湖北省襄阳市届高三调研统一测试数学理试题.docx

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湖北省襄阳市届高三调研统一测试数学理试题

湖北省襄阳市2018届高三1月调研统一测试数学（理）试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．已知集合，则（）

A．B．2，C．D．

2．若向量为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围是（）

A．B．（－∞，－2）∪

C．D．

3．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（）

A．B．C．D．

4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：

“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？

”意思是：

“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？

”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺重量为（）

A．斤B．斤C．斤D．斤

5．已知点和圆，过点作圆的切线有两条，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

6．已知是双曲线的焦点，是双曲线的一条渐近线，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，是椭圆与双曲线的一个公共点，设，则（）

A．B．C．D．且且

7．函数y＝的图象大致为（）

A．B．

C．D．

8．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

9．已知是双曲线的左右焦点，若在右支上存在点使得点到直线的距离为，则离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）

A．6+B．8+C．6++D．6+

11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为,当x≠0时,,若,，则a,b,c的大小关系正确的是（）

A．B．

C．D．

12．已知定义在上的函数，当时，，且对于任意的实数，都有，若函数有且只有三个零点，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

二、填空题

13．等比数列各项均为正数，，则__________．

14．已知实数满足，则的最小值为__________．

15．已知函数的部分图象如图所示，令，

则__________．

16．若函数对定义域内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数”，给出下列命题：

①是自倒函数；

②自倒函数可以是奇函数；

③自倒函数的值域可以是；

④若都是自倒函数且定义域相同，则也是自倒函数

则以上命题正确的是_________．（写出所有正确的命题的序号）

三、解答题

17．已知的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18．在中，角所对的边分别为，已知.

（1）求的值；

（2）若为边上的点，且，求的长.

19．如图一，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，且该四棱锥的俯视图和侧视图如图二所示.

（1）证明：

平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

20．动点到定点的距离之比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于两个不同的点，过点分别作曲线的切线，且二者相交于点.

（1）求曲线的方程；

（2）求证：

；

（3）求的面积的最小值.

21．定义在上的函数满足，．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间；

（3）如果、、满足，那么称比更靠近．当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由．

22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线，过点的直线的参数方程为．直线与曲线分别交于、．

（1）求的取值范围；

（2）若、、成等比数列，求实数的值．

23．已知函数f（x）＝|3x＋2|.

（1）解不等式f（x）<4－|x－1|；

（2）已知m＋n＝1（m，n>0），若|x－a|－f（x）≤（a>0）恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

1．D

【解析】

,所以,选D.

2．B

【分析】

由与夹角为锐角，可得且不共线，再代入向量解不等式即可得到答案．

【详解】

由题意可得：

∵与夹角为锐角，

∴（）1-2m＞0，且不共线

∴

当时，可得m＝﹣2

所以实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．

故选B．

【点睛】

本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当与的夹角为锐角可得，且不共线，但是学生容易忽略两个向量共线并且同向的情况.

3．B

【解析】

由题意得,选B.

4．A

【解析】

由等差数列性质得中间3尺重量为,选A.

5．C

【解析】由题意得点在圆外，选C.

6．A

【解析】

由题意得

，选A

7．D

【分析】

根据函数解析式，判断函数奇偶性；再结合函数零点个数以及特值法即可判断.

【详解】

y＝＝＝，

由此容易判断函数为奇函数，可以排除A；

又函数有无数个零点，可排除C；

当x取一个较小的正数时，y>0，由此可排除B，

故选：

D.

【点睛】

本题考查函数图象得识别，涉及函数奇偶性的判断，以及特殊值法，属基础题.

8．D

【解析】

由正弦函数图像得，所以，选D.

9．B

【解析】

设，所以

选B.

点睛：

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

10．C

【解析】

所以棱锥P-ABCD的表面积为

选C.

点睛:

空间几何体表面积的求法

（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

（3）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

11．A

【详解】

设，，

是定义在实数集上的奇函数，是定义在实数集上的偶函数，

因为，所以当时，，

此时函数单调递增，

，，

又，故选A.

12．B

【解析】

由图可知,选B.

点睛：

涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

13．20

【解析】

由，得

所以

14．

【详解】

不等式组表示的平面区域如下图所示，

目标函数，设，

令得到如上图中的虚线，

向上平移易知在点处取得最大值，

，所以目标函数.

