菱形综合应用Word文档格式.docx

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要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.

类型一、菱形的性质

例1、如图，菱形ABCD的边长是2

，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______

.

变式：

将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．

例2、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°

，∠BAE＝18°

．求∠CEF的度数．

例3、已知：

如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．

（1）求证：

AM＝DM；

（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．

【变式】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．

类型二、菱形的判定

例1、如图，在▱ABCD中，点O是AC的中点，过点O画AC的垂线，分别交AD，BC于点E，F.求证：

四边形AFCE是菱形．

变式如图，AB∥CD，AF平分∠BAC，交CD于点F，CE平分∠ACD，交AB于点E，连接EF，AF交CE于点O.求证：

四边形ACFE是菱形．

例2.如图，△ABC中，∠ACB=60°

，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．

求证：

（1）四边形AMCF是菱形；

（2）△ACB≌△MCE．

例3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：

四边形BEDF是菱形.

类型三、菱形的综合应用

例1、已知，在△ABC中，AB＝AC＝

，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.

⑴求四边形AQMP的周长；

⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？

说明你的理由.

例2、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°

，∠EAF＝60°

，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．

（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．

（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．

练习题

1、已知菱形ABCD的周长为20

，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．

2.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．

3.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°

，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　）

A.108°

B.72°

C.90°

D.100°

4．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　）

A．对角线互相垂直B．对角线相等

C．对角线互相平分D．对角线互相垂直平分

5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F.求证：

四边形BEDF是菱形．

6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE延长线于点F，连接DF.求证：

四边形ODFC是菱形．

7．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（　　）

A．24B．28C．32D．36

矩形菱形的性质与判定大题专练（重难点培优）

1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

四边形AEFD是矩形；

（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．

2．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．

四边形AEBO是矩形；

（2）若CD＝3，求OE的长．

5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．

四边形AFED是矩形．

（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°

，试求OF的长．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点C．

四边形ADCE是矩形；

（2）若∠AOE＝90°

，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．

7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．

（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；

（2）若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积．

9．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF、BF．

四边形BFDE是矩形；

（2）若CF＝3，BE＝5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．

10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．

（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．

11．如图，在矩形ABCD中，BC

AB，E是线段AB上一点，满足AE＝4BE，连接DE，CE．

（1）求DE与CE的长度之比；

（2）取线段CD的中点F，连接并延长EF至G，使EG＝2EF，连接DG，CG，请判断四边形EDGC的形状，并给予证明．

15．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．

四边形ABCD是矩形．

（2）若∠BAE：

∠EAD＝2：

3，求∠EAO的度数．

16．如图：

矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1．

（1）判断△BEC的形状，并说明理由？

（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？

并证明你的判断；

（3）求四边形EFPH的面积．

17

（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°

，AB＝CD，求证：

四边形ABCD是矩形；

（2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°

四边形ABCD是平行四边形．

18．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．

（2）若AF平分∠BAD，且AE＝2，DE＝4，求矩形BFDE的面积．

19．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E

四边形ODEC是矩形；

（2）当∠ADB＝60°

，AD＝10时，求CE和AE的长．

20如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．

四边形OCED是矩形．

（2）若AB＝4，∠ABC＝60°

，求矩形OCED的面积．

21．如图，在▱ABCD中，AB＞AD，DE平分∠ADC，AF⊥BC于点F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．

（1）证明：

四边形AFHD是矩形；

（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．

22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．

（1）AE＝　　，EF＝　　

（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：

四边形EGFH是平行四边形．

（3）在

（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．

23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．

四边形ABCD是菱形；

（2）若DC＝2

，AC＝4，求OE的长．

24．已知：

分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD和等边三角形ACF，连结DE，DF．

（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？

并说明理由；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案　　．

25．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．

（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．

26．如图，△ABC中，分别以AB、AC为边在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE，四边形ADFE是平行四边形．

△ACD≌△AEB；

（2）当∠BAC的度数为　　时，平行四边形ADFE是矩形；

当∠BAC的度数为　　时，平行四边形ADFE不存在；

（3）当△ABC满足　　时，平行四边形ADFE是菱形．

27．在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，AC和BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．

（1）如图1，求证：

（2）如图2，连接OE，当AD∥BC时，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形．

28．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．

四边形ABCD为矩形；

（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．

29.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE

AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．

四边形OCED为矩形；

（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°

，求AE的长．

30.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由．