资本资产定价模型CAPM专题Word文档格式.docx
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若对于某一收益率水平，存在一风险资产组合的标准差小于其他任一风险资产组合的标准差，则其为均值－方差有效性组合。
2、无分割市场假设（FrictionlessMarketsAssumption）。
资产市场中无交易成本、无税金，对抛空没有限制，交易资产是完全可分的。
3、无风险资产假设（RisklessAssetAssumption）。
所有的投资者均可按相同的无风险利率借入或贷出资金。
4、齐次预期假设（HomogeneousBeliefsAssumption）。
投资者对于各种资产的收益率、标准差、协方差都具有相同的预期。
5、对于所有的投资者，投资期限均相同，所有的信息都是免费并且是立即可取的。
（三）标准的资本资产定价模型（SharpeandLintner）[]（[]）ERi=Rf+bimERm-Rf
（1）[][]mimimVarRCovR,Rb=或[][]EZi=bimEZm
（2）[][]mimimVarZCovZ,Zb=
（四）参数估计与统计检验对无限制模型（theunconstrainedmodel），即超额收益率模型（theexcess－returnmarketmodel）运用最大似然估计法（themaximumlikelihoodestimatemethod）进行估计。
1、标准的线性回归方程Zt=α＋βZmt＋εtE[εt]=0E[εtεt’]=ΣE[Zmt]=μmE[（Zmt-μm）2]=σm2Cov[Zmt,εt]=0参数估计ambmˆm）））=-（）（）å
（）å
==---=TtmtmTttmtmZZZ121mmmb））））
2、统计检验：
（1）Wald检验H0：
α＝0H1：
α≠0aasm））））112201--ú
¢
Sû
ù
ê
ë
é
=+mmJT～χ2（n）若对于有限样本（）aasm））））112211ˆ1--ú
+--=mmTTNJ～F（N，T－N－1）
（2）thelikelihoodratiotest（fortheconstrainedmodel,αconstrainedto0）å
å
=*==TtmtTttmtZZZ121b）（）（）¢
S=--*=**å
tmtTtZtZmtZZTbb）））11=[S-S]log*logˆ2）JT～χ2（n）
注：
由于J1可以表示为J2的单调函数，所以J1也可以看成是likelihoodratiotest。
÷
ø
ö
ç
è
æ
-ú
û
--é
=exp1121TJNTNJ在有限样本条件下=（--）[S-S]/22logˆ*logˆJ3TN～χ2（n）
（3）样本规模对统计检验的影响在大多数场合，我们经常不能获得有限样本下参数的解析解，而只能依赖于大样本取得参数的渐进解，此时，样本规模究竟多大才合适是一个值得认真考虑的问题。
我们可以通过J1，利用以下关系式为不同的渐进测试计算所需的样本规模。
101JNTTNJ--=÷
=exp1121TJNTNJ÷
----=1/22exp131TNJNTNJN为组合中资产数量，T为时间段。
（4）poweroftests（原假设被拒绝的可能性）①N固定，power随着T的增大而增大②T固定，power随着N的减少而增大N的取值决定于therateatwhichthesharperatiooftangencyportfoliodeclinesasassetsaregroupedtogether.N的取值一般不超过10。
二、文献回顾
（一）CAPM模型的扩展1、早期对CAPM的扩展——放宽模型中的假设
（1）不存在无风险资产Black（1972）认为任何资产的预期报酬都是由两种资产预期报酬组成，即市场资产组合与唯一最小方差且β为零的资产组合，后者与市场组合的相关系数为零。
E[Ri]=E[R0m]+βim（E[Rm]-E[R0m]）可见，如果将β为零的资产组合预期报酬看作无风险资产报酬，那么上式就是标准的CAPM，这说明在不存在纯粹无风险资产的情况下，资本资产定价模型依然成立。
这一模型通常称为双因素模型（two－factormodel）。
S.A.Ross（1977）指出，该模型有一个很重要的假设，即没有卖空（shortsales）限制，如果存在卖空限制，那么将无法获得β为零的资产组合。