15．1

【解析】

16．①②

【解析】

因为,所以,因此满足“自倒函数”定义;因为奇函数满足“自倒函数”定义,所以②对;自倒函数不可以为零;因为,都是自倒函数且定义域相同，但不是自倒函数（不唯一）,因此命题正确的是①②

点睛：

运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.本题定义的函数主要考查值域与单调性．

17．（Ⅰ）,（Ⅱ）．

【解析】

试题分析:

（1）先由和项与通项关系求通项，由于n=1不满足，最后写出分段函数形式

（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定，最后不要忘记除1-q

试题解析：

（Ⅰ）解：

当n≥2时，

当n=1时，

∴

（Ⅱ）解：

令

当n=1时，

当n≥2时，

两式相减得：

∴（n≥2）

综上，．

点睛：

用错位相减法求和应注意的问题

（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

18．（Ⅰ）;（Ⅱ）CD=13．

【解析】

试题分析:

（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简可得，最后根据两角和余弦公式求的值；

（2）先根据正弦定理求得BD，再根据余弦定理求的长.

试题解析：

（Ⅰ）解：

由得：

即

∵A、B、C是△ABC的内角，∴

因此，，又，故

由得：

∴

（Ⅱ）解：

由得：

由正弦定理得：

，∴

在△BCD中，

∴CD=13．

19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

【详解】

试题分析:

（1）由勾股定理可得BC⊥BD，再由线面垂直性质定理得BC⊥PD，因此由线面垂直判定定理得BC⊥平面PBD，最后根据面面垂直判定定理得结论

（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，通过解方程组求得各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系求结果

试题解析：

（Ⅰ）证：

由俯视图可得

∴BC⊥BD

又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD

而PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD

∵BC⊂平面PBC

∴平面PBC⊥平面PBD．

（Ⅱ）解：

由侧视图可得MD=3

由俯视图及ABCD是直角梯形得：

∴

以为x轴、y轴、z轴建立的空间直角坐标系D－xyz，

则D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0），C（0，4，0），M（0，0，3）

设平面AMB的法向量为=（x1，y1，z1），则，即

令，则，∴是平面AMB的一个法向量

设平面BMC的法向量为=（x2，y2，z2），则，即

令x2=3，则，∴是平面BMC的一个法向量

又由图可知，二面角A－BM－C为钝二面角

∴二面角A－BM－C的余弦值为．

20．（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）4．

【解析】

试题分析:

（1）根据抛物线定义确定曲线的方程；

（2）根据导数求得切线斜率，利用点斜式写出切线方程，解方程组可得交点坐标，最后利用向量数量积为零证明结论（3）三角形高为，根据抛物线定义求焦点弦长，根据三角形面积公式得关于斜率函数关系式，最后解函数最值得结论

试题解析：

（Ⅰ）解：

由已知，动点P在直线上方，条件可转化为动点P到定点F（0，1）的距离等于它到直线距离

∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点，直线为准线的抛物线

故其方程为．

（Ⅱ）证：

设直线AB的方程为：

由得：

设A（xA，yA），B（xB，yB），则

由得：

，∴

∴直线AM的方程为：

　①

直线BM的方程为：

　②

①－②得：

，即

将代入①得：

∴

故∴

∴

（Ⅲ）解：

由（Ⅱ）知，点M到AB的距离

∵

∴

∴当k=0时，△ABM的面积有最小值4．

21．

（1）；

（2）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（3）比更靠近．

【解析】

试题分析：

（1）两边求导，可建立关于，的方程组，求得其值，即可得到解析式；

（2）求导，对的取值进行分类讨论，即可得到结论；（3）设，，从而问题等价于，通过对的取值范围进行分类讨论，利用求导判断单调性求极值，即可得到结论．

试题解析：

（1），∴，即，又，∴，∴；

（2）∵，

∴，

∴，①当时，，函数在上单调递增，②当时，由得，∴时，，单调递减；时，，单调递增，综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）设，，∵，∴在上为减函数，又∵，

∴当时，，当时，，∵，，

∴在上为增函数，又∵，∴时，，∴在上为增函数，∴，①当时，，

设，则，∴在上为减函数，

∴，∵，∴，∴，∴比更靠近，

②当时，，

设，则，，∴在时为减函数，

∴，∴在时为减函数，∴，

∴，∴比更靠近，综