高考数学复习阶段性测试题八 立体几何初步.docx
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高考数学复习阶段性测试题八立体几何初步
阶段性测试题八（立体几何初步）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2012·南宁模拟）在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，所以“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．
2．（文）（2012·太原一模）已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若mα，nα，l1β，l2β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是
（ ）
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2
[答案] D
[解析] 对选项A，B，C都有α与β相交的情况只有选项D是两平面平行的判定，故选D.
（理）（2012·锦州一模）如图，空间四边形OABC中，
＝a，
＝b，
＝c.点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则
＝（ ）
A.
a－
b＋
c
B．－
a＋
b＋
c
C.
a＋
b－
c
D．－
a＋
b－
c
[答案] B
[解析] 由向量加法法则可知
＝
＋
＝－
＋
（
＋
）
＝－
a＋
（b＋c）
＝－
a＋
b＋
c.
3．（2012·洛阳调研）三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有（ ）
①这三条直线必共点；②其中必有两条是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内．
A．4个B．3个
C．2个D．1个
[答案] D
[解析] 三条直线两两垂直时，它们可能共点（如正方体同一个顶点上的三条棱），也可能不共点（如正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1，AB，BC），故结论①不正确，也说明必有结论②不正确；如果三条直线在同一个平面内，根据平面几何中的垂直同一条直线的两条直线平行，就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论，故三条直线不可能在同一个平面内，结论③正确；三条直线两两垂直，这三条直线可能任何两条都不相交，即任意两条都异面（如正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1，BC和C1D1），故结论④不正确．
4．（2012·厦门一模）设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当bα，且c⃘α时，若c∥α，则b∥c
C．当bα，且c是a在α内的射影时，若b⊥a，则c⊥b
D．当bα时，若b⊥β，则α⊥β
[答案] D
[解析] D的逆命题是bα，α⊥β，则b⊥β，显然不成立．
5．（2012·南昌一模）圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为（ ）
A.
cm3B.
cm3
C.
cm3或
cm3D．192πcm3
[答案] C
[解析] 分两种情况
（1）12为底面圆周长，则2πr＝12，∴r＝
，
∴V＝π·
2·8＝
（cm3）．
（2）8为底面圆周长，则2πr＝8，∴r＝
，
∴V＝π·
2·12＝
（cm3）．故选C.
6．（文）（2011·江西文）
将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）
[答案] D
[解析] 如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.
（理）（2011·安徽理）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．48B．32＋8
C．48＋8
D．80
[答案] C
[解析] 由三视图知该几何体的直观图如下图所示．
该几何体的下底面是边长为4的正方形．
上底面是长为4，宽为2的矩形，两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形宽为4，长为
＝
.
∴S表＝42＋2×4＋
×（2＋4）×4×2＋4×
×2
＝48＋8
.
7．（文）（2012·烟台市模拟）设b、c表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中是真命题的为（ ）
A.
⇒b∥cB.
⇒c∥α
C.
⇒α⊥βD.
⇒c⊥β
[答案] C
[解析] 结合线面位置关系选C.
（理）（2012·焦作一模）已知直线AB，CD是异面直线，AC⊥AB，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．75°
[答案] C
[解析] 设AB与CD所成的角为θ，
则cosθ＝|cos〈
，
〉|＝
，
由于
·
＝（
＋
＋
）·
＝
·
＋
2＋
·
＝0＋12＋0＝1，
∴cosθ＝|
|＝|
|＝
.
由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°.
故异面直线AB与CD所成角的大小为60°.
8．如下图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
A．4
B．4
C．2
D．2
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥，根据三视图所提供的数据可得几何体的体积为
V＝
（
×2
×2）
·
＝2
.
[点评] 本题考查空间几何体的结构、三视图、几何体的体积计算、空间想象能力及运算求解能力，属中档题．
9．（文）（2011·大纲全国卷文）已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝（ ）
A．2B.
C.
