第9讲还原问题与年龄问题完整版Word格式.docx

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2=7两酒．

3．三棵树上原来共有48只鸟，后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；

之后，第二棵树上又有与第三棵树上同样数目的鸟飞到了第三棵树上；

最后，三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多．问：

一开始三棵树上各有几只鸟？

12只．23只．13只

本题中三棵树上鸟的只数不断变化，而要算出开始的数量来，就要采用倒推法．

但不管小鸟怎么飞来飞去，总只数是不会变的．三棵树上一共有48只鸟，最后三棵树上的鸟一样多，所以最后每棵树上都有48÷

3—16只鸟．从最后一开始，依次计算，如表一所示：

最后三棵树上都有16只鸟，最盾一次第三棵树上有10只鸟飞到第一棵树上，所以飞之前第一棵树上有16-10=6只鸟；

第三棵树上有16+10=26只鸟；

第二棵树上不变，还是有16只鸟．

类似地再往前倒推，第二棵树上香鸳藕兰棵树上同样数目的鸟飞到了第三棵树上，相当于第三棵树上的鸟翻了一倍．飞之前第三棵树上应有26÷

2=13只鸟，第二棵树上有16+13=29只鸟，第一棵树上还是6只鸟．

同样可以计算出最开始三棵树上分别有12只、23只、13只鸟．最后的结果如表二所示．

4．一个数，如果它是奇数，就把它扩大1倍；

如果它是偶数，就把它减去5．这样称作一次操作，经过8次操作后得到的数是37.那么开始的数是多少？

7

这个数如果是奇数，把它扩大1倍后，一定是偶数；

如果是偶数，把它减去5后，一定是奇数．

又最后一个数是37，则一定是它减去5后得到的，所以倒数第-人数是37+5=42.

利用倒推法，依次可得：

所以开始的数是7．

5．1997年张伯伯45岁，小方9岁．在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4倍？

2000年

因每过1年，张伯伯长1岁，小方也长1岁，所以他们的年龄差是不变的，是45-9=36岁，那么当张伯伯的年龄是小方年龄的4倍的时候，他们的差仍然是36岁．设这一年小方的年龄是1份，那么张伯伯年龄就是4份．如图所示：

他们的差是3份，因此1份是36÷

3=12岁，即小方应是12岁，与l997年时比长了12-9=3岁．因此，在2000年时，张伯伯的年龄是小方年龄的4倍．

6．今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；

4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的3倍．今年小明多少岁？

2岁

解析：

因父母的年龄差是不变的，设父母的年龄差是1份，那么小明今年的年龄是1份，而4年后小明的年龄变成了3份．

小明长了4岁，那么他长大的÷

岁就是2份，所以1份是4÷

2=2岁，即今年小明2岁．

7．今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍；

15年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍．问：

现在父子的年龄各是多少？

父亲25岁，儿子5岁

解析：

如图所示：

今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍，那么父亲和儿子的年龄差是今年儿子年龄的4倍，也是15年后儿子年龄的1倍，所以设年龄差是4份，那么今年儿子的年龄是：

份，15年后儿子的年龄就是4份．15年后儿子的年龄是比今年的年龄多了3份，正好就是15岁，因此1份是15÷

3=5岁，

所以今年儿子是5岁，父亲是5×

5=25岁．

8．学生问老师多少岁，老师说：

“当我像你这么大时，你刚3岁；

当你像我这么大时，我已经39岁了．”求老师和学生现在的年龄．

老师27岁，学生15岁

从图中可以看出，当学生长到老师现在这么大时，长了虚线代表的岁数，正好是师生的年龄差，从而老师也增长了这么多岁，变成39岁．

同样当老师变成学生现在那么大时，老师减少了粗线代表的岁数，也是师生的年龄差，于是学生同样减少这么多岁，变成3岁，

而39岁与3岁的差别正好是年龄差的3倍，所以（39-3）÷

3=12岁，那么学生现在是3+12=15岁，老师现在是15+12=27岁．

9．小鹏说：

“到2013年，我出生的年份就刚好是我的年龄的60倍．”请问他在哪一年出生？

1980年

假设2013年时小鹏的年龄为1份，则他出生的年份为60份．

若把它们加到一起即为当年的年份2013年，则2013相当于61份，那么1份就是2013÷

61=33.

