

3、脚数）（兔的脚数 -鸡的脚数） =兔的只数（ 94 352） 2=12（兔子数 ） 总头数（ 35）兔子数（ 12） =鸡数（ 23）说明：让兔子和鸡同时抬起两只脚， 这样笼子里的脚就削减了头数2只，由于鸡只有 2 只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2 就是兔子数；虽然现实中没人鸡兔同笼；2假设法假设全是鸡： 2 35=70（只）鸡脚比总脚数少： 94 70=24 （只） 兔： 24（4-2）=12 （只）鸡： 3512=23（只） 假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）然后再抬起一只脚， 这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了， 只剩下用两只脚站立的兔子

4、， 站立脚：59-35=2（4只） 兔：242=1（2只） 鸡：35-12=23（只）3方程法一元一次方程解：设兔有 x 只，就鸡有 （35-x）只；4x+2（35-x）=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=24 2 x=12或 解：设鸡有 x 只，就兔有（ 35-x）只；2x+4（35-x）=942x+140-4x=942x=46 x=2335-23=12（只）答：兔子有 12 只，鸡有 23 只；注：通常设方程时，挑选腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些；二元一次方程设鸡有 x 只，兔有 y 只；x+y=35 2x+4y=94（ x+y=35）

5、 2=2x+2y=70（2x+2y=70）-（2x+4y=94）=（2y=24） y=12把 y=12 代入（ x+y=35）x+12=35x=35-12（只）x=23（只）；兔子有 12 只，鸡有 23 只4抬 腿 法 法 一假如让鸡抬起一只脚， 兔子抬起 2 只脚，仍有 94 除以 2=47 只脚；笼子里的兔就比鸡的头数多 1，这时，脚与头的总数之差 47-35=12，就是兔子的只数；法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，仍剩下 94352=24 只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上， 地上只有兔子的脚， 而且每只兔子有两只脚在地上， 所以有 242=12 只兔子，就有 3512=23 只鸡5列表法腿数

6、鸡（只数） 兔（只数） 6 详解中国古代孙子算经共三卷，成书大约在公元 5 世纪；这本书浅显易懂，有很多好玩的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？题目中给出雉兔共有 35 只，假如把兔子的两只前脚用绳子捆起来， 看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔 子就成了 2 只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡；鸡兔总的脚数是352=70（只），比题中所说的 94 只要少 94-70=24（只）；现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加 2 只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加 2，2，2，2

7、，始终连续下去， 直至增加 24，因此兔子数：2=12（只）， 从而鸡有 35-12=23（只）；我们来总结一下这道题的解题思路： 假如先假设它们全是鸡， 于是依据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚， 把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较， 看看差多少， 每差 2 只脚就说明有 1 只兔，将所差的脚数除以 2，就可以算出共有多少只兔；概括起来，解 鸡兔同笼题的基本关系式是： 兔数=（实际脚数 -每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数 -每只鸡脚数）；类似地， 也可以假设全是兔子；我们也可以采纳列方程的方法：设兔子的数量为 x，鸡的数量为 y那么：x+y=35 那么 4x+2y=94 这个算方

8、程解出后得出： 兔子有 12 只， 鸡有 23 只；7 具体解法基本问题 鸡兔同笼 是一类出名的中国古算题；最早显现在孙子算经中.很多学校算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法- 假设法来求解；因此很有必要学会它的解法和思路 .例 1 有如干只鸡和兔子，它们共有 88 个头， 244 只脚，鸡和兔各有多少只我们设想， 每只鸡都是 金鸡独立 ,一只脚站着； 而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着；现在，地面上显现脚的总数的一半，也就是2442=122（只） .在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次；因此从 122 减去总头数 88，剩下的就是兔子头数