D．1
[答案] C
[解析]
本题考查了异面直线的距离的求法，正确画出图形，熟练掌握线面垂直的判定和性质，把问题转化到直角三角形中，利用勾股定理求解．
连接AD，设CD＝x，
∴AD2＝AC2＋CD2＝1＋x2.
由题意：
△ABD为Rt△，∠BDA＝90°，
∴AB2＝AD2＋BD2，
4＝1＋x2＋1
∴x＝
，即CD＝
.
（理）（2011·大纲全国卷理）已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于（ ）
A.
B.
C.
D．1
[答案] C
[解析] 解法1：
如图，在直二面角α－l－β中，AC⊥l，
∴AC⊥β，∴平面ABC⊥平面BCD.过D作DH⊥BC，垂足为H，则DH⊥平面ABC，即DH为D到平面ABC的距离．
∵AC⊥β，BCβ，∴AC⊥BC.
在Rt△ABC中，∵AC＝1，AB＝2，∠ACB＝90°，
∴BC＝
＝
＝
.
在Rt△BCD中，BC＝
，BD＝1，
∴CD＝
＝
＝
.
由
BD·CD＝
BC·DH得
×1×
＝
×
·DH，
∴DH＝
.
解法2：
如下图，连接AD，AB＝2，AC＝1，
同解法1可得BC＝
，CD＝
.
∴SRt△ACB＝
AC·BC＝
×1×
＝
.
SRt△BCD＝
CD·BD＝
×
×1＝
.
设D到平面ABC的距离为h，则
由V三棱锥D－ABC＝V三棱锥A－BCD得
S△ABC·h＝
S△BCD·AC，
即
×
h＝
×
×1，
∴h＝
.
[点评] 本题主要考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直的有关定理和点到平面的距离以及空间想象能力和数据处理的能力．
10．（文）（2012·西安一模）已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 本题考查异面直线所成角的定义，以及空间想象能力、基本运算能力．
如图所示，连接A1B，
∵ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，
∴A1B∥D1C，
∴∠A1BE为异面直线BE与CD1所成的角．
∵AA1＝2AB，
∴设AB＝a，则AA1＝2a，
又∵E为AA1的中点，∴A1E＝a，BE＝
a，A1B＝
a，
在△A1BE中，由余弦定理，得
cos∠A1BE＝
＝
＝
.
（理）（2012·咸阳调研）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 以B为原点，直线BC、BA、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D（2,2,0），B1（0,0,1），C1（2,0,1）．
设平面BB1D1D的一个法向量n＝（x，y，z），则
，∴
，取n＝（1，－1,0），
直线BC1的方向向量
＝（2,0,1），
∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，满足sinθ＝
＝
.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上）
11．长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，AB＝AA1＝1，
BC＝
，则A，B两点间的球面距离为________．
[答案]
[解析] 本题考查了组合体及球面距离的定义，需要有较强的空间想象能力，首先确定球心及球半径，球心即长方体的中心，即体对角线交点，连接AC1，BD1交于O点，进一步求出半径为1，∠AOB＝
，∴球面距离＝
R＝
·1＝
.
12．（2010·辽宁卷）如下图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
[答案] 2
[解析] 由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分（四棱锥C1－ABCD），
还原在正方体中，如图所示：
多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，由正方体棱长为AB＝2知最长棱长为2
.
13．（2011·天津理）一个几何体的三视图如图所示（单位：
m），则该几何体的体积为________m3.
[答案] π＋6
[解析] 本题主要考查几何体的三视图的还原图形．根据三视图知还原后的图形为一个长方体上面放一个圆锥．因而V＝V长方体＋V圆锥，又知长方体长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，从而求出体积为π＋6.
14．（文）（2012·安徽宣城一模）a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；
⑤若a，b与c成等角，则a∥b.
上述命题中正确的是________（只填序号）
[答案] ①
[解析] 由基本性质4知①正确；
当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；
当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；
aα，bβ，并不能说明a与b不同在任何一个平面内，故④不正确；
当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面故⑤不正确．
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