北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习.doc

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【无理数】

√2=1.414√3=1.732√5=2.236√7=2.645（熟记）

1.定义：

无限不循环小数的小数叫做无理数；注：

它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2.常见无理数的几种类型：

（1）特殊意义的数，如：

圆周率以及含有的一些数，如：

2-，3等；

（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：

如：

2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和/差结果都是无理数。

如：

2-是无理数

（4）无理数乘/除以一个不为0的有理数结果是无理数。

如2,

（5）开方开不尽的数，如:

等；应当要注意的是：

带根号的数不一定是无理数，如：

等；无理数也不一定带根号，如：

）

3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：

（1）下列各数：

①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号）

（2）有五个数:

0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有（）个

拓展中考在线：

1.下列各数中：

－1,,3.14,－π,3,0,2,,,－0.2020020002……（相邻两个2之间0的个数逐次加1）.其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________.在上面的有理数中，分数有____________，整数有______________.

2.x2=8，则x______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）

3.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数．（填“是”或“不是”）

4.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米（精确到0.01）.

5.下列数中是无理数的是（　　）.A.0.12 B.C．0 D．

6.下列说法中正确的是（　　）.

A.不循环小数是无理数B.分数不是有理数C.有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数

7.下列语句正确的是（　　）.

A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数

C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数

8.在直角△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=2，则AB为（　　）.

A.整数 B.分数C.无理数 D.不能确定

9.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（　　）.

A.小数 B.分数C.无理数 D.不能确定

10.下列说法中，正确的是（　　）.

A.数轴上的点表示的都是有理数　　B.无理数不能比较大小　　　

C.无理数没有倒数及相反数　　　　　D.实数与数轴上的点是一一对应的

11.在，,0,,0.010010001……，，－0.333…，，3.1415，

2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，无理数有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个

12.下列说法正确的是（）.

A.有理数只是有限小数B.无理数是无限小数C.无限小数是无理数D.是无理数

13.下列说法错误的是（）.

A.无理数的相反数还是无理数B.无限小数都是无理数

C.正数、负数统称有理数D.实数与数轴上的点一一对应

14.下列说法中：

1、无理数就是开方开不尽的数；2、无理数是无限小数；3、无理数包括正无理数、零、负无理数；4、无理数可以用数轴上的点来表示．共有（　）个是正确的．A.1B.2C.3D.4

15.下列各数中，不是无理数的是（　）.

A.B.0.5C.2D.0.151151115…

16.下列说法正确的是（）.

A.有理数只是有限小数B.无理数是无限不循环小数

C.无限小数是无理数D.带根号的数都是无理数

17.在实数：

3.14159，，1.010010001…，

，π，中，无理数的（　　）.　 A.1个　B.2个　C.3个　　D.4个

18.下列实数中，无理数是（　　）.　A.﹣　　B.π　C.　D.|﹣2|

19.下列实数中是无理数的是（）.A.B.C.D.

20.边长为4的正方形的对角线的长是（）.A.整数B.分数C.有理数D.不是有理数

21.已知下列结论：

①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个.其中正确的结论是（）.

A.①②B.②③C.③④D.②③④

【算术平方根】：

1.定义：

如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：

“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根是3，即。

特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根

2.算术平方根具有双重非负性：

（1）若有意义，则被开方数a是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：

算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：

；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：

。

例：

（1）下列说法正确的是（）

A．1的立方根是；B．；（C）、的平方根是；（D）、0没有平方根；

（2）下列各式正确的是（）

A、B、C、D、

（3）的算术平方根是。

（4）若有意义，则___________。

（5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。

（6）（提高题）如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。

求x－y的值.

平方根：

1.定义：

如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：

2.性质：

（1）一个正数有两个平方根，且它们相等或互为相反数；

（2）0只有一个平方根，它是0本身；（3）负数没有平方根

例

（1）若的平方根是±2，则x=　；的平方根是

（2）当x时，有意义。

（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？

这个正数是多少？

3.

（1）

（2）中，a可以取任意实数。

如

例：

1.求下列各式的值

（1）

（2）（3）

2.已知，那么a的取值范围是　。

3.已知2＜x＜3,化简　。

【立方根】

1.定义：

一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为，读作，3次根号a。

如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。

2.性质：

正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

立方根是它本身的数有0,1，-1.

例：

（1）64的立方根是           

（2）若，则b等于           

（3）下列说法中：

①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。

其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个

平方根与立方根练习题

一、填空题

1．如果，那么x＝________；如果，那么________；

2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________；

3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________．

4.若，若。

5．的平方根是_______，的算术平方根是_________，的算术平方根是；

6．当时，有意义；当时，有意义；

7．若一个正数的平方根是和，则，这个正数是；

8．的最小值是________，此时的取值是________．

9.若，则x+y=；10．若，则＝＿＿＿＿.

11．立方根是－8的数是＿＿＿，的立方根是＿＿＿＿。

12．如果x、y满足=0，则x=，y=＿＿＿；

13、如果a的算术平方根和算术立方根相等，则a等于；

14.若x的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若=1，则x=＿＿＿

二、选择题

1.若，则（）A.B.C.D.

2．的值是（　）．A．B．3C．D．9

3．设、为实数，且，则的值是（）A、1B、9C、4D、5

4．如果有意义，则x可以取的最小整数为（　）．A．0B．1C．2D．3

5．一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长是（）

A、B、C、或D、无法确定

6.若能开偶次方，则的取值范围是（）A．B.C.D.

7.若为正整数,则等于（）A．-1B.1C.±1D.

8.若正数的算术平方根比它本身大，则（）A.B.C.D.

9、2008年是北京奥运年，下列各整数中，与最接近的一个是（）A．43；B、44；C、45；D、46；

10．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（）

A、n+1；B、+1；C、；D、。

11.以下四个命题

①若是无理数，则是实数；②若是有理数，则是无理数；③若是整数，则是有理数；④若是自然数，则是实数．其中，真命题的是（　　）

Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③ Ｄ．④

12.当，下列关系式成立的是（　　）

Ａ．， Ｂ．，Ｃ．， Ｄ．，

13.下列说法中，正确的是（　　）

Ａ．的立方根是，记作Ｂ．的算术平方根是

Ｃ．的三次立方根是Ｄ．正数的算术平方根是

14．下列命题中正确的是（　　　）

（1）0.027的立方根是0.3；

（2）不可能是负数；（3）如果a是b的立方根，那么ab0;（4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1.A.

（1）（3）　　　B.

（2）（4）　　　　　C.

（1）（4）　　　D.（3）（4）

15.下列各式中，不正确的是（　　）

Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

16．若a<0，则等于（）A、B、C、±D、0

17、化简的结果是（）A.3　　　B.－3　C.±3　D．9