图形变换相似三角形综合应用.doc
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相似三角形综合应用
2014年中考怎么考
内容
基本要求
略高要求
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算;会利用三角形的相似解决一些实际问题
自检自查必考点
模型一角分线模型
1、内角平分线
是的角平分线,则
【证明】过作交直线于.
∵,
∴,
又∵平分,
∴,
∴,
∴,
由可得:
,
∴
2、外角平分线
的外角平分线交对边的延长线于,则
【证明】过作交直线于.
∵,
∴,
又∵平分,
∴,
∴,
∴,
由可得:
,
∴
模型二梯形模型
若,则
中考满分必做题
考点一与公共边有关的相似问题
【例1】如图,在矩形中,对角线、相交于点,为的中点,连接交于,连接,若,则下列四对三角形:
①与;②与;③与;④与,其中相似的为()
A.①④ B.①② C.②③④ D.①②③
【答案】D
【解析】②,∴,故
【例2】如图,矩形中,于,恰是的中点,下列式子成立的是()
A. B. C. D.
【答案】A
【例3】如图,中,于,于,于,交于,、的延长线交于点,求证:
.
【解析】可通过射影定理转化成证明,证明∽即可.
【例4】如图,中,,于为的中点,的延长线交于.
求证:
.
【答案】∵,为中点,∴,∴,又∵,∴,又∵,,∴,又∵,∴,∴,∴.
【巩固】在中,过直角顶点作斜边的垂线,取的中点,连接并延长交的延长于点,求证:
【解析】,
【例5】如图,在中,平分,的垂直平分线交于,交的延长线于,
求证:
.
【答案】连接∵垂直平分,∴,∴,即,又∵,∴,∵平分,∴,∴,又∵,∴,∴.又∵,∴
【巩固】如上图,在中,,的垂直平分线交于,交的延长线于,
求证:
平分.
【答案】连接,∵垂直平分,∴,∵,∴∴,又∵∴,∴,∵,,∴,∴,即平分.
【例6】已知,如图,为等边三角形,且的两边交直线于两点,求证:
.
【解析】∵,∴.又∵,∴,∴,
∵,∴∴,∴,即,∵,∴.
考点二与旋转有关的相似问题
【例7】如图,直角梯形中,,,,为梯形内一点,且,将绕点旋转使与重合,得到,连交于.已知,则的值为()
A.B.C.D.
【答案】C.
【例8】如图,四边形和均为正方形,求_________.
【答案】连接。
∵,∴
∴∵∴∵
∴∴∴
∴∴
【例9】
(1)如图1,等边中,为边上的动点,以为一边,向上作等边,连接,求证:
.
(2)如图2,将
(1)中的等边改为以为底边的等腰三角形,所作的改成相似于,请问:
是否有?
证明你的结论.
【答案】
(1)由,得,故.
(2)由,得,故.
考点三与三角形有关的相似综合题
【例10】如图,内有一点,过作各边的平行线,把分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积分别为,则的面积是________.
【解析】设的面积为,则,故.
【答案】
【例11】如图所示,是一个凸六边形,、、分别是直线与、与、与的交点,、、分别是与、与、与的交点,如果,求证:
.
【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式,且、、构成一个与相似的三角形的三边,因而可以考虑通过平移变换将、、集中到一起构成一个与相似的三角形.
如图所示,将平移至位置,则,且,
所以,且,
因此,从而,且.
这说明,且,进而,且.
又因为,于是,所以,
注意到,,故.
【例12】已知:
的高所在直线与高所在直线相交于点.
(1)如图l,若为锐角三角形,且,过点作,交直线于点,求证:
;
(2)如图2,若,过点作,交直线于点,则之间满足的数量关系是_________;
(3)在
(2)的条件下,若,,将一个角的顶点与点重合并绕点旋转,这个角的两边分别交线段于两点(如图3),连接,线段分别与线段、线段相交于两点,若,求线段的长.
【答案】
(1)证明:
∵∴,∴
∵,∴∵,∴
∵,∴∴∵
∴,∴∴,∴
(2)
(3)如图,
∵,∴∵,∴,∴
∵,∴,∴∵∴
∵,由
(2)知,∴∴,
∴为等腰直角三角形∴
分别过,作于点于点∴四边形为矩形
∴∴,∴
∵∴∴
∵∴∵
∴∴∴∴
∵∴∵
∴∴
∵∴∴,∴
∴∴
考点四与相似有关的动点问题
【例13】如图,中,,点从出发,沿方向以的速度移动,点从出发,沿方向也以的速度移动,若分别从出发,经过多少时间与相似?
【答案】∵,设,
∴,
即,解得(负值已舍去)
∴
设经过后与相似.此时
本题需分两种情况:
(1)当时,
,即,解得
(2)当时,
,即,解得.
综上,当秒或秒时,与相似
【例14】如图,在矩形中,,点沿边从点开始向点以秒的速度移动,点沿边以秒的速度从点开始移动,如果同时出发,用(秒)表示移动的时间.
(1)当为何值时,为等腰直角三角形?
(2)求四边形面积,提出一个与计算结果相关的正确结论.
(3)当为何值时,以点为顶点的三角形与相似.
【答案】
(1)当为等腰直角三角形时,,
∴,
(2),即四边形的面积为定值.
(3)分2种情况
①当时,,即,解得.
②当时,,即,解得.
综上当或时,以点为顶点的三角形与相似.
中考满分必做题
【例1】如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.若过A,D,C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BCO相似,若存在,则DP的长为_________.