因此他的出生年份为33×

60=1980年．

10．今年，王伯伯的年龄比萱萱、墨莫、小高三人年龄的总和还多6岁．多少年后，王伯伯的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁？

6年

1年之后，王伯伯长了1岁，而萱萱、墨莫、小高三人一共长了3岁，所以每过一年他们三人年龄的总和都比王伯伯的年龄多增加2岁．

现在王伯伯的年龄比萱萱、墨莫、小高三人的年龄总和还多6岁，那么6÷

2=3年之后，王伯伯的年龄就和他们三人年龄的总和一样多，

同样地，再过3年，王伯伯的年龄就会比萱萱、墨莫、小高三人年龄的总和少6岁。

所以要3+3=6年之后，王伯伯的年龄才会比萱萱、墨莫、小高三人年龄的总和少6岁．

拓展篇

1．有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11．这个数原来是多少？

2

写出计算过程：

所以这个数原来是2．

2．果园里有一棵桃树，有一天，3只猴子来摘桃子吃，第一只猴子吃了一个桃子并摘下了剩下桃子的一半，然后第二只猴子吃了2个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了3个桃子并摘下了剩下桃子的一半，这时树上刚好还有4个桃子，原来树上一共有几个桃子？

49介

吃1个摘一半吃2个摘一半吃3个摘一半

如图，这3只猴子都是先吃后摘，所以在倒推时要先看摘的，再看吃的：

猴子3摘下剩下桃子的一半，剩下另一半是4个，所以在它摘桃子前，树上有4×

2-8个桃子；

而在它吃桃子之前，树上有8+3=11个桃子．

类似地，猴子2吃桃子前，树上有11×

2+2=24个桃子；

猴子1吃桃子前，树上有24×

2+1=49个桃子，

因此原来树上有49个桃子，

3．地上有26块砖，兄弟二人争着去挑，弟弟抢在前面，刚挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖．哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢走一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，哥哥不服，弟弟只好再给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块．请问：

最初弟弟准备挑多少块砖？

l6块

因最后哥哥比弟弟多挑2块，哥哥和弟弟一共挑了26块，所以哥哥挑了（26+2）÷

2=14块，弟弟挑了（26-2）÷

2=12块，根据条件依次倒推，列表一

如下：

“哥哥不服，弟弟只好再给哥哥5块”，那么弟弟在给哥哥5块之前，哥哥挑了14-5=9块砖，弟弟挑了12+5=17块砖．

“弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半”，那么之前哥哥挑了9×

2=18块砖，弟弟挑了26-18=8块砖．“哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢走一半”，那

么之前弟弟挑了8×

2=16块砖，哥哥挑了26-16=10块砖．列表二如下：

所以最初弟弟准备挑16块砖．

4．某人发现了一条魔道，魔道内有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到某人的身上使他身上的钱增加一倍；

当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；

这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币．那么原来这人身上有多少元？

箱子里有多少元？

43元；

85元

最后一次走回来时，箱子里的钱增加了一倍，变成了64元，他身上也还剩下64元．那么在第三次走过去后，箱子里应该有64÷

2=32元，而他身上应．该有64+32=96元．填入表一中：

第三次走过去时，他身上的钱增加一倍变成96元，那么过去前应该为96÷

2=48元，那么箱子里的钱是32+48=80元．如此继续下去，一步一步仔细分析后，就能填出表二．

由表二得，原来这人身上有43元，箱子里有85元，

5．甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍．经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖．两个人原来的糖数分别是多少？

甲7块，乙10块

用倒推法分析，列出表一：

根据题意，每次糖多的人给糖少的人一些糖后，后者的糖数就变成了原来的2倍，只可能是一个偶数，所以如果“甲有5块糖，乙有12块糖”，那么前一步操作，一定是甲给乙糖，使乙的糖数变成原来的2倍，即12块．那么在甲给乙糖之前，乙有12÷

2=6块糖，甲有5+6=11块糖，如表二：

这时甲有11块糖，还是个奇数，所以上一步还是甲给乙糖，使他的糖数变成原来的2倍，即6块，那么在第二次给糖之前，乙有6÷

2=3块糖，甲有11+3=14块糖．

这时甲的糖数是偶数，这一次是乙给甲糖，因此甲原来有14÷

2=7块糖，乙原来有3+7=10块糖，

6．甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了2倍，结果乙的钱最多；

接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了2倍，结果丙的钱最多；

最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加2倍，结果三人的钱数一样多．如果他们兰人共有81元，那么三人原来分别有多少钱？

