解直角三角形专题复习教案.docx

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专题复习

解直角三角形

回车一中教研组长牛晓丽

一、复习目标

1. 掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。

2. 熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。

 3. 能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。

4. 会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。

二、复习重点：

 先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题。

三、复习难点：

把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。

四、中招分析:

分析河南近几年中招试题,对于解直角三角形的实际应用,除了2010年外,这几年在解答题中都有考查,并且难度适中,基本上都是把实际问题转化为解直角三角形的问题,在进行求解,考查背景灵活多样,特别是2011、2012、2014年都考查了俯、仰角的问题,并且结果取整数,解决此类问题,要学会把实际问题抽象成数学问题进行处理,熟练掌握三角函数的表示方法也是解题的关键,预测2016年,解直角三角形的实际应用仍是中考解答题考查的重点.

五、复习过程

（一）知识回顾

考点一解直角三角形

1.解直角三角形的定义

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角）．

2．直角三角形的边角关系

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.

（1）三边之间的关系：

a2＋b2＝c2；

（2）两个锐角之间的关系：

∠A＋∠B＝90°；

3．解直角三角形的类型

已知条件

解　法

两直角边

（如a，b）

由tanA＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝

斜边、一直

角边（如c，a）

由sinA＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝

一锐角与邻

边（如∠A，b）

∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；

c＝

一锐角与对

边（如∠A，a）

∠B＝90°－∠A；b＝；

c＝

斜边与一锐

角（如c，∠A）

∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；

b＝c·cosA

温馨提示：

解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘勿除，取原避中”.

考点二解直角三角形的应用

1．仰角、俯角

如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

2．坡度（坡比）、坡角

如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫做坡度（或坡比），即i＝tanα＝，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

3．方向角

一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）多少度．如图③，A点位于O点的北偏东60°方向．

注意：

东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．

（二）典型例题

例1.在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝（　　）

A．3sin40°B．3sin50°

C．3tan40°D．3tan50°

例2.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为________．

例3.如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=500，则此时就将坝底向外拓宽多少米？

（结果保留到0.01米，参考数据：

sin620≈0.88,cos620≈0.47,tan500≈1.20）

（三）.拓展运用

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为（　A　）

A．4　　　B．2

C.　　　D.

2．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点间的距离是（　　）

A．200米B．200米

C．220米D．100（＋1）米

3．某人想沿着梯子爬上高4m的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　）

A．8mB．8m　　

C.m　　D.m

4．如图，两个建筑物AB和CD的水平距离为30m，张明同学住在建筑物AB内10楼P室，

5．我国为了维护对钓鱼岛P（如图）的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），

666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC＝5km.轮船到达钓鱼岛P时，测得D处飞机的仰角为30°.试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．

（五）通过本节课的复习你有什么收获呢？

（六）考点热练

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝3，那么AB的长为（　　）

A．3sinα　B．3cosα　C.　D.

2．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比1∶（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（　　）

A．9m　B．6m　

C．6m　D．3m

3．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，cosA＝，tanA＝，则BC的长为（　　）

A．6　　B．7.5　

C．8　　D．12.5

4．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是（　　）

A．csinA＝aB．bcosB＝c

C．atanA＝bD．ctanB＝b

5．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为（　　）

A．1　　　B.　　　C．3　D.

6．（2014·随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100米，则B点到河岸AD的距离为（　　）

A．100米B．50米

C.米D．50米

7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（　）

A．2B．2

C.＋1D.＋1

8．（2014·临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为（　　）

A．20海里　　　

B．10海里

C．20海里　　　

D．30海里

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，cosA＝，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（　　）

A.　B.　C.　D．2　　

10．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（　　）

A．（6＋）米

B．12米

C．（4－2）米

D．10米

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．（2013·成都）如图，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC的长为米．

12．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝.

13．（2014·宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，则AB的长是.

14.如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于

受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为米．

15．（2014·武汉）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为.

三、解答题（共35分）

16．（11分）（2014·资阳）如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A，B，C在同一个平面上）．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．

17.（12分）（2014·潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB.

18．（12分）（2013·济宁）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图①），A，B，C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图②），

图①