北师大版八年级上册13勾股定理的应用学案设计无答案Word下载.docx
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1．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
2．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
3.常见立体图形的平面展开图。
圆柱侧面展开图为长方形
【典例讲解】
类型一、圆柱中的最短路径问题：
圆柱侧面展开图为长方形，最短路径及长方形的对角线。
例1.为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其截面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸。
练习1.如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁
从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（ ）
A．6cmB．12cmC．13cmD．16cm
例2.如图，长方体的长EF为15cm，宽AE为10cm，高AD为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距高是多少?
练习2.如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处
（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎
爬到蚊子处最短距离为（ ）m．
A．4.8B．
C．5D．
【当堂检测】
1．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（ ）
A．12厘米B．15厘米C．12或15厘米D．12或（7+
）厘米
2．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的．
3.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm’，则斜边长为（）
A.80mB.30mC.90mD.120m
4.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12.上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤13
5.轮船在大海中航行，它从点A出发，向正北方向航行20km.遇到冰山后折向正东方向航行15km，则此时轮船与点A的距离为km.
6.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为55dm,10dm和6dm.A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的蜜糖，则蚂蚁从点A出发，沿若台阶面爬到点B，最短路线dm。
7．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）
（第4题）（第6题）（第7题）
【当堂总结】
1.在实际问题中，经常需要构造直角三角形利用勾股定理来解决。
2.最短距离问题通常需要把立体图形展开平面图形，利用“两点之间，线段最短”来解决。
【家庭作业】
1．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（ ）
A．161B．289C．225D．161或289
2．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（ ）
A．12B．13C．16D．18
3．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm．
4．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×
3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 秒钟．
（第3题）（第4题）（第5题）
5．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
6．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
（第6题）（第7题）（第8题）
7．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×
6×
10（单位：
cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为 cm．
（精确到个位，参考数据：
≈1.4，
≈1.7，
≈2.2）．
8.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是 ．
9.如图，圆柱形玻璃杯高为24cm、底面周长为36cm，在杯内离杯底8cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿8cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
10．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°
，CD＝6m，AD＝8m，BC＝24cm，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
18．我市鸭绿江边的景观区内有一块四边形空地，如图所示，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经技术人员测量∠ABC＝90°
，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．
（1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线AC的长度；
（2）请用你学过的知识帮助管理员计算出这块空地的面积．
19．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？
（即问：
CH与AB是否垂直？
）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
20．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米．
（1）求BC间的距离；
（2）这辆小汽车超速了吗？
请说明理由．
21．如图，一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角．工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．
（1）这个零件符合要求吗？
（2）求这个四边形的面积．
22．铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）．已知DA＝20km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离．
23．如图，是一块四边形草坪，∠B＝90°
，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求草坪面积．
24．如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这颗树有多高（设树与地面垂直）？
25．为了响应政府提出的“绿色长垣，文明长垣”的号召，某小区决定开始绿化，要在一块四边形ABCD空地上种植草皮．如图，经测量∠B＝90°
，AB＝6米，BC＝8米，CD＝24米，AD＝26米，若每平方米草皮需要300元，问需要投入多少元？
26.如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选
方案1：
水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）
方案2：
作A点关于直线CD的对称点A'
，连接A'
B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？
△ABQ为等腰三角形？
27．如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处．
（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A﹣P﹣B路线爬行，距离最短．
（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长．
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