线性代数重要公式Word格式.docx
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6、范德蒙行列式:
大指标减小指标的连乘积;
7、特征值;
6.对于n阶行列式A,恒有:
-AZ」(-1)kSk'
njc,其中Sk为k阶主子式;
k=t7
7.证明A=0的方法:
①、A=-A;
2、反证法;
3、构造齐次方程组Ax=O,证明其有非零解;
4、利用秩,证明r(A):
n;
⑤、证明O是其特征值;
2、矩阵
1.A是n阶可逆矩阵:
A-0(是非奇异矩阵);
=r(A)=n(是满秩矩阵)
UA的行(列)向量组线性无关;
U齐次方程组AX=O有非零解;
=~bRn,AX=b总有唯一解;
UA与E等价;
-A可表示成若干个初等矩阵的乘积;
二A的特征值全不为0;
-ATA是正定矩阵;
=A的行(列)向量组是Rn的一组基;
UA是Rn中某两组基的过渡矩阵;
2.对于n阶矩阵A:
AA=AA=IAlE无条件恒成立;
3.(A丄)*=(A*)1(AI)T=(AT)1(A*)T=(AT)*
(AB)T=BTAT(AB)*=B*A*(AB)A=BAA亠
4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;
行列式是数值,可求代数和;
5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:
A
若A=A匕,则:
<
A5丿
I、AfA2IAS;
U、A―匚;
■
IA亠J
②、IOo卜处O!
;
(主对角分块)
9B丿2B才
3、OO∣oB亠;
(副对角分块)
IB0丿IA-Or
4、卜叮JA丄山七B十(拉普拉斯)
IOB丿(OB丄丿,
1.一一个men矩确定的:
总阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一
HErOL;
仏OyA丄OY
ICB)=I-BJCA丄B-/,
3、矩阵的初等变换与线性方程组
等价类:
所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;
标准形为其形状最简单的矩阵;
⑤、
(拉普拉斯)
对于同型矩阵A、B,若r(A)=r(B)=A=B;
2.行最简形矩阵:
1、只能通过初等行变换获得;
2、每行首个非O元素必须为1;
3、每行首个非O元素所在列的其他元素必须为0;
3.初等行变换的应用:
(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
1、若(A,E)I(E,X),则A可逆,且X=A丄;
2、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成AdB,即:
C
(A,B)√E,A丄B);
③、求解线形方程组:
对于n个未知数n个方程Ax=b,如果(A,b)二(E,X),
则A可逆,且X=A丄b;
4.初等矩阵和对角矩阵的概念:
1、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:
左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
2、A=,左乘矩阵A,入乘A的各行元素;
右乘,花乘A的
'
、、一入丿
各列元素;
r1、
1
广1A
I1丿
AB=0,贝则:
(
AX=0解(转置运算后的结论);
③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j宀E(i,j),例如:
例如:
④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k))-=E(i
1f1
1_k
k
1丿
矩阵秩的基本性质:
①、
②、
③、
④、
的秩)
⑥、
⑦、
⑧、
0<
r(Amn)乞min(m,n);
⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))A=E(ij(-k))
1-k
r(AT)=r(A);
若A=B,贝Ur(A)=r(B);
若P、Q可逆,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);
(可逆矩阵不影响矩阵
max(r(A),r(B))<
r(A,B)<
r(A)r(B);
(探)
r(A■B)乞r(A)-r(B);
(探)
r(AB)_min(r(A),r(B));
如果A是m5矩阵,B是n"
矩阵,且
I、B的列向量全部是齐次方程组
U、r(A)r(B)<
n
⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)_r(A)r(B)-n;
6.三种特殊矩阵的方幂:
1、秩为1的矩阵:
一定可以分解为列矩阵(向量)/亍矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
1aC
2、型如01b的矩阵:
利用二项展开式;
Q01J
二项展开式:
(a+b)n=Can+cnan*卄+Cman^bm卄+cΓa1bn→Cnbn=丈Cmambj;
mZe
注:
1、(a∙b)n展开后有nT项;
□、审=皿Z1)—C0=Cn=I
1雷會ggmm!
(n_m)!
川、组合的性质:
Cm=CnnJmCm1=Cnm-CnmlJCn=2"
rCnr=nCnT;
r_0,7
③、利用特征值和相似对角化:
7.伴随矩阵:
fnr(A)=n
1、伴随矩阵的秩:
r(A*)=1
0r(A):
:
n-1
2、伴随矩阵的特征值:
A(AX-X,A=AA律A*X=AX);
λλ
^③、IA=IAIA丄、A=IAn丄
8.关于A矩阵秩的描述:
1、r(A)=n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0;
(两句话)
2、r(A):
:
n,A中有n阶子式全部为0;
3、r(A)_n,A中有n阶子式不为0;
9.线性方程组:
Ax=b,其中A为mn矩阵,贝I」:
1、m与方程的个数相同,即方程组A^b有m个方程;
2、n与方程组得未知数个数相同,方程组A^b为n元方程;
10.线性方程组A^b的求解:
1、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);
2、齐次解为对应齐次方程组的解;
Pm1am2
am^Xm/
n个未知数)
込nJ
4、aXl≡2X2加-HanXn=I(线性表出)
5、有解的充要条件:
r(A)=r(A,尢n(n为未知数的个数或维数)
1.