甲55元，乙19元，丙7元

三个人最后的钱数相同，钱的总数是不会变化的，所以各有．31÷

3=27元．列出表一：

最后一次是丙把钱给了甲、乙后，使得甲、乙各增加两倍，钱数都变成27元．那么，在丙给钱之前甲、乙应该都有27÷

3=9元，丙有81-9-9=63元．

在表格中一步一步倒推计算出初始情况，如表二：

由表二得，甲原来有55元，乙原来有19元，丙原来有7元．

7．今年张明15岁，他父亲45岁．请问：

（l）多少年后，父亲年龄是张明年龄的2倍？

（2）多少年前，父亲年龄是张明年龄的4倍？

（1）15年

（2）5年

张明和他父亲的年龄差不变，是45-15=30岁．

（1）当“父亲年龄是张明年龄的2倍”时，假设张明年龄是1份，那么父亲的年龄是2份，两人的年龄差也是1份．如图1所示：

由于年龄差是30岁，则那时张明的年龄就是30×

1=30岁，是现在30-15=15年后．

（2）当“父亲年龄是张明年龄的4倍”时，假设张明年龄是1份，那么父亲的年龄是4份，两人的年龄差就是3份．如图2所示：

这时1份是30÷

3=10岁，即那时张明的年龄就是10岁，是现在的15-10=5年前。

8．12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；

今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍，请问：

多少年后，父亲年龄是女儿年龄的2倍？

15年

根据题意知，父亲和女儿的年龄差是今年女儿年龄的2倍，也是12年前女儿年龄的10倍，所以把父亲和女儿的年龄差设为10份，那么今年女儿的年龄就是5份，而12年前女儿的年龄就是1份．

12年前女儿的年龄比今年的年龄少了4份，因此1份就是12÷

4=3岁，那么今年女儿是5×

3=15岁，而父亲今年是15×

3=45岁，父女年龄差45-15=30岁。

当父亲年龄是女儿年龄的2倍时，女儿年龄就等于年龄差，即30岁，与女儿今年15岁相比，相当于30-15=15年后．

9．去年哥哥的年龄是明年兄弟两人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍，求哥哥和弟弟现在的年龄．

哥哥10岁，弟弟6岁

因“去年哥哥的年龄是明年兄弟俩年龄和的一半”，而明年哥哥的年龄比去年哥哥的年龄多了2岁，所以明年弟弟的年龄就比去年哥哥的年龄少了2岁，从而去年弟弟的年龄就比去年哥哥的年龄少了2+2=4岁，即兄弟年龄差为4岁，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍，哥哥比弟弟大4岁，所以前年弟弟的年龄就是4÷

（2-1=4岁，哥哥是4+4=8岁，今年，弟弟是4+2=6岁，哥哥是8+2=10岁．

10.今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍，当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和．请问：

今年哥哥多少岁？

24岁

设弟弟今年的年龄为1份，那么今年哥哥的年龄就是2份，他们的年龄差为1份，如图所示：

当弟弟长到哥哥现在的年龄时，弟弟的年龄为2份，哥哥的年龄为2+1=3份，父亲的年龄是兄弟的年龄和2+3=5份．

由此得今年父亲的年龄是5-1=4份，为48岁，所以今年弟弟的年龄是48÷

4=12岁，哥哥的年龄是12×

2=24岁，

11．兄弟俩的年龄之和是32岁，当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍．求哥哥现在的年龄．

