数学建模论Word下载.docx

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20

375

超过20000元至40000元的部分

1375

6

超过40000元至60000元的部

30

3375

7

超过60000元至80000元的部分

35

6375

8

超过80000元至100000元的部分

40

10375

9

超过100000元的部分

45

15375

例如：

如某人月工薪收入为3900元，则月应纳税所得额=3900-2000=1900元,当月应交个人所得税额=500×

5%+（1900-500）×

10%=165元；

或当月应交个人所得税额=应纳税所得额×

适用税率-速算扣除数=1900×

10%-25=165元。

二、年终一次性奖金纳税计算方案：

1．先将雇员当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其商数确定适用税率和速算扣除数。

2.将雇员个人当月内取得的全年一次性奖金，按本条第1项确定的适用税率和速算扣除数计算征税。

某月份向其员工发放工资2400元，年终一次性奖金6000元，应缴个税为：

（2400-2000）×

5%＝20元，由于2400元已超过费用扣除额2000元，则计算年终奖税款时无需再减除差额，则年终奖部分的个税应税所得额为6000元，除以12后为500元，使用税率5%，速算扣除数为0，年终奖部分的应纳税额=6000×

5%＝300元，该员工当月应交纳个税=20+300=320元。

如果该员工当月工资薪金所得为1600元，低于税法规定的费用扣除额，应将全年一次性奖金减除差额后的余额，年终奖应纳税所得额=6000-400=5600元，除以12后为466.7元，适用税率5%，速算扣除数为0，即5600×

5%=280元。

问题:

1、 

请根据以上纳税方案，为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少（假设其年收入为10万元，公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额）。

2、 

请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年收入从3万元以

1000元为间隔到15万元。

3、 

现假设该公司某夫妇年收入为12.5万元，及如果买住房住房公积金可以

年支配1.5万元，并打算贷款购买住房，住房公积金贷款利率与银行贷款利率如下表，其中住房公积金每对夫妇最多贷款额为50万元。

如果新房的售价为100万元，首付款必须30%。

请你替该夫妇制定一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。

个人住房公积金贷款年利率表

贷款期限

5年以下（含）

5年以上

利率（%）

4.02

4.59

个人住房银行抵押贷款年利率表

1年

1至3年（含）

3至5年（含）

5.31

5.40

5.76

5.94

问题分析

全年纳税总额p分为2部分,一部分为月工资部分的所需上交的税额f（x）,另外一部分为年终奖部分所需上交的税额f（y）。

要使p最小的就是保证月工资纳税和年终奖纳税总额最少。

通过直观的分析，企业发放年终奖奖金以及员工每月工资的不均衡发放，必然导致个人所得税税负提高，实际到手的收人减少。

每月均匀发放工资薪金会降低个人所得税的税率，会减少应纳个人所得税金额。

企业在发放年终一次性奖金时应抓住税率临界点。

本方案即在寻找这个税率的临界点。

模型假设、建立与求解

问题一：

请根据以上纳税方案，为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少（假设其年收入为10万元，公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额）

1、模型的符号说明：

x——月工资

y——年终奖

z——年收入

f（x）——月工资纳税额

f（y）——年终奖纳税额

p——全年纳税额

2、假设

（1）、个人的年总收入仅分为：

每月的月收入和年终奖的收入。

（2）、月收入不低于2000元。

（3）、月收入等额。

3、模型的建立

（1）、月工资纳税额与月工资之间的关系式如下所示：

（x-2000）╳5%2000≤x≤2500

（x-2000）╳10%-252500<

x≤4000

（x-2000）╳15%-1254000<

x≤7000

（x-2000）╳20%-3757000<

x≤22000

f（x）=（x-2000）╳25%-137522000<

x≤42000

（x-2000）╳30%-337542000<

x≤62000

（x-2000）╳35%-637562000<

x≤82000

（x-2000）╳40%-1037582000<

x≤102000

（x-2000）╳45%102000<

x

（2）、年终奖纳税额与年终奖之间的关系如下所示：

y╳5%0<

y/12≤500

y╳10%-25500<

y/12≤2000

y╳15%-1252000<

y/12≤5000

y╳20%-3575000<

y/12≤20000

f（y）=y╳25%-137520000<

y/12≤40000

y╳30%-337540000<

y/12≤60000

y╳35%-637560000<

y/12≤80000

y╳40%-1037580000<

y/12≤100000

y╳45%-15375100000<

y/12

模型的求解针对个人的全年纳税,建立如下模型:

p=12╳f（x）+f（y）

其中约束条件为:

z=x╳12＋y;

