江苏省连云港市届高三上学期期中考试数学试题解析版.docx

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江苏省连云港市届高三上学期期中考试数学试题解析版

2018-2019学年高三期中质量调研试卷（连云港市）

数学2018.11.22

⼀.填空题：

每题5分，共70分．

1.已知集合A={1,3},B={1,2,m}，若AB，则实数m＝　　　　　　．

考点：

集合的运算。

答案：

3

解析：

因为{1,3}{1,2,m}，所以，m=3

2.求log21+log42=＝　　　　

考点：

对数运算，换底公式。

答案：

解析：

原式＝0+＝

3.若tanα=，且角α的终边经过点P（x，1），则x＝　　　　

考点：

三角函数的定义。

答案：

2

解析：

tanα=，所以，x＝2

4.命题：

“x>1，x2-2>0”是　　　　命题．（填“真”、“假’”）

考点：

常用逻辑用语。

答案：

真

解析：

取x＝2，可以判断x2-2>0成立，所以是真命题。

5.已知函数f（x）=是奇函数，则f（x）<0的解集为　　　　

考点：

函数的奇偶性，一元二次不等式。

答案：

｛x｜x＞1或－1＜x＜0｝

解析：

函数f（x）是奇函数，所以，f（－x）=＝－，

化为：

，即＝0，所以，，

f（x）=＜0，即＞0

或，

解得：

x＞1或－1＜x＜0

6.已知向量=（1，2），=（m－1，m），若=2，则向量与夹角的余弦值为＝　　　

考点：

平面向量的数量积。

答案：

解析：

因为=2，

所以，（1，2）（m－1，m）＝2，即（m－1）+2m＝2，解得：

m＝1

所以，=（m－1，m）＝（0,1），

＝｜｜＝×1×cosθ＝2，所以，cosθ＝

7.已知直线y=kx-2与曲线y=xlnx相切，则实数k的值为　　　　

考点：

函数的导数及其应用。

答案：

1+ln2

解析：

，设切点为（a，b），则

，即，即，解得：

，

所以，

8.已知实数xy满足，则当2x－y取得最小值时，x2+y2的值为　　　　

考点：

线性规划。

答案：

5

解析：

不等式组所表示的平面区域如图所示，

当z＝2x－y过点B（1,2）时，取得最小值，此时x2+y2的值为5。

9.已知双曲线x2-y2=1的一条渐近线被圆C：

（x-2）2+y2=r2（r>0）截得的线段长为2，则圆C的半径r＝　　　　

考点：

双曲线方程及其性质，直线与圆的方程。

答案：

2

解析：

双曲线x2-y2=1的渐近线为，圆心（2,0），半径：

r

圆心到渐近线的距离为：

d＝，弦长为：

2

＝2

10.若函数f（x）=3sin（x+）与g（x）=8tanx的图象在区间（0，）上交点的横坐标为x0，则cos2x0的值为　　　

考点：

三角恒等变换，诱导公式。

答案：

解析：

f（x）=3sin（x+）＝3，联立方程组：

，即

，化为：

，解得：

，

即，所以，。

11.已知为正常数，，若使，则实数的取值范围是_______.

考点：

二次函数和指数函数的图象，分段函数图象的画法。

答案：

（2，＋∞）

解析：

为正常数，

当x≥0时，过定点（0,3），单调递增，对称轴为：

＜0，

当x＜0时，，单调递增，，画出2个函数图象如下图，

因为使，

所以，＞3，即＞2

12.在三角形中，是的角平分线，则=____.

考点：

平面向量的三角形法则、数量积。

答案：

解析：

如图所示，∵是的角平分线，∵，

∴＝＝＝，

∴＝（）＝＝＝

13.椭圆的两个顶点过A,B分别作与垂直的直线交椭圆与，若，则椭圆的离心率________.

考点：

椭圆方程及其性质，平面向量，数学计算能力。

答案：

解析：

如下图，设D（，），C（，），

∵AB⊥AD，AB⊥BC，　∴AD∥BC，

又∵BC＝3AD，　　　∴，即，

∴，即

∵C，D在椭圆上，∴，即，

即：

，

即：

，化简，得：

，

又，所以，，直线AD为：

，

点D在直线AD上，所以，，所以，，即，

14.在三角形中，，则当角最大时，三角形的

面积为________.

