第9讲还原问题与年龄问题完整版Word格式.docx

1、2=7两酒3三棵树上原来共有48只鸟，后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树上同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多问：一开始三棵树上各有几只鸟？12只23只13只本题中三棵树上鸟的只数不断变化，而要算出开始的数量来，就要采用倒推法但不管小鸟怎么飞来飞去，总只数是不会变的三棵树上一共有48只鸟，最后三棵树上的鸟一样多，所以最后每棵树上都有48316只鸟从最后一开始，依次计算，如表一所示：最后三棵树上都有16只鸟，最盾一次第三棵树上有10只鸟飞到第一棵树上，所以飞之前第一棵树上有16-10=6只鸟；第三

2、棵树上有16+10=26只鸟；第二棵树上不变，还是有16只鸟 类似地再往前倒推，第二棵树上香鸳藕兰棵树上同样数目的鸟飞到了第三棵树上，相当于第三棵树上的鸟翻了一倍飞之前第三棵树上应有262=13只鸟，第二棵树上有16+13=29只鸟，第一棵树上还是6只鸟 同样可以计算出最开始三棵树上分别有12只、23只、13只鸟最后的结果如表二所示4一个数，如果它是奇数，就把它扩大1倍；如果它是偶数，就把它减去5这样称作一次操作，经过8次操作后得到的数是37.那么开始的数是多少？7这个数如果是奇数，把它扩大1倍后，一定是偶数；如果是偶数，把它减去5后，一定是奇数 又最后一个数是37，则一定是它减去5后得到的，

3、所以倒数第-人数是37+5=42. 利用倒推法，依次可得： 所以开始的数是75 1997年张伯伯45岁，小方9岁在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4倍？2000年因每过1年，张伯伯长1岁，小方也长1岁，所以他们的年龄差是不变的，是45-9=36岁，那么当张伯伯的年龄是小方年龄的4倍的时候，他们的差仍然是36岁设这一年小方的年龄是1份，那么张伯伯年龄就是4份如图所示： 他们的差是3份，因此1份是363=12岁，即小方应是12岁，与l997年时比长了12-9=3岁因此，在2000年时，张伯伯的年龄是小方年龄的4倍6今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的3倍今年小明多

4、少岁？2岁 解析：因父母的年龄差是不变的，设父母的年龄差是1份，那么小明今年的年龄是1份，而4年后小明的年龄变成了3份 小明长了4岁，那么他长大的岁就是2份，所以1份是42=2岁，即今年小明2岁7今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍问：现在父子的年龄各是多少？父亲25岁，儿子5岁 解析：如图所示： 今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍，那么父亲和儿子的年龄差是今年儿子年龄的4倍，也是15年后儿子年龄的1倍，所以设年龄差是4份，那么今年儿子的年龄是：份，15年后儿子的年龄就是4份15年后儿子的年龄是比今年的年龄多了3份，正好就是15岁，因此1份是153=5岁， 所以今年儿

5、子是5岁，父亲是55=25岁8学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了”求老师和学生现在的年龄老师27岁，学生15岁 从图中可以看出，当学生长到老师现在这么大时，长了虚线代表的岁数，正好是师生的年龄差，从而老师也增长了这么多岁，变成39岁 同样当老师变成学生现在那么大时，老师减少了粗线代表的岁数，也是师生的年龄差，于是学生同样减少这么多岁，变成3岁， 而39岁与3岁的差别正好是年龄差的3倍，所以（39 -3）3=12岁，那么学生现在是3+12=15岁，老师现在是15+12=27岁9小鹏说：“到2013年，我出生的年份就刚好是我的年龄的60倍”请问