9、122-88=34（只），有 34 只兔子.当然鸡就有 54 只；有兔子 34 只,鸡 54 只；上面的运算，可以归结为下面算式：总脚数 2-总头数 =兔子数. 总头数-兔子数=鸡数特别算法上面的解法是孙子算经中记载的；做一次除法和一次减法，立刻能求出兔子数，多简洁！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别 是 4 和 2,4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问题转化成这类问题时， 脚数就不肯定是 4 和 2，上面的运算方法就行不通； 因此，我们对这类问题给出一种一般解法 .仍说例 1.假如设想 88 只都是兔子，那么就有 4 88 只脚，比 244 只脚多了884-244=108（只） .每

10、只鸡比兔子少 （4-2）只脚，所以共有鸡（88 4-244） （4-2）= 54（只） .说明我们设想的 88 只兔子中，有 54 只不是兔子； 而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数总头数 -总脚数）（兔脚数 -鸡脚数） .当然，我们也可以设想 88 只都是 鸡,那么共有脚 2 88=176（只）， 比 244 只脚少了244-176=68（只） .每只鸡比每只兔子少 （4-2）只脚， 682=34（只） .说明设想中的 鸡,有 34 只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数 -鸡脚数总头数）上面两个公式不必都用， 用其中一个算出兔数或鸡数， 再用总头数去减，就知道另一个数；假设全是鸡，或者全

11、是兔，通常用这样的思路求解，有人称为 .现在，拿一个具体问题来试试上面的公式；例 2 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0.11 元，两种铅笔共买了 16支，花了 2.80 元；问红，蓝铅笔各买几支？以分作为钱的单位 .我们设想，一种 有 11 只脚，一种 兔子有 19 只脚，它们共有 16 个头， 280 只脚；现在已经把买铅笔问题， 转化成问题了.利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=（1916-280） （19-11）=248=3（支） .红笔数=16-3=13（支） .买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔；对于这类问题的运算，经常可以利用已知脚数的特别性 .例 2 中的19 与 11 之

12、和是 30.我们也可以设想 16 只中， 8 只是,8 只是,依据这一设想，脚数是8 （11+19）=240（支）；比 280 少 40.40（19-11）=5（支）；就知道设想中的 8 只 应少 5 只，也就是 （ 蓝铅笔）数是 3.308 比 19 16 或 1116 要简洁运算些；利用已知数的特别性，靠心算来完成运算 .实际上，可以任意设想一个便利的兔数或鸡数；例如，设想 16 只中， 兔数 为 10,鸡数为 6，就有脚数1910+11 6=256.比 280 少 24.（19-11）=3,就知道设想 6 只,要少 3 只；要使设想的数，能给运算带来便利，经常取决于你的心算本事 .下面再

13、举四个稍有难度的例子；例 3 一份稿件，甲单独打字需 6 小时完成 .乙单独打字需 10 小时完成， 现在甲单独打如干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7 小时；甲打字用了多少小时？我们把这份稿件平均分成 30 份（30 是 6 和 10 的最小公倍数），甲每小时打 30 6=5（份），乙每小时打 30 10=3（份） .现在把甲打字的时间看成 兔头数，乙打字的时间看成 头数，总头数是 7.兔的脚数是 5,的脚数是 3，总脚数是 30，就把问题转化成鸡兔同笼 问题了；依据前面的公式 数=（30-37）（5-3）=4.5, 数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了 4.5 小时，乙打字用了 2

14、.5 小时；甲打字用了 4 小时 30 分.例 4 今年是 1998 年，父母年龄（整数）和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁；四年后 （2002 年）父的年龄是弟的年龄的 4 倍，母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一年？ 4 年后，两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25，父母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的年龄看作 头数，弟的年龄看作 头数； 25 是 总头数.86 是总脚数.依据公式，兄的年龄是（25 4-86） （4-3）=14（岁） .1998 年，兄年龄是14-4=10（岁） .父年龄是（25-14）4-4=4