20岁

“当哥哥是弟弟现在这么大时”，设弟弟年龄为1份，那时哥哥年龄为3份，从而兄弟俩年龄差为2份．现在弟弟和当时的哥哥一样大，应该是！

份．那么现在哥哥还是比弟弟大2份年龄，所以现在哥哥年龄应该是3+2=5份，如图所示：

现在兄弟俩的年龄和32岁是5+3=8份，那么1份就是32÷

8=4岁，

所以哥哥现在的年龄是4×

5=20岁．

12.学生问老师多少岁，老师说：

“当我像你这么大时，你刚5岁；

当你像我这么大时，我已经50岁了．”求老师和学生现在的年龄．

学生20岁，老师35岁

当学生长到老师现在这么大时，长了虚线代表的岁数，正好是师生的年龄差，从而老师也增长了这么多岁，变成50岁．

同样当老师变成学生那么大时，老师减少了粗线代表的岁数，也是师生的年龄差，于是学生同样样减少这么多岁，变成5岁．

从图中可以发现，50-5=45岁正好是3个年龄差，所以师生的年龄差为45÷

3=15岁．

那么现在学生为5+15=20岁，老师为15+20=35岁，

13．有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；

9年后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；

又过了3年，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；

再过3年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和，求现在各人的年龄．

甲15岁，乙12岁，丙9岁，老师36岁

每过1年，老师长了1岁，每个学生也长了1岁，那么3个学生的年龄和就长了3岁．

9年后，3个学生的年龄和增加9×

3=27岁，老师年龄增加9岁，3个学生的年龄和比老师大27-9=18岁．那时，老师年龄等于甲、乙年龄和，丙的年龄就是18岁，那么现在丙的年龄是18-9=9岁．

同样，12年后，甲、乙、丙三人年龄之和要比老师大3×

12-12=24岁，那时乙的年龄是24岁，那么现在乙的年龄是24-12=12岁．

同样，15年后，甲、乙、丙三人年龄之和要比老师大3×

15-15=30岁，那时甲的年龄是30岁，那么现在甲的年龄是30–15=15岁。

现在，老师的年龄恰好是3个学生的年龄之和，是9+12+15=36岁．

14．1年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；

4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍．已知父亲比母亲大2岁，母亲今年多少岁？

35岁

每过1年，父母的年龄和增加2岁，兄弟的年龄和也是增加2岁，所以父母年龄和与兄弟年龄和的差还是不变的．

设1年前兄弟的年龄和是1份，那么肖时父母的年龄和是7份，相差7-1=6份．

4年后，也就是说比1年前多了4+1=5年，父母的年龄和增加了5×

2=10岁，兄弟的年龄和也增加了10岁，父母的年龄和还是比兄弟的年龄和大6份．此时，父母的年龄和是兄弟的年龄和的4倍，所以4年后兄弟的年龄和是6÷

（4-1）=2份，比1年前兄弟的年龄和增加了1份，因此1份就是10岁，1年前，父母的年龄和就是10×

7=70岁，

又爸爸比妈妈大2岁，所以1年前妈妈是（70-2）÷

2=34岁，那么妈妈今年就是34+1=15岁．

超越篇

1．口渴的三个和尚分别捧着一个水罐，最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝，于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；

接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚；

然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚．就这样，三人轮流谦让了一阵，结杲太阳落山时，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐里则装着20升水．请问：

最初大和尚的水罐里有多少升水？

答案:

10升

解析:

容易知道，最后一次把水分出去的应该是大和尚，他把自己的水全部分出去后就使得老和尚和小和尚的水分别为10升和20升，而在此之前还应该有一个和尚没有水，所以只能是老和尚没有水．

那么大和尚分给老和尚10升水，他也应该分给小和尚10升水．于是在大和尚分水之前，老和尚、大和尚、小和尚各有水O升、20升、10升．如表一所示：

大和尚分水的前一次是老和尚分水，他分完后水变成了O，同样再来分析老和尚分水之前的情况．为了更清楚地看出三个和尚水罐中水的变化关系，不妨作

出下面的表二：

从表二中看到，三个和尚水罐里面的水的情况以3为周期，循环出现．由于第一次是老和尚把水分出去，也就是最初情况应该是在老和尚分水之前，这时，大和尚的水罐有10升水。

2．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加一倍．经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：

两个人原来分别有多少块糖？

甲5块，乙13块

最后一次有两种可能：

甲给乙，让乙增加一倍；

或乙给甲，让甲增加一倍，如果最后一次是乙给甲糖，那么在此之前甲应该有10÷

2=5块，乙有8+5=13块．但是这样一来，上次无论是让乙增加一倍还是让甲增加一倍都不可能，因为增加一倍后的糖数应该是偶数．

因此最后一次操作中一定是甲将糖给乙，使乙的糖数增加一倍，变成8块，那么在分糖之前乙的糖数就是8÷

2=4块，而甲的糖数为10+4=14块．

类似地，每次倒推都应该有两种可能，如果之前已经分过糖了，那么甲、乙的糖数就应该都是偶数，这样就可以一步一步倒推回去，如表所示：

从表中可以看出，两个人的糖块数是有规律的，每6次操作为一个周期．

2005÷

6=334……1，那么第2004次操作后就应该和最开始的情况是一样的，那么第2005次操作后和第1次操作后的情况是一样的，也就是说第1次操作后甲有10块，乙有8块．