这意味着CAPM只在两种情况下成立：
第一、不允许卖空，但存在无风险性资产；
第二、不存在无风险资产，但是允许卖空。
（2）所得税因素M.J.Brennen（1970）就税率差异对资本利得和股息的影响进行了实证分析，在β系数的基础上建立了一个包括附加项的扩展的CAPM：
E（Rj）=r1Rf+r2βi+r3DYi式中DYi第I项资产的股息收益，附加项r3DYi表示资产预期报酬对股息收益和系统风险的影响程度。
M.J.Brennen的模型认为，高报酬的资产要求有较高的股息收益，换而言之，投资者大多数不偏好股息而偏好资本利得，因为股息收益必须支付所得税。
（3）存在非上市资产D.Mayers（1972）认为，当投资者被迫持有非上市资产（如人力资产），并且其风险报酬为RH时，CAPM可以表述为：
E（Rj）=Rf+λ[VmCov（Rj,Rm）+Cov（Rj,RH）]（）（）mmmHmfVCovRRERR,2+-=slVm表示所有上市资产的现行的市场价值RH表示所有非上市资产的报酬额λ表示单位风险的资产价格，这里的风险不仅包括市场方差2sm，而且包括可上市资产报酬与非上市资产报酬总额的协方差。
D.Mayers的模型有三个重要的含义：
第一、投资者会持有由不同的风险性资产构成的资产组合，因为他们的人力资产具有不同的风险。
第二、风险性资产的市场均衡价格仍然与投资者的无差异曲线无关，分离定理依然成立。
第三、计量资产风险的最适当方法仍然是协方差，该模型考虑了第I种资产与两种资产组合的协方差，一种由可上市资产组成，另一种由非上市资产组成。
（4）价格水平变动Hagerman,Kim（1976）价格水平发生变化，会使名义无风险资产在现实世界中具有风险，因而该文的目的即推导出允许价格水平发生变动的CAPM，并指出其在实证中的困难。
投资者的名义总财富：
NifNjjijNwi=å
SR+BRNRj为风险资产的收益率，NRf为无风险资产的收益率Sij与Bi分别为权重考虑价格水平调整因子ajifjijNwi=awi=å
SR+BRNRj=aRj投资者效用最大化的拉各朗日函数：
（）[（）]÷
+-å
-ijiiijSBEuwLSBijimax1,求一阶导：
E[ui¢
*（Rj）]-Li=0E[u¢
i*（Rf）]-Li=0所以E[u¢
i*（Rj）]-E[ui¢
*（Rf）]=cov[u¢
i,（Rj-Rf）]+E（u¢
i）[E（Rj）-E（Rf）]=0假设投资者的效用函数为二次效用函数：
（）2iiiiwiuw=w-a对效用函数求导，并代入上式得（）（）（）[（）]mjfiiijjjfRRRaEuSERER-¢
=+å
cov,2å
=0iBiå
=iijjjiijjmSSRR由于上式对于市场组合必须成立，所以（）（）（）[（）]mmfmfiiijjRRRERERaEuS--=¢
=å
cov,2l所以，（）（）[（）][（）][（）（）]mfmmfmjfjfERERRRRRRRERER---=+cov,cov,将上式与SLB模型对比，可见其区别在于风险度量的不同，这是由于我们允许真实的无风险利率发生随机波动，当无风险利率为常数时，该模型就是SLB。
（）[][][（）]mfmmjjfERRRRRER=R+-varcov,此外，当真实市场收益率与价格变动无关时，该式也与SLB一致。
cov（,）=cov（m,a）=0NRmRfRfR。
这意味着除非价格波动会对市场组合收益率造成影响，否则其不会对单个证券的收益率产生影响。
由于该模型是用实际收益率表示的，但只能用名义收益率进行检验。
用名义收益率替代上述实际收益率NRj=aRj，可知由于该等式包括了多个随机变量，所以很难进行实证检验。
这从另一方面也说明了实证检验与实际预测的差异。
问题：
1、投资者效用函数为二次函数的假定并不准确。
2、假设名义无风险利率独立于模型之外、不受价格水平波动影响且相对价格水平不发生变动的假定不太现实。
2、多期间资本资产定价模型（theintertemporalCAPM或themultiperiodCAPM）单一期间资本资产定价模型在有价证券价格评估上并不具有可检测性，特别是在公司债券和普通权益的认购期权上。
由于西方经济学家一致认为对单一期间定价模型进一步讨论是缺乏研究效率的，这就引发了对多期间资本资产定价模型的讨论。