（x,y>

0）

在进行模型求解之前，我们首先要提出一个已被证明的论点，即：

假设没有年终奖,在税前年收入为定值Z元时,这时的Z＝f（x）×

12；

将Z平均分配到12个月,即f（x）。

如果每月的工资可按员工意愿，则存在g1,g2,g3……g12。

当g1＝g2＝g3＝……＝g12时，所需上交的税额为最小。

本模型是基于每个月收入为一个定值且每月都相等。

4、求解

我们利用excel2003软件的“规划求解”工具进行求解，设计好公式后将数据输入，即可得出答案，求解过程如下图所示：

图一，程序运行结果

Excel求解说明：

B3、C3为变量单元格

B5=sum（B3-B4）

C5=sum（C3-C4）

B6=IF（B5<

=500,B5*5%,IF（B5<

=2000,B5*10%-25,IF（B5<

=5000,B5*15%-125,IF（B5<

=20000,B5*20%-375,IF（B5<

=40000,B5*25%-1375,IF（B5<

=60000,B5*30%-3375,IF（B5<

=80000,B5*35%-6375,IF（B5<

=100000,B5*40%-10375,B5*45%-13375））））））））

C6=IF（C5/12<

=500,C5*5%,IF（C5/12<

=2000,C5*10%-25,IF（C5/12<

=5000,C5*15%-125,IF（C5/12<

=20000,C5*20%-375,IF（C5/12<

=40000,C5*25%-1375,IF（C5/12<

=60000,C5*30%-3375,IF（C5/12<

=80000,C5*35%-6375,IF（C5/12<

=100000,C5*40%-10375,C5*45%-13375））））））））

B9=SUM（12*B6+C6）

最终得出的最优解为：

最佳情况中的总税值为：

9775元

最佳情况月工资为：

4158.26元

最佳情况每月税额为：

198.74元

最佳情况年终奖为：

50100.91元

最佳情况年终奖应缴税额为：

7390.14元

模型改进：

以上讨论的是月收入大于2000元的分配情况，而当月收入低于2000元时，根据推理可知，月收入为2000时所需缴纳税额要比低于2000元时少，而当月收入为2000元时，所需缴纳税额为：

（100000-12╳2000）╳35%-6375=20225元比9775元要大，因此月收入低于2000元时得不到最佳分配方案。

问题二：

请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年收入从3万元以1000元为间隔到15万元

在该题中，我们从3万元开始，以1000元为间隔计算从3万元到15万元的最佳收入分配方案，利用问题一的模型和方法，通过excel2003软件计算，可得出如下最佳分配方案列表：