6、他在哪一年出生？1980年假设2013年时小鹏的年龄为1份，则他出生的年份为60份 若把它们加到一起即为当年的年份2013年，则2013相当于61份，那么1份就是201361=33. 因此他的出生年份为3360=1980年10今年，王伯伯的年龄比萱萱、墨莫、小高三人年龄的总和还多6岁多少年后，王伯伯的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁？6年1年之后，王伯伯长了1岁，而萱萱、墨莫、小高三人一共长了3岁，所以每过一年他们三人年龄的总和都比王伯伯的年龄多增加2岁 现在王伯伯的年龄比萱萱、墨莫、小高三人的年龄总和还多6岁，那么62=3年之后，王伯伯的年龄就和他们三人年龄的总和一样多， 同样地，再过3年，

7、王伯伯的年龄就会比萱萱、墨莫、小高三人年龄的总和少6岁。 所以要3+3=6年之后，王伯伯的年龄才会比萱萱、墨莫、小高三人年龄的总和少6岁拓展篇1有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11这个数原来是多少？2写出计算过程： 所以这个数原来是22果园里有一棵桃树，有一天，3只猴子来摘桃子吃，第一只猴子吃了一个桃子并摘下了剩下桃子的一半，然后第二只猴子吃了2个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了3个桃子并摘下了剩下桃子的一半，这时树上刚好还有4个桃子，原来树上一共有几个桃子？49介吃1个摘一半 吃2个摘一半吃3个摘一半 如图，这3只猴子都是先

8、吃后摘，所以在倒推时要先看摘的，再看吃的： 猴子3摘下剩下桃子的一半，剩下另一半是4个，所以在它摘桃子前，树上有42 - 8个桃子；而在它吃桃子之前，树上有8+3=11个桃子 类似地，猴子2吃桃子前，树上有112+2=24个桃子；猴子1吃桃子前，树上有242+1=49个桃子， 因此原来树上有49个桃子，3地上有26块砖，兄弟二人争着去挑，弟弟抢在前面，刚挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢走一半弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，哥哥不服，弟弟只好再给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块请问：最初弟弟准备挑多少块砖？l6块因最后哥哥比弟弟多挑2块，哥哥和弟弟一共挑了2

9、6块，所以哥哥挑了（26+2）2=14块，弟弟挑了（26-2）2=12块，根据条件依次倒推，列表一如下： “哥哥不服，弟弟只好再给哥哥5块”，那么弟弟在给哥哥5块之前，哥哥挑了14-5=9块砖，弟弟挑了12+5=17块砖 “弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半”，那么之前哥哥挑了92=18块砖，弟弟挑了26-18=8块砖“哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢走一半”，那么之前弟弟挑了82=16块砖，哥哥挑了26 -16=10块砖列表二如下： 所以最初弟弟准备挑16块砖4某人发现了一条魔道，魔道内有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到某人的身上使他身上的钱增加一倍；当他从魔道走

10、回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？43元；85元最后一次走回来时，箱子里的钱增加了一倍，变成了64元，他身上也还剩下64元那么在第三次走过去后，箱子里应该有642=32元，而他身上应该有64+32=96元填入表一中： 第三次走过去时，他身上的钱增加一倍变成96元，那么过去前应该为962=48元，那么箱子里的钱是32+48=80元如此继续下去，一步一步仔细分析后，就能填出表二 由表二得，原来这人身上有43元，箱子里有85元，5甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖

11、少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖两个人原来的糖数分别是多少？甲7块，乙10块用倒推法分析，列出表一： 根据题意，每次糖多的人给糖少的人一些糖后，后者的糖数就变成了原来的2倍，只可能是一个偶数，所以如果“甲有5块糖，乙有12块糖”，那么前一步操作，一定是甲给乙糖，使乙的糖数变成原来的2倍，即12块那么在甲给乙糖之前，乙有122=6块糖，甲有5+6=11块糖，如表二： 这时甲有11块糖，还是个奇数，所以上一步还是甲给乙糖，使他的糖数变成原来的2倍，即6块，那么在第二次给糖之前，乙有62=3块糖，甲有11+3=14块糖 这时甲的糖数是偶数，这一次