（1）R.C.Merton（1973）认为，资产组合实际上由三种资产组成（无风险资产、市场组合、资产K），在暂时均衡的资产市场中，存在多项β系数形式的CAPM：
a（tx（t））a（tx（t））mkta（tx（t））a（tx（t））（a（tx（t））a（tx（t）））jKKKKkjjKKjmjjKK,,,,,,0100+-÷
-=å
-=bb其中kmkkmmKmjmjkmmjksssssssb--=2kmkkmmkmjmjmkkjmsssssssb--=2å
==Kjkmmktjkj1sså
å
===KjkjkKkmmmktjmkt11ssmktj表示资产j在市场组合中的比重。
该模型表明，资产j的预期瞬时超额报酬（aj－a0）等于市场β系数（βjm）乘上市场组合的预期超额报酬÷
-=kjjjmktaa10，加上资产j与资产K的β系数（βjK）乘上资产K的预期超额报酬（ak－a0）。
两个β系数意味着资产的风险有两个构成要素，一个随着市场资产组合波动所形成的风险，用βjm表示；
另一个随着状态变量xK波动所形成的风险，由βjK表示。
从模型中可以看出，如果消除了状态变量xK之后，我们可以得到单一期间资本资产定价模型的瞬间形式。
这表明单一期间资本资产定价模型只是多期间资本资产定价模型的严格形式。
评论：
必须通过动态规划求解，由于可能需要引入较多的状态变量，所以实证操作有很大困难。
（2）JorrowandRosenfeld（1984）指出证券价格经常会出现jump，从而导致价格变化不连续。
他们对Merton的模型进行了扩展，指出了jump存在的情况下多期间资产定价模型成立的充分条件是jump在市场组合中是可以分散的。
（）jjjjjjjjjdtfdgdKdtdYSdS=a+y+h+-l+p，j＝1,…..,n,Sj（t）表示资产j在t时刻的价格αj，fj，gj，λj，Kj均是常数dψ，dηj是维纳过程dYj是泊松过程πj是跳跃幅度文章同时对jump是否是可分散的进行了实证分析。
实证模型：
（）jjjjjjnjjnjjjjnjmjdtmfdmgdKdtdYMdMay+h-l+p÷
+å
=1=1=1其中，市场组合M＝jnjå
mjS=1H0：
跳跃风险是可分散的，adtsdyMdM=+H1：
跳跃风险是不可分散的，dtddqMdM=a¢
+sy+实证结果显示：
当采用周数据与月数据时，“跳跃”风险是可分散的；
但是若采用日数据，则不可分散，但程度不大。
这有可能是因为由于周数据与月数据包括了周末与假期，从而掩盖了“跳跃”。
实证结果认为连续时间的CAPM不成立。
（3）Chamberlain（1988）运用鞅过程（martingalerepresentationandmartingaleprojection）推导了一个多期间资本资产定价模型。
其通过分析证券收益率的因素结构，假设存在一个随机过程将标量布朗运动（scalarBrownianmotion）作为总消费的充足统计量（sufficientstatistic），从而使市场组合能被多个高度分散化的组合所替代。
ktktttktdZ=dW+dV-1baWt是市场组合在t时刻的价值Zkt是证券k在t时刻的价格Vkt是一个鞅过程。
（4）Kazemi（1991）Constantinides（1980，1982）在假定市场组合收益率、无风险利率、贝塔、风险的市场价格皆可变的情况下推导出多期的CAPM用于多期的项目评估，但是在实际应用中，由于其计算量过大，实用价值很小。
该文在假设该项目在未来获得唯一的支付并且可以用单个贝塔表示整个项目全部现金流的风险的情况下，证明可以对多期项目进行评价。
该文通过项目在s期支付的现金流Ds与该期的边际效用函数的协方差衡量Ds的风险，然后将该现金流投资于在T期到期的资产DT，DT的风险用其与T期边际效用函数的协方差衡量。
项目的价值：
Pt=R（tT）{E[V（tT）ft]+E[U¢
（CT）ft][V（tT）U¢
（CT）ft]}---,,cov,,111（）（）sTstVtTå
RsTD=+=1,,是整个项目全部现金流的复合未来价值。
（）1,-RtT是无风险贴现债券的市场价格（贴现率）这意味着随机现金流和无风险债券价格之间的协方差可以用来衡量现金流的风险。
3、消费形式的CAPM
（1）单期：
总消费与交易资产定理：