表一：

职员年度收入最优分配方案表

年收入

月工资

月税额

年终奖

年终奖税额

全年总税额

30000

2499.99062555

24.99953125

0.112499776

0.00562498

300

31000

2313.36187

15.6680939

3239.65745

161.9828726

350

32000

2309.13990

15.45699535

4290.32111

214.5160558

400

33000

2253.13420

12.6567103

5962.38951

298.1194757

450

34000

35000

36000

37000

38000

39000

40000

41000

42000

43000

44000

45000

46000

47000

48000

49000

50000

51000

52000

53000

54000

55000

56000

57000

58000

59000

60000

61000

62000

63000

64000

65000

66000

67000

68000

69000

70000

71000

72000

73000

74000

75000

76000

77000

78000

79000

80000

81000

82000

83000

84000

85000

86000

87000

88000

89000

90000

91000

92000

93000

94000

95000

96000

97000

98000

99000

100000

4158.257351

198.738602

50100.91179

7390.136768

9775

101000

102000

103000

104000

105000

106000

107000

108000

109000

110000

111000

112000

113000

114000

115000

116000

117000

118000

119000

120000

121000

122000

123000

124000

125000

126000

127000

128000

129000

130000

131000

132000

133000

134000

135000

136000

137000

138000

139000

140000

141000

142000

143000

144000

145000

146000

147000

148000

149000

10416.66804

1308.33360

23999.9835

2374.99835

18075.00165

150000

10500.00328

1325.000656

23999.960677

2374.996067

18275.00393

在这里，我们只列出了富有代表性的开始、中间和结尾几项，根据同样的方法，其他各项也是可以求出来的，在这里就不一一列出了。

附：

程序运行结果（30000、31000、150000）

问题三、现假设该公司某夫妇年收入为12.5万元，及如果买住房公积金可以年支配1.5万元，并打算贷款购买住房，其中住房公积金每对夫妇最多贷款额为50万元。

1、问题的分析

在个人收入时，要尽可能使个人所得税最少，同时又要使所缴纳的利息最少，

这就成了一个典型的多目标规划问题。

钱在银行存一天就有一天的利息，存的钱越多，得到的利息就越多。

同样，

对于贷款来说也一样，银行的贷款多用一天，就要多付一天的利息，贷款的金额越大，支付给银行的利息也就越多。

银行利息的计算公式是：

利息＝资金额×

利率×

占用时间。

因此，利息的多少，在利率不变的情况下，决定因素只能是资金的实际占用

时间和占用金额的大小，而不是采用哪种还款方式。

这是铁定不变的道理！

在还

按揭贷款时，我们有等额本息付款和等额本金付款两种基本方式。

等额本息还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款

利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。

由于每月的还款额相等，因此，在贷

款初期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；

而在贷

款后期因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷款利息也不断减少，每月所还的

贷款本金就较多。

这种还款方式，实际占用银行贷款的数量更多、占用的时间更

长，同时它还便于借款人合理安排每月的生活和进行理财（如以租养房等），对

于精通投资、擅长于“以钱生钱”的人来说，无疑是最好的选择！

等额本金还款法，即借款人每月按相等的金额（贷款金额/贷款月数）偿还贷

款本金，每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，两者合计即为每月

的还款额。

由于每月所还本金固定，而每月贷款利息随着本金余额的减少而逐月

递减，因此，等额本金还款法在贷款初期月还款额大，此后逐月递减（月递减额

＝月还本金×

月利率）。

此种还款方式，适合生活负担会越来越重（养老、看病、

孩子读书等）或预计收入会逐步减少的人使用。

等额本金还款法的计算公式

每季还款额=贷款本金÷

贷款期季数+（本金-已归还本金累计额）×

季利率

由此可见，随着本金的不断归还，后期未归还的本金的利息也就越来越少，

每个季度的还款额也就逐渐减少。

这种方式较适合于已经有一定的积蓄，但预期

收入可能逐渐减少的借款人，如中老年职工家庭，其现有一定的积蓄，但今后随着退休临近收入将递减。

通过上述我们可以知道，虽然等额本金法，算下来要比等额本息划算的多，

但是有一个问题，等额本金法每月的还款金额是递减的，而一般情况下，如果一味考虑节省利息选用等额本金法，也就是说目前的压力会比较大，该公司夫妇的收入理论上会是递增的，所以很多时候出于这种考虑，选择等额本息法对于该夫妇比较合理。

在本题中，我们也作该处理，即选用等额本息还款。

这样的话，上述多目标

规划问题就变成了单目标规划问题。

即把个人收入作为一个约束条件，把利息作为目标函数值。

2、模型假设

（1）这对夫妇的储存能力能够支付首付30万，对比公积金贷款和银行贷款采用多贷公积金，少贷银行；

（2）假定公积金年支配用于储蓄;

（3）假定公积金贷款50万，银行贷款20万;

（4）实行先还银行，再还公积金的办法，那么公积金在此期间只需还贷利息（不纳入还款金额）;

（5）这对夫妇的收入是一样的，即每人每年收入都为62500元.

3、模型建立

根据最优收入分配方法，得出每人的收入情况：

总税收：

3525元；

月工资：

3714元；

月工资税收：

146.4元；

税后可支配工资：

3567.6元；

年终奖：

17931.77元；

年终奖的税收：

1768.18元；

税后可支配为：

16163.59元；

税后年收入为：

58974.79

由给出条件并经过运算，可分别得出公积金贷款和银行贷款年利率和月利率如下表所示：

表二：

年利率和月利率（公积金）

年利率

月利率

5年以下

0.329

0.375

表三：

年利率和月利率（银行贷款）

0.432

1至3年

5.40

0.439

3至5年

0.468

0.482

4、模型求解

（1）全年收入方案

该夫妇总收入：

125000元

总纳税额：

7050元，税后余下的收入的30%——50%用于生活支出，其中有10%可用于投资或保险，40%——60%用于月供。

40%——60%范围为：

3931.7元——5891.7元，月供取其范围最佳。

采用excel2003中的PMT公式计算，得出运算过程如下图：

PMT是计算等额本息的函数，由于其值为负数，加负号使其为正，B1代表月利率，C1代表月数，D1代表贷款本金。

图二，贷款年限和每月还款额之间的关系（银行贷款）

图三，贷款年限和每月还款额之间的关系（公积金贷款）

借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，由上图可以看出，通过对比，银行贷款还款年限取4年为宜，公积金贷款年限取10年为宜，此时的还款额最少，且符合月收入的40%—60%用于月供。

5、结果分析与评价

用理财的思路去考虑最为合理的收入使用分配应该是非常有必要的。

尤其

对于那些工作比较稳定，但收入平平的工薪阶层房贷者而言，过多的还款压力很

可能使其不堪重负，沦为“房奴”一族。

在本模型中充分考虑了该问题，将月供还贷压力降低到最低，同时考虑也考

虑了工薪阶层房贷者的生活压力及生活开支。