12、是乙给甲糖，因此甲原来有142=7块糖，乙原来有3+7=10块糖，6甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了2倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了2倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加2倍，结果三人的钱数一样多如果他们兰人共有81元，那么三人原来分别有多少钱？甲55元，乙19元，丙7元 三个人最后的钱数相同，钱的总数是不会变化的，所以各有313=27元列出表一： 最后一次是丙把钱给了甲、乙后，使得甲、乙各增加两倍，钱数都变成27元那么，在丙给钱之前甲、乙应该都有273=9元，丙有81-

13、9-9=63元 在表格中一步一步倒推计算出初始情况，如表二： 由表二得，甲原来有55元，乙原来有19元，丙原来有7元7今年张明15岁，他父亲45岁请问：（l）多少年后，父亲年龄是张明年龄的2倍？（2）多少年前，父亲年龄是张明年龄的4倍？（1） 15年（2）5年张明和他父亲的年龄差不变，是45-15=30岁 （1）当“父亲年龄是张明年龄的2倍”时，假设张明年龄是1份，那么父亲的年龄是2份，两人的年龄差也是1份如图1所示： 由于年龄差是30岁，则那时张明的年龄就是301=30岁，是现在30-15=15年后 （2）当“父亲年龄是张明年龄的4倍”时，假设张明年龄是1份，那么父亲的年龄是4份，两人的年龄

14、差就是3份如图2所示： 这时1份是303=10岁，即那时张明的年龄就是10岁，是现在的15-10=5年前。8 12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍，请问：多少年后，父亲年龄是女儿年龄的2倍？15年根据题意知，父亲和女儿的年龄差是今年女儿年龄的2倍，也是12年前女儿年龄的10倍，所以把父亲和女儿的年龄差设为10份，那么今年女儿的年龄就是5份，而12年前女儿的年龄就是1份 12年前女儿的年龄比今年的年龄少了4份，因此1份就是124=3岁，那么今年女儿是53=15岁，而父亲今年是153=45岁，父女年龄差45-15=30岁。 当父亲年龄是女儿年龄的2倍时，女儿年龄

15、就等于年龄差，即30岁，与女儿今年15岁相比，相当于30-15=15年后9去年哥哥的年龄是明年兄弟两人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍，求哥哥和弟弟现在的年龄哥哥10岁，弟弟6岁因“去年哥哥的年龄是明年兄弟俩年龄和的一半”，而明年哥哥的年龄比去年哥哥的年龄多了2岁，所以明年弟弟的年龄就比去年哥哥的年龄少了2岁，从而去年弟弟的年龄就比去年哥哥的年龄少了2+2=4岁，即兄弟年龄差为4岁，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍，哥哥比弟弟大4岁，所以前年弟弟的年龄就是4（2-1 =4岁，哥哥是4+4=8岁，今年，弟弟是4+2=6岁，哥哥是8+2=10岁10.今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍

16、，当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和请问：今年哥哥多少岁？24岁设弟弟今年的年龄为1份，那么今年哥哥的年龄就是2份，他们的年龄差为1份，如图所示： 当弟弟长到哥哥现在的年龄时，弟弟的年龄为2份，哥哥的年龄为2+1=3份，父亲的年龄是兄弟的年龄和2+3=5份 由此得今年父亲的年龄是5-1=4份，为48岁，所以今年弟弟的年龄是484=12岁，哥哥的年龄是122=24岁，11兄弟俩的年龄之和是32岁，当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍求哥哥现在的年龄20岁“当哥哥是弟弟现在这么大时”，设弟弟年龄为1份，那时哥哥年龄为3份，从而兄弟俩年龄差为2份现在弟弟

