江苏省扬州市届高三考前调研测试数学试题含答案.docx

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江苏省扬州市届高三考前调研测试数学试题含答案

江苏省扬州市2017届高三考前调研测试数学试题含答案

扬州市2017届高三考前调研测试

2017.05

试题Ⅰ

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）

1．已知，则▲．

2．若复数满足，则复数在复平面上对应的点在第▲象限.

3．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为，，，，若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为▲.

第3题

4．在区间内任取一个实数,则满足的概率为▲.

5．如图是一个算法流程图，则输出的值为▲．

6．函数的定义域为▲.

7．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的焦距为

▲.

8．已知，则▲.

9．已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于的扇形，则这个圆锥的体积是▲

10．已知圆为常数）与直线相交于两点，若，则实数▲.

11、设等差数列的前项和为，若，，则的最小值为▲．

12．若动直线与函数，的图象分别交于两点，则线段长度的最大值为▲.

13．在中，、分别是、的中点，是直线上的动点.若的面积为2，则的最小值为▲.

14．已知函数有两个不相等的零点，则的最大值为▲.

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，.

⑴求的值；

⑵若，求的面积.

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB=2CD，AC交BD于O，锐角PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ=2QC.

求证：

⑴PA∥平面QBD；

⑵BDAD.

17．（本小题满分14分）

如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线和曲线分别是顶点在路面、的抛物线的一部分，曲线是圆弧，已知它们在接点、处的切线相同，若桥的最高点到水平面的距离米，圆弧的弓高米，圆弧所对的弦长米.

（1）求弧所在圆的半径；

（2）求桥底的长.

18．（本小题满分16分）

如图，已知椭圆的左顶点，且点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点。

过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若为等腰三角形，求点的坐标；

（3）若，求的值.

19．（本小题满分16分）

已知函数，其中为参数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

20．（本小题满分16分）

已知各项不为零的数列的前项和为，且，，．

（1）若成等比数列，求实数的值；

（2）若成等差数列，

①求数列的通项公式；

②在与间插入个正数，共同组成公比为的等比数列，若不等式

对任意的恒成立，求实数的最大值．

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数学Ⅱ（附加题共40分）

21.[选修4-2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵，设曲线C：

在矩阵对应的变换下得到曲线C′，求C′的方程.

22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，直线和圆C的极坐标方程为（）和.若直线与圆C有且只有一个公共点，求a的值.

23.（本小题满分10分）

某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.

⑴若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；

⑵若从A、B两组中各任选2人，设为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求的分布列和数学期望.

24.（本小题满分10分）

在数列中，（）

⑴试将表示为的函数关系式；

⑵若数列满足（），猜想与的大小关系，并证明你的结论.