考点：

三角函数，三角恒等变换，三角形的面积计算。

答案：

解析：

y=tanx在（0，）上是增函数，所以，角B最大时，也就最大，最大，

即f（A）＝最大，

看成是（cosA，sinA）是点（4，0）之间连线的斜率的相反数，

动点（cosA，sinA）的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，

当过点（4，0）的直线与圆相切时，k＝，

所以，的最大值为，所以，

解得：

，

tanB＝，解得：

。

sinC＝sin（A＋B）＝，

因为B最大，且sinA=sinC，

所以，A=C，即a=c

又AB+BC＝4，即：

a＋c＝4，所以，a=c＝2

S＝＝

⼆.解答题：

共90分

15.（本小题14分）

已知向量=（1，2sinθ），=（sin（θ+），1），θR。

（1）若⊥，求tanθ的值；

（2）若∥，且θ（0，），求θ的值

考点：

平面向量的数量积，平行向量的性质，三角恒等变换。

解析：

（1）依题意，得：

•＝0，即

sin（θ+）+2sinθ＝0，展开，得：

sinθcos＋cosθsin+2sinθ＝0，

化简，得：

sinθ＋cosθ＝0，解得：

tanθ＝－

（2）因为∥，所以，2sinθsin（θ+）＝1，展开得：

2sinθ（sinθcos＋cosθsin）＝1，

即：

2sin2θ＋2sinθcosθ＝2，

即：

1－cos2θ＋sin2θ＝2，

化为：

sin（2θ－）＝，因为θ（0，），所以，2θ－（），

所以，2θ－＝，解得：

θ＝

16.（本小题14分）

设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）－x的两个零点为m，n（m

（1）若m=－1，n=2，求不等式F（x）>0的解集；

（2）若a>0，且0

考点：

函数的零点，一元二次不等式。

解析：

（1）F（x）=f（x）－x＝ax2+bx+c－x＝ax2+（b－1）x+c，

函数F（x）有两个零点为－1,2，所以，

，解得：

，

所以，F（x）＝ax2－x－2＝（＞0，

（1）当＞0时，F（x）＝（＞0的解为：

x＞2或x＜－1，

（2）当＜0时，F（x）＝（＞0的解为：

－1＜x＜2，

综上所述：

当＞0时，F（x）＞0的解集为：

当＜0时，F（x）＞0的解集为：

（－1,2）

（2）函数F（x）＝ax2+（b－1）x+c有两个零点为m，n（m

所以，

，解得：

，

所以，F（x）＝ax2－x＋＝（

f（x）－m＝F（x）+x－m＝（+x－m＝（，

因为a>0，且0

所以，，＝＞0

所以，f（x）－m＜0，即f（x）＜m

17.（本小题14分）

已知椭圆C：

的离心率为，以短轴为直径的圆被直线x+y－1=0截得的弦长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，D为椭圆右准线l与x轴的交点，E为l上的另一个点，直线EB与椭圆交于另一点F，是否存在点E，使R）?

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由

考点：

椭圆的标准方程及其性质。

解析：

圆心为（0,0），半径为R,，依题意，得：

b＝R，

圆心到直线x+y－1=0的距离为：

，又弦长为，

所以，R2＝＝3，所以，b＝R＝

离心率e＝＝，即，又，解得：

，

椭圆C的方程为：

（2）依题意，有A（－2,0），B（2,0），c＝1，

椭圆的右准线方程为：

，所以，D（4,0）

设l上的另一个点E（4，t），则

直线BE方程为：

，与椭圆C联立方程：

消去y可得：

点B（2,0），F（x，y）是直线与椭圆的2个交点，所以，由韦达定理，得：

2，

所以，，代入BE方程，解得：

，

所以，F（，），从而，，，），

因为R），即共线，所以，有

＝，解得：

，所以，E（4，

18.（本小题16分）

规定：

在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：

（1）如图1，设母球A的位置为（0，0），目标球B的位置为（4，0），要使目标球B向C（8，-4）处运动，求母球A球心运动的直线方程；

（2）如图2，若母球A的位置为（0，-2），目标球B的位置为（4，0），能否让母球A击打目标B球后，使目标B球向（8，－4）处运动?

（3）若A的位置为（0，a）时，使得母球A击打目标球B时，目标球B（4，0）运动方向可以碰到目标球C（7，-5），求a的最小值（只需要写出结果即可）

考点：

直线方程，圆的标准方程，平面向量。

解析：

（1）点B（4,0）与点C（8，－4）所石室的直线方程为：

x＋y－4＝0，

依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x＋y－4＝0上，且在第一象限，

此时｜AB｜＝2，设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为（a，b），

则有：

，解得：

，，

即：

A，B两球碰撞时球A的球心坐标为（，），

所以，母球A运动的直线方程为：

（2）因为＝（，2+），＝（，），

而•＝（，2+）（，）＝4－2＞0，

所以，∠是锐角，

所以，点B（4,0）到线段的距离小于2，即球A的球心还到直线BC上时，就会也B球碰撞，故目标B球不可能向（8，－4）处运动。

19.对于函数与，若存在实数满足，且，则称为的一个点.

（1）证明：

函数与不存在的点；

（2）若函数与存在的点，求的范围；

（3）已知函数，证明：

存在正实数，对于区间内任意一个皆是函数的点.

考点：

函数的导数及其应用，分类讨论的思想。

解析：

（1）证明：

因为恒成立，

所以，不存在实数满足，

故不存在的点

（2）构造函数F（x）＝＝，

函数F（x）的定义域为（0，＋∞），

＝0，得：

x＝1，

x

（0，1）

1

（1，＋∞）

－

0

＋

F（x）

↘

↗

x＝1是F（x）的唯一极小值点，也是最小值点，

所以，F（x）min＝F

（1）＝0，即F（x）≥0恒成立，

所以，在定义域（0，＋∞）内，x0－1≥lnx0恒成立，

当x0≥1时，｜x0－1｜＝x0－1，｜lnx0｜＝lnx0，

因为x0－1≥lnx0恒成立，所以，｜x0－1｜≥｜lnx0｜恒成立，为的一个点.

当0＜x0＜1时，｜x0－1｜＝－（x0－1），｜lnx0｜＝－lnx0，

由x0－1≥lnx0，得：

－（x0－1）≤－lnx0，即｜x0－1｜≤｜lnx0｜，此时不是的一个点.

所以，的取值范围为［1，＋∞）.

20.已知函数（其中）

（1）求的单调减区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围；

（3）设只有两个零点（），求的值.

考点：

函数的导数及其应用。

解析：

（1）的定义域为｛x｜x≠0｝，

＝＜0，解得：

x＜1，

所以，的单调减区