B
A
C
D
B
A
C
D
O
P1
P2
(09年浙江丽江中考试题)
【解析】∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°∴∠BCD=∠B,∴DB=DC.又∵在Rt△ACD中,DC=AD·sin30°=,∴DB=.①过点D作DP1∥OC,交BC于点P1,则△P1DB∽△COB,∴=.∵OB=OD+DB=∴DP1=·OC=×=②过点D作DP2⊥AB,交BC于点P2,则△BDP2∽△BCO,∴=.∵BC===3
∴DP2=·OC=×=1
【例2】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,2),点P是线段OA上的一个动点(不与O,A重合),过点P作PQ⊥x轴于Q,以PQ为边向右作正方形PQMN.连接AN并延长交x轴于点B,连接ON.设OQ=t,△BMN与△MON相似时,则△BMN的面积为_____________.
B
M
Q
O
P
N
A
y
x
B
M
Q
O
P
N
A
y
x
H
图2
(09年甘肃中考试题)
【答案】或
【解析】当0<t≤1时,如图1.若△BMN∽△MON,则=.即=,∴t=.
∴NM=,BM==.∴S△BMN=BM·NM=××=.当1<t<2时,如图2.
若△BMN∽△MON,则=.即=,∴t=.∴NM=,BM==.
∴S△BMN=BM·NM=××=.
【例3】如图,∠ACB=90°,CD是∠ACB的平分线,点P在CD上,CP=.将三角板的直角顶点放置在点P处,绕着点P旋转,三角板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G.
(1)当点F在射线CA上时
①求证:
PF=PE.
②设CF=x,EG=y,求y与x的函数解析式并写出函数的定义域.
(2)连接EF,当△CEF与△EGP相似时,求EG的长.
A
C
B
P
D
备用图
A
C
B
F
P
D
G
E
(12年中考模拟试题)
【解析】
(1)①证明:
过点P作PM⊥AC,PN⊥BC,垂足分别为M、N
∵CD是∠ACB的平分线,∴PM=PN
A
C
B
F
P
D
E
M
N
2
1
G
由∠PMC=∠MCN=∠CNP=90°,得∠MPN=90°
∴∠1+∠FPN=90°
∵∠2+∠FPN=90°,∴∠1=∠2
∴△PMF≌△PNE,∴PF=PE
②解:
∵CP=,∴CN=CM=1
∵CF=x,△PMF≌△PNE,∴NE=MF=1-x
∴CE=2-x
∵CF∥PN,∴=,即=
A
C
B
F
P
G
E
1
D
∴CG=
∴y=+2-x(0≤x<1)
(2)当△CEF与△EGP相似时,点F的位置有两种情况:
①当点F在射线CA上时
∵∠GPE=∠FCE=90°,∠1≠∠PEG
∴∠G=∠1,∴FG=FE,∴CG=CE=CP
在Rt△EGP中,EG=2CP=2
A
C
B
M
P
F
G
N
E
1
5
2
3
4
D
②当点F在AC延长线上时
∵∠GPE=∠FCE=90°,∠1≠∠2,∴∠3=∠2
∵∠1=45°+∠5,∠1=45°+∠2,∴∠5=∠2
易证∠3=∠4,可得∠5=∠4
∴CF=CP=,∴FM=+1
易证△PMF≌△PNE,∴EN=FM=+1
∵CF∥PN,∴=,即=
∴GN=-1
∴EG=-1++1=2
【例4】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是斜边AB上的中线,AB=10,tanA=.点P是CE延长线上的一动点,过点P作PQ⊥CB,交CB延长线于点Q.设EP=x,BQ=y.
(1)求y关于x的函数关系式及定义域;
(2)连接PB,当PB平分∠CPQ时,求PE的长;
(3)过点B作BF⊥AB交PQ于F,当△BEF和△QBF相似时,求x的值.
A
P
C
Q
E
B
A
B
C
E
备用图
A
B
C
E
备用图
(2012年上海模拟试题)
【解析】
(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,tanA==
∴AC=6,BC=8
∵CE是斜边AB上的中线,∴CE=BE=AB=5
A
B
P
C
Q
E
H
∴∠PCQ=∠ABC
又∠PQC=∠ACB=90°,∴△PCQ∽△ABC
∴==,即=
∴y=x-4(x>5)
(2)过点B作BH⊥PC于H
∵PB平分∠CPQ,BQ⊥PQ,∴BH=BQ=y
∵BH=BC=,∴x-4=
A
B
P
C
Q
E
F
∴x=11
(3)∵∠BQF=∠ACB=90°,∠QBF=∠A
∴△BFQ∽△ABC
当△BEF和△QBF相似时,则△BEF和△ABC也相似
有两种情况:
①当∠BEF=∠A时
在Rt△EBF中,∠EBF=90°,BE=5,BF=y
A
B
P
C
Q
E
F
∴(x-4)=×5,解得x=10
②当∠BEF=∠ABC时
在Rt△EBF中,∠EBF=90°,BE=5,BF=y
∴(x-4)=×5,解得x=
∴当△BEF和△QBF相似时,求x的值为10或
【例5】如图1,在Rt△AOC中,AO⊥OC,点B在OC边上,OB=6,BC=12,∠ABO+∠C=90°,动点M和N分别在线段AB和AC边上.
(1)求证:
△AOB∽△COA,并求cosC的值;
(2)当AM=4时,△AMN与△ABC相似,求△AMN与△ABC的面积之比;
(3)如图2,当MN∥BC时,以MN所在直