总消费是一种交易资产，具有非零价格。
（（））（）（（）（））（（））（（（））（））00,ERCRxVarRCCovRCRxERxRxjj-=-å
Î
=iIiCC1是总消费需求x0……xk是有限责任资产消费形式的CAPM表明了资产j的预期超额报酬与总消费的超额预期报酬之间的关系，关系系数即消费贝塔系数。
（2）多期：
（）（）（）（dxxdcc）dccEdccdtdtjjjcov/,/var//00aaa--=可见该模型与单期模型的唯一区别是该模型使用瞬时报酬，而单期模型使用离散报酬。
但是消费贝塔系数的风险含义是相同的，表示资产在该期的波动性。
4、非线性的CAPMMcdonald（1983）Lee指出如果存在投资期问题，那么在系统性风险的估计中会出现非线性的情况。
该文为了解决投资期问题，引入了CAPM的函数形式。
SLB:
（）（）（）EHRj=-HbjHRf+HbjEHRm1下标H表示真实市场周期，下标N表示观测的投资期E（HRk）=[1+E（HRk）]-1,l=H/Nl所以（）（）（）（）RjtHbjRftHbjRmtmjtlll=1-++这就是CAPM的不变替代弹性函数形式。
其中（）（）ï
[（）]î
ï
í
ì
+-¹
+==11/,0ln1,0lllllktktktRRR（可见当?
＝1时为线性模型，当?
=0时为对数模型）文章还将其与可变替代弹性的函数形式（?
可变）进行比较，结果发现两者差别不大，但是后者会增加计算量。
实证检验发现，?
的均值为－0.46，标准差为1.17，说明存在非线性。
但是，文章最后通过对模型参数的估计同时也发现非线性不能全部归因于投资期问题。
而且文章发现公司规模越大，CES模型越不显著，这需要进一步研究。
5、条件CAPM
（1）Mathur,Pettengill,Sundaram（1995）文章的特色是采用了实际收益率而不是预期收益率对SLB－CAPM进行了检验。
使用实际收益率而不是预期收益率的区别是：
1．市场收益率可以低于无风险利率，不然没有人会持有无风险组合。
2．当市场收益率低于无风险利率时，收益率与β之间存在一个相反的关系。
即当市场收益率低于无风险利率时，高贝塔值的组合的收益率可能比低贝塔值的组合低，不然没有人会持有低贝塔值组合。
即证明：
apositiverelationduringpositivemarketexcessreturnperiodsandanegativerelationduringnegativemarketexcessreturnperiods。
文章的第一步是用Fama和Macbeth（1973）的方法检验贝塔和实际收益率之间的条件关系。
（）Ritttitit=gˆ+gˆ*d*b+gˆ*1-d*b+e012
（1）若（Rmt-Rft）>
0,d=1若（Rmt-Rft）<
0,d=0?
为市场超额收益率在市场超额收益率为正时，H0：
?
1＝0H0：
1>
0在市场超额收益率为负时，H0：
2＝0H0：
2<
0+jcEabeek当e（总禀赋）无穷大时，c为负值，jk为执行价格。
假设效用函数u（x）U[E（x）（x）]i=,var当令z＝x+y，时，（y为非负的高波动率变量）U[E（z）,var（z）]<
U[E（x）,var（x）]可见，虽然z优于x，但是根据均值方差分析，投资者的效用反而降低。
说明理论上存在着套利机会。
当然，这只在有限的水平（h>
0）下存在不一致（均值方差偏好是非单调的，而市场组合的价格是线性的），对于连续时间的BS并不成立（根据默顿的连续时间均衡）。
为了验证实践中是否真正存在套利机会，文章构造了一个CAPM经济中的期权定价模型，并以市场组合为标的进行期权交易，发现当执行价格处于虚值期权两个标准差时，看涨期权价格为负值，从而存在着套利机会。
假设均值方差偏好以期末T时刻总财富的均值方差函数表示，e（总禀赋）遵循几何布朗运动。
与BS公式不同的是，该期权定价模型基于任意的、离散的规划远景。
看涨期权价格（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）322212,,,,,,aeKNdbeVeNdwVKhraebKeVeNdt
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