初二数学经典题型(含答案).doc
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初二数学经典题型
1.已知:
如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150.求证:
△PBC是正三角形.
A
N
F
E
C
D
M
B
2.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证:
∠DEN=∠F.
3、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.求证:
点P到边AB的距离等于AB的一半.
4、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.求证:
∠PAB=∠PCB.
5.P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a正方形的边长.
6.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.
(1)求证:
①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
答案
1、证明如下。
A
P
C
D
B
首先,PA=PD,∠PAD=∠PDA=(180°-150°)÷2=15°,∠PAB=90°-15°=75°。
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ,连接PQ,则
∠PDQ=60°+15°=75°,同样∠PAQ=75°,又AQ=DQ,,PA=PD,所以△PAQ≌△PDQ,那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°,在△PQA中,
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB,于是PQ=AQ=AB,
显然△PAQ≌△PAB,得∠PBA=∠PQA=30°,
PB=PQ=AB=BC,∠PBC=90°-30°=60°,所以△ABC是正三角形。
2、证明:
连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.
又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;
(1)
同理:
GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;
(2)
又AD=BC,则:
GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:
∠DEM=∠CFN.
3、证明:
分别过E、C、F作直线AB的垂线,垂足分别为M、O、N,
在梯形MEFN中,WE平行NF
因为P为EF中点,PQ平行于两底
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
所以PQ为梯形MEFN中位线,
所以PQ=(ME+NF)/2
又因为,角0CB+角OBC=90°=角NBF+角CBO
所以角OCB=角NBF
而角C0B=角Rt=角BNF
CB=BF
所以△OCB全等于△NBF
△MEA全等于△OAC(同理)
所以EM=AO,0B=NF
所以PQ=AB/2.
4、过点P作DA的平行线,过点A作DP的平行线,两者相交于点E;连接BE
因为DP//AE,AD//PE
P
A
D
C
B
所以,四边形AEPD为平行四边形
所以,∠PDA=∠AEP
已知,∠PDA=∠PBA
所以,∠PBA=∠AEP
所以,A、E、B、P四点共圆
所以,∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD为平行四边形,所以:
PE//AD,且PE=AD
而,四边形ABCD为平行四边形,所以:
AD//BC,且AD=BC
所以,PE//BC,且PE=BC
即,四边形EBCP也是平行四边形
所以,∠PEB=∠PCB
所以,∠PAB=∠PCB
5 解:
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合,P点旋转后到Q点,连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP=CQ,BP=BQ,∠ABP=∠CBQ,∠BPA=∠BQC
A
C
B
P
D
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA=90°,所以∠ABP+∠CBP=90°,所以∠CBQ+∠CBP=90°
即∠PBQ=90°,所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ=√2*BP,∠BQP=45
因为PA=a,PB=2a,PC=3a
所以PQ=2√2a,CQ=a,所以CP^2=9a^2,PQ^2+CQ^2=8a^2+a^2=9a^2
所以CP^2=PQ^2+CQ^2,所以△CPQ是直角三角形且∠CQA=90°
所以∠BQC=90°+45°=135°,所以∠BPA=∠BQC=135°
作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM=BM=PB/√2=2a/√2=√2a
所以根据勾股定理得:
AB^2=AM^2+BM^2
=(√2a+a)^2+(√2a)^2
=[5+2√2]a^2
所以AB=[√(5+2√2)]a
6.解:
(1)证法一:
①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.
∵PC=PC,
A
B
C
D
P
E
1
2
H
∴△PBC≌△PDC(SAS).
∴PB=PD,∠PBC=∠PDC.
又∵PB=PE,
∴PE=PD.
②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
∵PB=PE,
∴∠PBE=∠PEB,
∴∠PEB=∠PDC,
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°,
∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°,
∴PE⊥PD.)
(ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD.
(iii)当点E在BC的延长线上时,如图.
∵∠PEC=∠PDC,∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°,
∴PE⊥PD.
综合(i)(ii)(iii),PE⊥PD.
A
B
C
P
D
E
F
(2)①过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=FE.
∵AP=x,AC=,
∴PC=-x,PF=FC=.
BF=FE=1-FC=1-()=.
∴S△PBE=BF·PF=().
即(0<x<).
②.
∵<0,
∴当时,y最大值.
(1)证法二:
①过点P作GF∥AB,分别交AD、BC于G、F.如图所示.
∵四边形ABCD是正方形,
A
B
C
P
D
E
F
G
1
2
3
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形,
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴GD=FC=FP,GP=AG=BF,∠PGD=∠PFE=90°.
又∵PB=PE,
∴BF=FE,
∴GP=FE,
∴△EFP≌△PGD(SAS).
∴PE=PD.
②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴∠DPE=90°.
∴PE⊥PD.
(2)①∵AP=x,
∴BF=PG=,PF=1-.
∴S△PBE=BF·PF=().
即(0<x<).
②.
∵<0,
∴当时,y最大值.
26.(本小题满分8分)
如图1,在四边形中,,分别是的中点,连结并延长,分别与的延长线交于点,则(不需证明).
(温馨提示:
在图1中,连结,取的中点,连结,根据三角形中位线定理,证明,从而,再利用平行线性质,可证得.)
问题一:
如图2,在四边形中,与相交于点,,分别是的中点,连结,分别交于点,判断的形状,请直接写出结论.
问题二:
如图3,在中,,点在上,,分别是的中点,连结并延长,与的延长线交于点,若,连结,判断的形状并证明.
A
C
B
D
F
E
N
M
O
E
B
C
D
H
A
F
N
M
1
2
图1
图2
图3
A
B
C
D
F
G
E
26.
(1)等腰三角形 1分
(2)判断出直角三角形 1分
证明:
如图连结,取的中点,连结, 1分
是的中点,
A
B
C
D
F
G
H
E
1
2
3
,,
.
同理,,
.
,
. 1分
,
,
是等边三角形. 2分
,
,
即是直角三角形. 2分