但第1次操作和其他次数操作不同，并不要求两人最初的糖数一定为偶数，因此两人最初的糖数有两种可能：

乙有8÷

2=4块糖，甲有10+4=14块糖；

或甲有10÷

2=5块糖，乙有8+5=13块糖．由题意，甲的糖数比乙少，因此只能是甲有5块糖，乙有13块糖。

3．哥哥对弟弟说：

“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；

我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园．”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7倍，求哥哥获得博士学位的年龄．

28岁

设弟弟上幼儿园时的年龄是1份，那么哥哥获得博士学位时的年龄就是7份，如图所示：

由线段图可知两人的年龄差就是（7-1）÷

3=2份．

从而，现在弟弟的年龄是1+2=3份，哥哥的年龄是3+2=5份．两人现在的年龄和是3+5=8份，

所以1份就是32÷

8=4岁．

因此哥哥获得博士学位的年龄是4×

7=28岁．

4．小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：

“当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才5岁，”小明对爷爷说：

“当我的岁数是您现在的岁数时，我爸都89岁了．”请问：

小明的爸爸今年多少岁？

47岁

从图中容易看出，爸爸从现在开始，长到89岁这一个过程所经历的时间，小明长到了爷爷现在这么大，所以这就是小明和爷爷的年龄差．

当小明5岁时，爷爷和他爸爸现在一样大，所以5岁与爸爸现在年龄的差也是小明与爷爷的年龄差．从而两个小旺与爷爷的年龄差等于89-5=84岁，小明与爷爷相差84÷

2=42岁．

因此爸爸现在的年龄为5+42=47岁，

5．1996年时，父母的年龄之和是78岁，兄弟二人的年龄之和是17岁；

4年后，父亲年龄是弟弟年龄的4倍，母亲年龄是哥哥年龄的3倍，试问：

当父亲年龄是哥哥年龄的3倍时是公元多少年？

2001年

4年后，父母的年龄之和是78+4+4=86岁，兄弟的年龄之和是17+4+4=25岁．

从线段图中看出，4年后父母年龄和比兄弟年龄和的3倍还要多一个弟弟昀年龄．

因此4年后弟弟年龄是86-25×

3=11岁，哥哥年龄是25-11=14岁，父亲年龄是11×

4=44岁，母亲年龄是14×

3=42岁．

父亲和哥哥的年龄差是44-14=30岁，因此到父亲年龄是哥哥的3倍时，年龄差就是哥哥年龄的2倍，因此这盱哥哥的年龄是30÷

（3-1）=15岁，也就是从1996年起的5年后．所以这一年是1996+5=2001年．

6．全家四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁.4年前全家人的年龄之和是58岁，而现在是73岁，问：

现在各人的年龄分别是多少岁？

弟弟3岁，姐姐5岁，父亲34岁，母亲31岁

这4年间，全家人的年龄相加之和只增加了73-58=15岁，因此，4年前弟弟没有出生，所以现在弟弟3岁，那么姐姐现在3+2=5岁．

又现在父母的年龄之和为73-5喜3鼍鸽岁，父亲比母亲大3岁，则现在父亲的年龄是（65+3）÷

2=34岁，母亲的年龄是（60-3）÷

2=31岁。

7．老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159．如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数，请问：

开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？

1860

将起始的3个数a、b、c与后来写的7个数排成一行，形成下表：

由于⑤⑥⑦三个数之和是159，并且⑦是⑤和⑥的平均数，易知⑦=159÷

3=53.

（1）如果⑤<

⑥，设⑤=53-k，⑥=53+k（k为正整数），然后逆推出前面各数的表达式．从上表中可以看出，b=53-85k，并不存在一个正整数走使得b有意义．

（2）如果⑤>

⑥，设⑤=53+k，⑥=53-k（k为正整数），然后逆推出前面各数的表达式．从上表中可以看出，c=53-43k，当且仅当k=1时符合题意．