届河北省衡水中学高三上学期五调考试数学文试题解析版.docx

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届河北省衡水中学高三上学期五调考试数学文试题解析版

2019届河北省衡水中学高三上学期五调考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知，，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】求出集合B对应不等式的解集，然后求其与集合A的交集即可.

【详解】

因为,又，所以.故选A.

【点睛】

本题主要考查交集的运算，属于基础题型.

2．满足（是虚数单位）的复数（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】将原式子变形为，再由复数的除法运算得到结果.

【详解】

∵，∴，即，

故选A.

【点睛】

这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有：

z＝a＋bi（a，b∈R）与复平面上的点Z（a，b）、平面向量都可建立一一对应的关系（其中O是坐标原点）；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．

3．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】分析：

利用等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2

详解：

：

∵等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，

∴（a1+4）2=a1（a1+6），

∴a1=-8，

∴a2=-6．

故选D.

点睛：

本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．

4．某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：

公里）的数据，绘制了下面的折线图.

根据折线图，下列结论正确的是（）

A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

B．月跑步平均里程逐月增加

C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月

D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】D

【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；

月跑步平均里程不是逐月增加的；

月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.

本题选择D选项.

5．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.

【详解】

由题意，可知角中终边上一点的坐标为且，则，

所以，

又由，故选C.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义，求得的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】作OA⊥于点A，于点B，可得，，，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.

【详解】

如图，作OA⊥于点A，于点B，

∵与圆相切，

∴，，

又点M在双曲线上，

∴

整理，得，

∴

∴双曲线的渐近线方程为

故选：

A

【点睛】

本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.

7．某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.

【详解】

如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，

故选C.

【点睛】

本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.

8．如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为（　　）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．

【详解】

设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．

平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，

在△A2BM中，

．

故选：

A．

【点睛】

本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．

9．在等腰直角三角形中，，点为所在平面上一动点，且满足,求的取值范围

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P的坐标，从而求出的取值范围．

【详解】

根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示

则A（0，2），B（2，0），C（0，0），

由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，

设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；

则=（cosθ，sinθ），

又+=（2，2）；

∴•（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），

当θ+=，即θ=时，•（+）取得最大值2，

当θ+=，即θ=时，•（+）取得最小值﹣2，

∴•（+）的取值范围是[﹣2，2]．

故选：

D．

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：

①载体作用：

关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：

利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

10．如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.

【详解】

设BC的中点是E，连接DE，A′E，

因为AB＝AD＝1，BD＝

由勾股定理得：

BA⊥AD

又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形

所以DE为球体的半径

故选A

【点睛】

求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R的方程.

11．已知抛物线：

的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是为圆的直径，所以．设直线，将其代入抛物线方程消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据弦长公式可得，于是得到．

【详解】

由题设可得圆的方程为，

故圆心为，为抛物线的焦点，

所以

所以．

设直线,代入得，

设直线l与抛物线C的交点坐标为，

则，

则，

所以，解得．

故选C．

【点睛】

（1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力．

（2）弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为，其中表示直线的斜率，是直线和椭圆的方程组消去化简后中的系数，是的判别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为．

12．已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】将函数恰有2个零点转化为两函数与有两不同交点，作出函数图像即可求出结果.

【详解】

由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，

易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.

【点睛】

本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.

二、填空题

13．某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出____________________人．

【答案】25

【解析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出段的频率，结合样本容量即可求出结果.

【详解】

由题意，月收入在（元）段的频率为，

所以月收入在（元）段应抽出的人数是.

【点睛】

本题主要考查分层抽样，属于基础题型.

14．中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于__________．

【答案】

【解析】先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.

【详解】

化解得：

即：

A=B

又

解得：

a=b=

【点睛】

本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.

15．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】∵函数的定义域为，

恒成立,即等价于，

令，则，

令，则在上恒成立，

∴在上单调递增，

故当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，则，

故，故答案为.

点睛：

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数的最小值.

16．如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_____.

①存在点，使得//平面；

②对于任意的点，平面平面；

③存在点，使得平面；

④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．

【答案】②④

【解析】①为棱上的中点时，此时也为棱上的中点，此时；满足//平面，∴①正确．

②平面，∴不可能存在点，使得，∴②错误．

③连结则平面，而平面，∴平面平面，成立，∴③正确．

④四棱锥B1-BED1F的体积等于设正方体的棱长为1，

∵无论在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变．三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变．

∴三棱锥和三棱锥体积为定值，

即四棱锥的体积等于为定值，∴④正确．

故答案为：

①③④

三、解答题

17．已知函数的最小正周期为．

求的值；

中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．

【答案】

（1）

（2）3

【解析】

（1）化简，根据函数的最小正周期即可求出的值

2）由

（1）知，.由，求得，再根据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.

【详解】

（1）

故函数的最小正周期，解得.

（2）由

（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面积，解得.由余弦定理可得，所以.

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．

18．（题文）（题文）等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．

（1）求数列，的通项公式；

（2）记,求数列的前项和．

【答案】

（1），；

（2）

【解析】

（1）由已知条件得a3=5，a5=9，由此求出an=a5+（n-5）d=2n-1；由，推导出{bn}是等比数列，，，由此求出．

（2）由

（1）知，由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn

【详解】

（1）∵是方程的两根，且数列的公差，

∴，公差

∴

又当时，有1－

当

∴数列是等比数列，

∴

（2）由

（1）知

∴Tn＝，①

，②

①-②，得

即

【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真