15、0（岁） .因此，当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，兄的年龄是（40-10）（3-1）=15（岁） .这是 2003 年；公元 2003 年时，父年龄是兄年龄的 3 倍.例 5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀， 蝉有 6 条腿和 1 对翅膀；现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀 .每种小虫各几只？由于蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成8 条腿 与6 条腿 两种；利用公式就可以算出 8 条腿的蜘蛛数=（118-618） （8-6）=5（只） .因此就知道 6 条腿的小虫共18-5=13（只） .也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们

16、共有 20 对翅膀；再利用一次公式蝉数=（13 2-20） （2-1）=6（只） .因此蜻蜓数是 13-6=7（只） .有 5 只蜘蛛， 7 只蜻蜓， 6 只蝉；例 6 某次数学考试考五道题，全班 52 人参与，共做对 181 道题，已知每人至少做对 1 道题，做对 1 道的有 7 人， 5 道全对的有 6 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对 4 道的人数有多少人？对 2 道， 3 道， 4 道题的人共有52-7-6=39（人） .他们共做对181-17-5 6=144（道） .由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对 2.5道题的人（ （2+3） 2=2

17、.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数 =2.5,总脚数=144，总头数 =39.对 4 道题的有（144-2.5 39） （4-2.5）=31（人） .做对 4 道题的有 31 人；以例 1 为例 有如干只鸡和兔子，它们共有 88 个头， 244 只脚，鸡和兔各有多少只？以简洁的 X 方程运算的话，我们一般用设大数为 X，那么也就是设兔为 X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（ 88-X ）只；设兔为 X 只；就鸡为（ 88-X）只；4X+2 （ 88-X） =244上列的方程说明为： 兔子的脚数加上鸡的脚数， 就是共有的脚数； 4X就是兔子的脚数， 2（ 88-X）就是鸡的脚数；88-2X=2

18、442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X 2=682 X=34即兔子为 34 只，总数是 88 只，就鸡： 88-34=54 只；兔子有 34 只，鸡有 54 只；习题一1.龟鹤共有 100 个头， 350 只脚.龟，鹤各多少只 ？2.学校有象棋，跳棋共 26 副，恰好可供 120 个同学同时进行活动；象棋 2 人下一副棋，跳棋 6 人下一副 .象棋和跳棋各有几副？3.一些 2 分和 5 分的硬币，共值 2.99 元，其中 2 分硬币个数是 5 分硬币个数的 4 倍，问 5 分硬币有多少个 ？4.某人领得工资 240 元，有 2 元，5 元，10 元三种人民币

19、， 共 50 张，其中 2 元与 5 元的张数一样多；那么 2 元，5 元，10 元各有多少张？ 5一件工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成，现在甲做了如干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了 16天.甲先做了多少天 ？6.摩托车赛全程长 281 千米，全程被划分成如干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路 （3 千米），一段平路 （4 千米），一段下坡路 （2 千米）和一段平路 （4 千米）组成的；有的是由一段上坡路 （3 千米）， 一段下坡路 （2 千米）和一段平路 （4 千米）组成的；已知摩托车跑完全程后，共跑了 25 段上坡路 .全程中包含这两种阶段各几段

20、？7.用 1 元钱买 4 分， 8 分， 1 角的邮票共 15 张，问最多可以买 1 角的邮票多少张？二，两数之差 的问题鸡兔同笼中的总头数是 两数之和 ,假如把条件换成 , 又应当怎样去解呢例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票， 共花 6 元 8 角；已知 8 分的邮票比 4分的邮票多 40 张，那么两种邮票各买了多少张？解一：假如拿出 40 张 8 分的邮票，余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多 .（680-8 40） （8+4）=30（张），这就知道，余下的邮票中， 8 分和 4 分的各有 30 张；因此 8 分邮票有40+30=70（张） .买了 8 分的邮票 70 张， 4