"
m构成nxm矢矩阵A=(耳,®
,…,。
m);
4、向量组的线性相关性
m个n维列向量所组成的向量组A:
:
1,"
m个n维行向量所组成的向量组B:
P/,⅛r,…鹿构成mxn矩阵
含有有限个向量的有序向量组与矩阵对应;
2.
、向量组的线性相关、无关=AX=O有、无非零解;
(齐次线
性方程组)
2、向量的线性表出二A^b是否有解;
(线性方程组)
3、向量组的相互线性表示UAX=B是否有解;
(矩阵方程)矩阵Am.与Bi/亍向量组等价的充分必要条件是:
齐次方程组AX=0和
BX=0同解;
(PiOi例14)
r(ATA)=r(A);
(PiOi例15)
n维向量线性相关的几何意义:
1、,线性相关0;
2、:
J线性相关二:
J坐标成比例或共线(平行);
3、:
;
线性相关U「,共面;
6.
线性相关与无关的两套定理:
若h,>
2,…,:
S线性相关,则W2,…CsS1必线性相关;
若*2,…,:
S线性无关,则:
1,ys」必线性无关;
(向量的个数加加减减,二者为对偶)
若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量,构成n维向量组B:
若A线性无关,则B也线性无关;
反之若B线性相关,则A也线性相关;
(向量组的维数加加减减)
简言之:
无关组延长后仍无关,反之,不确定;
7.向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为S)线性表示,且A线性无关,则^S(二版P74定理7);
向量组A能由向量组B线性表示,则r(AKr(B);
(丘点定理3)向量组A能由向量组B线性表示
=AX=B有解;
二r(A)=r(A,B)(P*5定理2)
向量组A能由向量组B等价=r(A)=r(B)=r(A,B)(P85定理2推论)
8.方阵A可逆=存在有限个初等矩阵Pι,P?
…,Pi,使A=PR…Pi;
1、矩阵行等价:
A~BPA=B(左乘,P可逆)=AX=0与BX=0同解
2、矩阵列等价:
A~BUAQ=B
3、矩阵等价:
A~B=PAQ=B(P、Q可逆);
9.对于矩阵Amn与Bin:
1、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;
2、若A与B行等价,则AX=O与BX=0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
4、矩阵A的行秩等于列秩;
10.若AmSBSn=Cmn,则:
1、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;
2、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;
(转置)
11.齐次方程组BX=0的解一定是ABX=0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
1、ABX=0只有零解=BX=0只有零解;
2、BX=0有非零解二.ABX=0一定存在非零解;
12.设向量组Bn诚:
b,b2,…,br可由向量组An遙:
讣2,…,线性表示为:
(Pi0题19结论)
(b,b2,…,br)=(a1,a2,…,ajK(B=AK)
其中K为Sr,且A线性无关,则B组线性无关=r(K)=r;
(B与K的列
向量组具有相同线性相关性)
(必要性:
r=r(B)=r(AK)<
r(K),r(K)<
r.r(K)=r;
充分性:
反证法)
当,s时,K为方阵,可当作定理使用;
13.①、对矩阵Amn,存在Qnm,AQ=Em=「(A)”、Q的列向量线性无关;
(P87)
②、对矩阵Am用,存在Pnm,PA=En=r(A)=n、P的行向量线性无关;
14∙:
1,:
2,…,〉S线性相关
二存在一组不全为O的数K,k2,…,kS,使得kJ心2•…2s=O成立;
(定义)
XVl
=心1。
2,…4)[=0有非零解,即Ax=O有非零解;
15.设^n的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组AX=0的解集S的秩为:
r(S)=n-r;
16.若*为AX=b的一个解,1,2「,n丄为AX=0的一个基础解系,则
…,©
丄线性无关;
(Pm题33结论)
5、相似矩阵和二次型
Lb^D1[b,b]
b2=a2
[b2,ar]鸟”_[br4,6]b
[b2,b2][Q4,Q丄]
3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;
4.①、A与B等价A经过初等变换得到B;
二PAQ=B,P、Q可逆;
=r(A)=r(B),A、B同型;
2、A与B合同=CTAC=B,其中可逆;
=XTAX与XTBX有相同的正、负惯性指数;
3、A与B相似UP-AP=B;
5.相似一定合同、合同未必相似;
若C为正交矩阵,则CTAC=BhA=B,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);
6.A为对称阵,则A为二次型矩阵;
7.n兀二次型XTAX为正定:
-A的正惯性指数为n;
=A与E合同,即存在可逆矩阵C,使CTAC=E;
-A的所有特征值均为正数;
UA的各阶顺序主子式均大于O;
NQ∣A∣0;
(必要条件)