数学人教版九年级上册2222 图象法求一元二次方程的近似根 同步训练解析版文档格式.docx
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【答案】C
【解析】【解答】根据二次函数的图象和性质进行求解.
由于函数关于对称轴对称||,方程一根为1.3可知另一根-1-x2=1.3-(-1)||,∴x2=-3.3.
故答案为:
C.
【分析】根据二次函数的图象和性质||,结合对称轴x=
||,代入进行求解。
3.(2分)二次函数
的图象如图所示.当y<0时||,自变量x的取值范围是(
).
-1<x<3
x<-1
x>3
x<-1或x>3
【答案】A
【考点】二次函数与不等式(组)的综合应用
【解析】【解答】由图可知图象与x轴的交点是(-1||,0)、(3||,0)||,当y<0时||,函数图像位于x轴的下方||,此时自变量x的取值范围是:
-1<x<3.故答案为:
A
【分析】观察图像可以得出:
当y<0时||,函数图像位于x轴的下方||,就可写出此时自变量x的取值范围。
4.(2分)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象||,由图象可知不等式ax2+bx+c>
0的解集是(
).
A.
B.
C.
D.
【解析】【解答】由图象得:
对称轴是x=2||,其中一个点的坐标为(5||,0)||,
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1||,0).
利用图象可知:
ax2+bx+c>0的解集即是y>0是x的取值范围||,
∴-1<x<5.
【分析】观察函数图像||,可得出对称轴是x=2||,其中一个点的坐标为(5||,0)||,利用二次函数的对称轴可出抛物线与x轴的另一个交点坐标||,要使y>0||,就是观察x轴上方部分的图像||,可得出答案。
5.(2分)小明利用二次函数的图象估计方程x2-2x-2=0的近似解||,如表是小明探究过程中的一些计算数据.根据表中数据可知||,方程x2-2x-2=0必有一个实数根在(
)
1.5
2
2.5
3
3.5
x2-2x-2
-2.75
-2
-0.75
1
A.1.5和2之间
B.2和2.5之间
C.2.5和3之间
D.3和3.5之间
【解析】【解答】由表格得:
2.5<x<3时||,-0.75<y<1||,二次函数y=x2-2x-2与x轴必有一个交点在2.5到3之间||,所以x2-2x-2=0必有一个实数根在2.5到3之间.故答案为:
C
【分析】观察表中的x、y的对应值||,主要观察0在相对应的哪两个y的值之间||,那么就可得出近似根就在这两个y对应的x值之间。
6.(2分)根据抛物线y=x2+3x-1与x轴的交点的坐标||,可以求出下列方程中哪个方程的近似解()
A.x2+3x-1=0
B.x2+3x+1=0
C.3x2+x-1=0
D.x2-3x+1=(
【解析】【解答】要求y=x2+3x-1与x轴的交点的坐标||,令y=0||,x2+3x-1=0||,解出x写出坐标即可||,一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应||,所以根据抛物线y=x2+3x-1与x轴的交点的坐标||,可以求出x2+3x-1=0的近似解故答案为:
【分析】要求y=x2+3x-1与x轴的交点的坐标||,设y=0||,x2+3x-1=0||,求出x的值||,可得出抛物线y=x2+3x-1与x轴的交点坐标||,就可以求出x2+3x-1=0的近似解。
7.(2分)已知二次函数y=x2-2x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(-1||,0)||,则关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根是(
)
A.x1=1||,x2=2
B.x1=1||,x2=3
C.x1=-1||,x2=2
D.x1=-1||,x2=3
【答案】D
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】将(-1||,0)代入y=x2-2x+m得||,
||,
解得
则得方程为:
x2-2x-3=0||,
||,
.
所以D选项是正确的.