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数学试题Ⅰ参考答案2017．5

一、填空题

1．2．一3．9004．5．120

6．7．108．9．10．

11．12．13．14．

15.【解析】⑴由得，

又，所以，………………3分

因为，且为钝角，所以，………………6分

所以.………………8分

⑵由正弦定理得，所以，………11分

所以的面积.………………14分

16.【解析】⑴如图，连接OQ，

因为AB∥CD，AB=2CD，

所以AO=2OC，又PQ=2QC，

所以PA∥OQ，…………………3分

又OQ平面QBD，PA平面QBD，

所以PA∥平面QBD.…………………6分

⑵在平面PAD内过作于H，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，

PH平面PAD，所以PH平面ABCD，…………………9分

又BD平面ABCD，所以PHBD，又PA⊥BD，

且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD平面PAD，…………………12分

又AD平面PAD，所以BDAD.…………………14分

17.解：

（1）设弧所在圆的半径为,由题意得,

即弧所在圆的半径为13米。

…………………4分

（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图的平面直角坐标系。

米，米，弓高米，

，，，设所在圆的方程为

则

弧的方程为…………………6分

设曲线所在抛物线的方程为：

，…………………8分

点在曲线上…………………10分

又弧与曲线段在接点处的切线相同,且弧在点B处的切线的斜率为，

由得，，

…………………12分

由得，，

桥底的长为58米…………………13分

答：

（1）弧所在圆的半径为13米；

（2）桥底的长58米。

（答和单位各1分）…………………14分

18.解：

（1）由题意得，解得

椭圆的标准方程：

…………………4分

（2）为等腰三角形，且点在轴下方

1°若，则；

2°若，则，；

3°若，则，

直线的方程，由得或

（不讨论扣2分）…………………9分

（3）设直线的方程，

由得

…………………11分

若则，，与不垂直；

，，，

直线的方程，直线的方程：

由解得…………………13分

又点在椭圆上得，即，即

，…………………16分

19.解析：

（1）…………………3分

（2），定义域为

，设，

1当时，，故，

所以在上为增函数，所以无极值点.…………………4分

②当时，，

若时，，故，故在上递增，所以无极值点.

若时，设的两个不相等的实数根为，且，

且，而，则，

所以当单调递增；

当单调递减；

当单调递增.

所以此时函数有两个极值点；…………………7分

③当时，设的两个不相等的实数根为，且，

但，所以，

所以当单调递増；

当单调递减.

所以此时函数只有一个极值点。

综上得：

当时有一个极值点；

当时的无极值点；

当时，的有两个极值点.…………………9分

（3）方法一：

当时，由

（2）知在上递增，

所以，符合题意；…………………10分

当时，，在上递增，所以，

符合题意；…………………12分

当时，，所以函数在上递减，所以，

不符合题意；…………………14分

当时，由

（1）知，于是

当时，，此时，不符合题意.

综上所述，的取值范围是.…………………16分

方法二：

，注意到对称轴为，，

当时，可得，故在上递增，所以，符合题意；

当时，，所以函数在上递减，此时，

不符合题意；

当时，由

（1）知，于是

当时，，此时，不符合题意.

综上所述，的取值范围是.…………………16分

20.解：

（1）当时，，，当时，，，

由得，即，解得：

。

…………………3分

（2）由得，故，，所以，

当时，，

因为，所以…………………6分

故数列的所有奇数项组成以为首项为公差的等差数列，

其通项公式，…………………7分

同理，数列的所有偶数项组成以为首项为公差的等差数列，

其通项公式是…………………8分

所以数列的通项公式是…………………9分

（3），在与间插入个正数，组成公比为的等比数列，故有，

即，…………………10分

所以，即，两边取对数得，

分离参数得恒成立…………………11分

令，，则，，…………………12分

令，，则，

下证，，

令，则，所以，

即，用替代可得，，…………………14分

所以，所以在上递减，

所以…………………16分

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数学Ⅱ（附加题）参考答案

21.【解析】设为曲线C上任意一点，点在矩阵对应的变换下得到点，则：

，即，解得，………………5分

（注：

用逆矩阵的方式求解同样给分）

又，∴，即，

∴曲线C′的方程为.………………10分

22.【解析】将直线的极坐标方程化为直角坐标方程得；………………2分

将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程得.………………4分

因为直线与圆有且只有一个公共点，所以，即………………8分

解得或.………………10分

23.【解析】⑴设“选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件，

则，

答：

选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为.………………3分

⑵可能的取值为，

，，

，故.

所以的分布列为：

X

0

1

2

3

………………8分

所以的数学期望.………………10分

24.【解析】

（1）=

又，，………………3分

⑵当n=1时，，，

当n=2时，，，

当n=3时，，，………………4分

猜想：

当时，，………………5分

下面用数学归纳法证明：

证：

①当n=3时，由上知，，结论成立。

②假设n=k，时,成立，即

则当n=k+1，，

要证，即证明

即证明

即证明

即证明，显然成立。

∴时，结论也成立.

综合①②可知：

当时，成立。

综上可得：

当n=1时，；当n=2时，

当，时，………………10分