17、和当时的哥哥一样大，应该是！份那么现在哥哥还是比弟弟大2份年龄，所以现在哥哥年龄应该是3+2=5份，如图所示： 现在兄弟俩的年龄和32岁是5+3=8份，那么1份就是328=4岁， 所以哥哥现在的年龄是45=20岁12.学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚5岁；当你像我这么大时，我已经50岁了”求老师和学生现在的年龄学生20岁，老师35岁 当学生长到老师现在这么大时，长了虚线代表的岁数，正好是师生的年龄差，从而老师也增长了这么多岁，变成50岁同样当老师变成学生那么大时，老师减少了粗线代表的岁数，也是师生的年龄差，于是学生同样样减少这么多岁，变成5岁 从图中可以发现，50-5=45岁

18、正好是3个年龄差，所以师生的年龄差为453=15岁 那么现在学生为5+15=20岁，老师为15+20=35岁，13有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；9年后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又过了3年，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再过3年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和，求现在各人的年龄甲15岁，乙12岁，丙9岁，老师36岁每过1年，老师长了1岁，每个学生也长了1岁，那么3个学生的年龄和就长了3岁 9年后，3个学生的年龄和增加93=27岁，老师年龄增加9岁，3个学生的年龄和比老师大27-9=18岁那时，老师年龄等于甲、乙年龄和，丙的年龄就是18岁，那么现在丙的年龄

19、是18-9=9岁 同样，12年后，甲、乙、丙三人年龄之和要比老师大312-12=24岁，那时乙的年龄是24岁，那么现在乙的年龄是24-12=12岁 同样，15年后，甲、乙、丙三人年龄之和要比老师大315-15=30岁，那时甲的年龄是30岁，那么现在甲的年龄是3015=15岁。 现在，老师的年龄恰好是3个学生的年龄之和，是9+12+15=36岁14 1年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍已知父亲比母亲大2岁，母亲今年多少岁？35岁每过1年，父母的年龄和增加2岁，兄弟的年龄和也是增加2岁，所以父母年龄和与兄弟年龄和的差还是不变的 设1年前兄弟的年龄和

20、是1份，那么肖时父母的年龄和是7份，相差7-1=6份 4年后，也就是说比1年前多了4+1=5年，父母的年龄和增加了52=10岁，兄弟的年龄和也增加了10岁，父母的年龄和还是比兄弟的年龄和大6份此时，父母的年龄和是兄弟的年龄和的4倍，所以4年后兄弟的年龄和是6（4-1）=2份，比1年前兄弟的年龄和增加了1份，因此1份就是10岁，1年前，父母的年龄和就是107=70岁， 又爸爸比妈妈大2岁，所以1年前妈妈是（70-2）2=34岁，那么妈妈今年就是34+1=15岁超越篇1口渴的三个和尚分别捧着一个水罐，最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝，于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接

21、着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚就这样，三人轮流谦让了一阵，结杲太阳落山时，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐里则装着20升水请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？答案:10升解析:容易知道，最后一次把水分出去的应该是大和尚，他把自己的水全部分出去后就使得老和尚和小和尚的水分别为10升和20升，而在此之前还应该有一个和尚没有水，所以只能是老和尚没有水那么大和尚分给老和尚10升水，他也应该分给小和尚10升水于是在大和尚分水之前，老和尚、大和尚、小和尚各有水O升、20升、10升如表一所示： 大和尚分水的前一次是老和尚分水，他分

22、完后水变成了O，同样再来分析老和尚分水之前的情况为了更清楚地看出三个和尚水罐中水的变化关系，不妨作出下面的表二： 从表二中看到，三个和尚水罐里面的水的情况以3为周期，循环出现由于第一次是老和尚把水分出去，也就是最初情况应该是在老和尚分水之前，这时，大和尚的水罐有10升水。2甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加一倍经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？甲5块，乙13块最后一次有两种可能：甲给乙，让乙增加一倍；或乙给甲，让甲增加一倍，如果最后一次是乙给甲糖，那么在此之前甲应该有102=5块，乙有8+5