21、 分的邮票 30 张；也可以用任意假设一个数的方法 .解二：譬如，假设有 20 张 4 分，依据条件 8 分比 4 分多 40 张,那么应有 60 张 8 分； 分作为运算单位，此时邮票总值是4 20+860=560.比 680 少，因此仍要增加邮票；为了保持 差 是 40，每增加 1 张 4分，就要增加 1 张 8 分，每种要增加的张数是（680-4 20-860） （4+8）=10（张） .因此 4 分有 20+10=30（张）， 8 分有 60+10=70（张） .例 8 一项工程，假如全是晴天， 15 天可以完成；假如下雨，雨天比晴天多 3 天，工程要多少天才能完成类似于例 3，我们设

22、工程的全部工作量是 150 份，晴天每天完成10 份，雨天每天完成 8 份.用上一例题解一的方法，晴天有（150-8 3） （10+8）= 7（天） .雨天是 7+3=10 天，总共7+10=17（天） .这项工程 17 天完成；请留意，假如把 雨天比晴天多 3 天去掉，而换成已知工程是 17 天完成，由此又回到上一节的问题 .差是 3，与和是 17，知道其一，就能推算出另一个； 这说明白例 7，例 8 与上一节基本问题之间的关系 .总脚数是 两数之差 ,又应当怎样去解呢例 9 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只？ 解一：假如再补上 28 只鸡脚，也就是再有鸡 2

23、82=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚 4 2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍；兔的只数是（100+28 2） （2+1）=38（只） .鸡是 100-38=62（只） .鸡 62 只，兔 38 只；当然也可以去掉兔 28 4=7（只） .兔的只数是（100-28 4） （2+1）+7=38（只） .也可以用任意假设一个数的方法；假设有 50 只鸡，就有兔 100-50=50（只） .此时脚数之差是4 50-2 50=100,比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了） .为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相差为 6

24、只（千万留意，不是 2）.因此要削减的兔数是 （100-28）（4+2）=12（ 只）.兔只数是 50-12=38（只） .另外，仍存在下面这样的问题： 总头数换成 , 总脚数也换成例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字；有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13 首，总字数却反而少了 20 个字.问两种诗各多少首？假如去掉 13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差135 4+20=280（字） .每首字数相差 7 4-54=8（字） .因此，七言绝句有 280（28-20）=35（首） .五言绝句有 35+13=48（首） .五言绝句 48

25、 首，七言绝句 35 首；假设五言绝句是 23 首，那么依据相差 13 首，七言绝句是 10 首.字数分别是 2023=460（字），2810=280（字），五言绝句的字数，反而多了460-280=180（字） .与题目中 少 20 字相差 180+20=200（字） .说明假设诗的首数少了；为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句， 也要增一首七言绝句， 而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假设增加 200 8=25（首） .五言绝句有 23+25=48（首） .七言绝句有 10+25=35（首） .在写出公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例 7，例 9 和例 10 三个问题

26、，当然也可以这样假设；现在来具体做一下，把列出的运算式子与 公式对比一下，就会发觉特别好玩的事 .例 7，假设都是 8 分邮票， 4 分邮票张数是（680-8（8+4）=30（张） .例 9，假设都是兔，鸡的只数是（1004-28）（4+2）=62（只） .10，假设都是五言绝句 ,七言绝句的首数是（20 13+20） （28-20）=35（首） .第一，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与 公式比较，这三个算式只是有一处 - 成了+. 其奥妙何在呢当你进入中学， 有了负数的概念， 并会列二元一次方程组， 就会明白， 从数学上说，这一讲前两节列举的全部例子都是同一件事；例 11 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目运算，每只 2 角，如有破旧，破旧瓶子不给运费，仍要每只赔偿 1元.结果得到运费 379.6 元，问这次搬运中玻璃瓶破旧了几只？假如没有破旧，运费应是 400 元；但破旧一只要削减 1+0.2=1.2（元） .因此破旧只数是 （400-379.6） （1+0.2）=17（只） .这次搬运中破旧了 17 只玻璃瓶；请你想一想，这是 同一类型的问题吗例 12 有两次自然测验， 第一次 24 道题， 答对 1 题得 5 分，答错（包含不答） 1 题倒扣 1 分