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式||,就可求出抛物线的解析式||,再根据y=0求出对应的自变量的值||,再根据二次函数y=x2-2x+m(m为常数)的图象与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根。
8.(2分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示||,顶点坐标为(﹣2||,﹣9a)||,下列结论:
①4a+2b+c>0||;
②5a﹣b+c=0||;
③若方程a(x+5)(x﹣1)=﹣1有两个根x1和x2||,且x1<x2||,则﹣5<x1<x2<1||;
④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根||,则这四个根的和为﹣4.其中正确的结论有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【考点】二次函数图象与系数的关系||,利用二次函数图像求一元二次方程的近似根||,二次函数y=a(x-h)^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线的开口向上||,
∴a>
0||,
∵抛物线的顶点坐标(﹣2||,﹣9a)||,
∴﹣
=﹣2||,
=﹣9a||,
∴b=4a||,c=-5a||,
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a||,
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a>0||,故①正确||,
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a<0||,故②错误||,
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于(﹣5||,0)||,(1||,0)||,
∴若方程a(x+5)(x﹣1)=﹣1有两个根x1和x2||,且x1<x2||,则﹣5<x1<x2<1||,正确||,故③正确||,
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根||,则这四个根的和为﹣8||,故④错误||,
【分析】利用抛物线的顶点坐标||,代入可得出b=4a||,c=-5a||,因此函数解析式转化为y=ax2+4ax﹣5a||,分别将b=4a||,c=-5a代入①②||,结合a>
0||,可对①②作出判断||;
再由y=0||,就可求出抛物线与x轴的两个交点坐标||,结合函数图像及x1<x2||,可对③作出判断||;
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根||,则这四个根的和为﹣8||,可对④作出判断||,综上所述||,可得出答案。
二、填空题
9.(1分)二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A(x1||,0)、B(x2||,0)||,且x1+x2-x1x2=-10||,则抛物线的顶点坐标是________.
【答案】
(-
||,-
【考点】二次函数图象与系数的关系||,利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A(x1||,0)、B(x2||,0)||,
∴x1+x2=-a||,x1x2=a||,
∴由x1+x2-x1x2=-10||,得
-a-a=-10||,
解得a=5||,
则二次函数的解析式为:
y=x2+5x+5=(x+
)2-
∴抛物线的顶点坐标是(-
【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2、x1x2||,再代入建立关于a的方程||,求出a的值||,然后将a的值代入抛物线的解析式||,就可求出其顶点坐标。
10.(1分)如图||,抛物线
与直线
的两个交点坐标分别为
||,则方程
的解是________.
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解:
∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2||,4)||,B(1||,1)||,
∴方程组
的解为
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2||,x2=1.
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2||,x2=1
故答案为x1=-2||,x2=1.
【分析】方程ax2=bx+c的解就是抛物线y=ax2与直线y=bx+c交点横坐标。
11.(1分)已知:
二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示||,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是________.
…
﹣1
y
4
(3||,0)
【考点】二次函数的性质
∵抛物线y=ax2+bx+c经过(0||,3)、(2||,3)两点||,
∴对称轴x=
=1||;
点(﹣1||,0)关于对称轴对称点为(3||,0)||,
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是(3||,0).
(3||,0).
【分析】观察表格发现抛物线y=ax2+bx+c经过(0||,3)、(2||,3)两点||,根据抛物线的对称性得出其对称轴直线||,进而得出点(﹣1||,0)关于对称轴对称点为(3||,0)。
12.(1分)若二次函数y=x2+3x-c(c为整数)的图象与x轴没有交点||,则c的最大值是________.
【答案】-3
【解析】【解答】因为抛物线y=x2+3x-c(c为整数)的图象与x轴没有交点||,
所以
因为c为整数||,
所以c的最大值是-3.
故答案为:
-3.
【分析】利用抛物线与x轴没有交点||,可得出b2-4ac<0||,求出c的取值范围||,再根据c为整数||,可求出c的最大值。
13.(1分)
的顶点坐标(-1||,-3.2)及部分图象(如图所示)||,由图象可知关于x的一元二次方程
的两个根分别是x1=1.3和x2=________.
【答案】-3.3
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标(-1||,-3.2)
∴-
=-1则-
=-2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得x2=-3.3.
【分析】利用顶点坐标公式及两根之和的公式||,可求出方程的另一个根。
或利用抛物线的对称性解答。
14.(1分)已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2||,则(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的最小值是________
【答案】8
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2||,
∴x1+x2=﹣2k||,x1•x2=k2+k+3||,
∵△=4k2﹣4(k2+k+3)=﹣4k﹣12≥0||,解得k≤﹣3||,
∴(x1﹣1)2+(x2﹣1)2
=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1
=(x1+x2)2﹣2x1x2﹣2(x1+x2)+2
=(﹣2k)2﹣2(k2+k+3)﹣2(﹣2k)+2
=2k2+2k﹣4
=2(k+
)2﹣
当k=-3时||,(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的值最小||,最小为8.