23、=13块但是这样一来，上次无论是让乙增加一倍还是让甲增加一倍都不可能，因为增加一倍后的糖数应该是偶数 因此最后一次操作中一定是甲将糖给乙，使乙的糖数增加一倍，变成8块，那么在分糖之前乙的糖数就是82=4块，而甲的糖数为10+4=14块类似地，每次倒推都应该有两种可能，如果之前已经分过糖了，那么甲、乙的糖数就应该都是偶数，这样就可以一步一步倒推回去，如表所示：从表中可以看出，两个人的糖块数是有规律的，每6次操作为一个周期 20056=3341，那么第2004次操作后就应该和最开始的情况是一样的，那么第2005次操作后和第1次操作后的情况是一样的，也就是说第1次操作后甲有10块，乙有8块 但第1次

24、操作和其他次数操作不同，并不要求两人最初的糖数一定为偶数，因此两人最初的糖数有两种可能：乙有82=4块糖，甲有10+4=14块糖；或甲有102=5块糖，乙有8+5 =13块糖由题意，甲的糖数比乙少，因此只能是甲有5块糖，乙有13块糖。3哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7倍，求哥哥获得博士学位的年龄28岁设弟弟上幼儿园时的年龄是1份，那么哥哥获得博士学位时的年龄就是7份，如图所示：由线段图可知两人的年龄差就是（7-1）3=2份从而，现在弟弟的年龄是1+2=3

25、份，哥哥的年龄是3+2=5份两人现在的年龄和是3+5=8份，所以1份就是328=4岁因此哥哥获得博士学位的年龄是47=28岁4小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：“当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才5岁，”小明对爷爷说：“当我的岁数是您现在的岁数时，我爸都89岁了”请问：小明的爸爸今年多少岁？47岁从图中容易看出，爸爸从现在开始，长到89岁这一个过程所经历的时间，小明长到了爷爷现在这么大，所以这就是小明和爷爷的年龄差 当小明5岁时，爷爷和他爸爸现在一样大，所以5岁与爸爸现在年龄的差也是小明与爷爷的年龄差从而两个小旺与爷爷的年龄差等于89-5=84岁，小明与爷爷相差842=42岁因此爸爸现在的年龄为5

26、+42=47岁，51996年时，父母的年龄之和是78岁，兄弟二人的年龄之和是17岁；4年后，父亲年龄是弟弟年龄的4倍，母亲年龄是哥哥年龄的3倍，试问：当父亲年龄是哥哥年龄的3倍时是公元多少年？2001年4年后，父母的年龄之和是78+4+4=86岁，兄弟的年龄之和是17+4+4=25岁从线段图中看出，4年后父母年龄和比兄弟年龄和的3倍还要多一个弟弟昀年龄因此4年后弟弟年龄是86-253=11岁，哥哥年龄是25-11=14岁，父亲年龄是114=44岁，母亲年龄是143=42岁父亲和哥哥的年龄差是44-14=30岁，因此到父亲年龄是哥哥的3倍时，年龄差就是哥哥年龄的2倍，因此这盱哥哥的年龄是30（3

27、-1）=15岁，也就是从1996年起的5年后所以这一年是1996+5=2001年6全家四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁.4年前全家人的年龄之和是58岁，而现在是73岁，问：现在各人的年龄分别是多少岁？弟弟3岁，姐姐5岁，父亲34岁，母亲31岁这4年间，全家人的年龄相加之和只增加了73-58=15岁，因此，4年前弟弟没有出生，所以现在弟弟3岁，那么姐姐现在3+2=5岁又现在父母的年龄之和为73 -5喜3鼍鸽岁，父亲比母亲大3岁，则现在父亲的年龄是（65+3）2=34岁，母亲的年龄是（60-3）2=31岁。7老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数，请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？1860将起始的3个数a、b、c与后来写的7个数排成一行，形成下表：由于三个数之和是159，并且是和的平均数，易知=1593=53.（1）如果，设= 53+k，=53-k（k为正整数），然后逆推出前面各数的表达式从上表中可以看出，c=53-43k，当且仅当k=1时符合题意