故(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的最小值是8.
8.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得||,两根之和=
=-2k||,两根之积=
=
||,再将所求代数式转化为两根之和与两根之积的形式||,代入即可得关于k的代数式||,根据非负数的性质即可求解。
15.(1分)若关于x的一元二次方程a(x+m)2-3=0的两个实数根分别为x1=-1||,x2=3||,则抛物线y=a(x+m-2)2-3与x轴的交点坐标为________.
(1||,0)||,(5||,0)
【考点】二次函数图象的几何变换||,二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】已知一元二次方程a(x+m)2-3=0的两个实数根分别为x1=-1||,x2=3||,
即抛物线y=a(x+m)2-3与x轴的交点坐标为(-1||,0)||,(3||,0)||,
∵抛物线y=a(x+m)2-3向右平移两个单位可得抛物线y=a(x+m-2)2-3||,
∴抛物线y=a(x+m-2)2-3与x轴的交点坐标为(-1+2||,0)||,(3+2||,0)||,即(1||,0)||,(5||,0).【分析】由一元二次方程a(x+m)2-3=0的两个实数根分别为x1=-1||,x2=3||,可得出抛物线y=a(x+m)2-3与x轴的两个交点坐标||,再观察两函数解析式||,可得出抛物线y=a(x+m)2-3向右平移两个单位可得抛物线y=a(x+m-2)2-3||,就可求出抛物线y=a(x+m-2)2-3与x轴的交点坐标。
三、解答题
16.(10分)已知抛物线
的对称轴是直线
(1)求证:
||;
(2)若关于x的方程
||,有一个根为4||,求方程的另一个根.
(1)解:
∵抛物线的对称轴为直线x=1||,
=1||,
∴2a+b=0||;
(2)解:
∵关于x的方程ax2+bx-8=0||,有一个根为4||,
∴抛物线与x轴的一个交点为(4||,0)||,
∵抛物线的对称轴为x=1||,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-2||,0)||,
∴方程的另一个根为x=-2.
【解析】【分析】
(1)利用抛物线的对称轴为直线x=
=1||,即可得证。
(2)由题意可知抛物线y=ax2+bx-8与x轴的一个交点坐标为(4||,0)||,对称轴为x=1||,可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标||,从而可得出方程的另一个根。
17.(15分)抛物线
与y轴交于点
.
(1)求抛物线的解析式||;
(2)求抛物线与坐标轴的交点坐标||;
(3)①当x取什么值时||,
?
当x取什么值时||,y的值随x的增大而减小?
将点(0||,3)代入抛物线y=-x2+(m-1)x+m||,
m=3||,
∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3||;
令y=0||,-x2+2x+3=0||,
解得x1=3||,x2=-1||;
x轴:
A(3||,0)、B(-1||,0)||;
y轴:
C(0||,3)
(3)解:
抛物线开口向下||,对称轴x=1||;
所以①当-1<x<3时||,y>0||;
②当x≥1时||,y的值随x的增大而减小.
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题||,二次函数y=ax^2+bx+c的性质
(1)将点(0||,3)代入函数解析式求出m的值||,就可解答。
(2)要求抛物线与坐标轴的交点坐标||,就是求当y-0时或x=0时的自变量的值和对应的函数值||,就可得出答案。
(3)①根据抛物线与x轴的交点坐标||,可得出y>0时的x的取值范围||;
②根据抛物线的对称轴及二次函数的性质可解答。
18.(10分)抛物线
经过点
、
两点.
(1)求抛物线顶点D的坐标||;
(2)抛物线与x轴的另一交点为A||,求
的面积.
由题意||,得
则y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4||,
则D(1||,4)||;
如图||,
由题意||,得-x2+2x+3=0||,
解得x1=-1||,x2=3||;
则A(-1||,0)||,
又∵B(3||,0)、C(0||,3)||,
∴S△ABC=
×
4×
3=6
【考点】待定系数法求二次函数解析式||,二次函数图像与坐标轴的交点问题
(1)利用待定系数法将点B、C的坐标分别代入函数解析式||,建立关于a、c的二元一次方程组||,解方程组||,就可求得抛物线的解析式||,再将抛物线的解析式转化为顶点式||,即可解答。
(2)先由y=0||,求出抛物线与x轴的交点A的坐标||,再根据点A、B、C的坐标||,利用三角形的面积公式求出△ABC的面积。
19.(10分)已知二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象经过A(0||,3)||,B(﹣4||,﹣
)两点.
(1)求b||,c的值.
(2)二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点||,求公共点的坐标||;
若没有||,请说明情况.
(1)解:
把A(0||,3)||,B(﹣4||,﹣
)分别代入y=﹣
x2+bx+c||,
得
(2)解:
由
(1)可得||,该抛物线解析式为:
y=﹣
x2+
x+3||,
△=(
)2﹣4×
(﹣
)×
3=
>0||,
所以二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象与x轴有公共点||,
∵﹣
x+3=0的解为:
x1=﹣2||,x2=8||,
∴公共点的坐标是(﹣2||,0)或(8||,0)
(1)将A||,B两点的坐标分别代入二次函数y=﹣
x2+bx+c||,得出关于b||,c的二元一次方程组||,求解得出b||,c的值||,从而得出抛物线的解析式||;
(2)首先算出∆的值||,然后判断出其值大于0||,||,从而判断出二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点||;
根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点就可求出两交点的坐标。
20.(20分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示||,根据图象解答下列问题.
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根||;
(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集||;
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围||;
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根||,求k的取值范围.
图中可以看出抛物线与x轴交于(1||,0)和(3||,0)||,
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3||;
不等式ax2+bx+c>
0时||,通过图中可以看出:
当1<
x<
3时||,y的值>
∴不等式ax2+bx+c>
0的解集为1<
图中可以看出对称轴为x=2||,
∴当x>
2时||,y随x的增大而减小||;
(4)解:
∵抛物线y=ax2+bx+c经过(1||,0)||,(2||,2)||,(3||,0)||,
∴
解得:
a=−2||,b=8||,c=−6||,
∴−2x2+8x−6=k||,移项得−2x2+8x−6−k=0||,
△=64−4(−2)(−6−k)>
整理得:
16−8k>
∴k<
2时||,方程ax2+bx+c=k有2个相等的实数根。
【考点】待定系数法求二次函数解析式||,利用二次函数图像求一元二次方程的近似根||,二次函数与不等式(组)的综合应用
【解析】【解答】【分析】
(1)观察函数图像||,可知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两交点坐标为(1||,0)和(3||,0)||,就可得出方程ax2+bx+c=0的两个根就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两交点的横坐标。
(2)观察函数图像||,要使ax2+bx+c>0||,即y>0||,观察x轴上方的图像||,可解答。
(3)利用二次函数的性质||,结合对称轴||,可得出答案。
(4)利用待定系数法求出抛物线的解析式||,就可得出−2x2+8x−6−k=0||,再由b2-4ac>0||,求出k的取值范围。
21.(10分)根据下列要求||,解答相关问题.
(1)请补全以下求不等式
的解集的过程:
①构造函数||,画出图象:
根据不等式特征构造二次函数y=
并在下面的坐标系中(图1)画出二次函数y=
的图象(只画出大致图象即可)||;
②求得界点||,标示所需:
当
时||,求得方程
的解为||;
并用虚线标示出函数y=
图象中
<0的部分||;
③借助图象||,写出解集:
由所标示图象||,可得不等式
<0的解集为.
(2)请你利用上面求不等式解集的过程||,求不等式
-3≥0的解集.
二次函数y=x2-2x的图象如图1所示||,
∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O(0||,0)||,A(2||,0)||,
∴方程x2-2x=0的解为x=0或2.
由图象可知x2-2x<0的解集为0<x<2.
故答案为x=0或2||,0<x<2.
函数y=x2-2x-3的图象如图2所示||,
∵A(-1||,0)||,B(3||,0)||,
∴不等式x2-2x-3≥0的解集||,由图象可知||,x≥3或x≤-1.
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根||,二次函数与不等式(组)的综合应用
(1)先利用描点法画出二次函数y=x2-2x的图像||,再求出抛物线y=x2-2x与x轴的两交点坐标