中考数学复习第3单元函数及其图象第15课时二次函数的图象和性质二检测湘教版21.docx

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中考数学复习第3单元函数及其图象第15课时二次函数的图象和性质二检测湘教版21

课时训练（十五）二次函数的图象和性质

（二）

|夯实基础|

一、选择题

1．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是（　　）

A．y＝（x－1）2＋2B．y＝（x＋1）2＋2

C．y＝x2＋1D．y＝x2＋3

2．[2017·衡阳模拟]已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2－m＋2017的值为（　　）

A．2014B．2015

C．2016D．2018

3．[2017·枣庄]已知函数y＝ax2－2ax－1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）

A．当a＝1时，函数图象经过点（－1，1）

B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方

D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大

4．[2017·长郡模拟]抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）

A．m≤2B．m＜－2

C．m＞2D．0＜m≤2

5．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图K15－1，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为（　　）

A．－3B．3

C．－6D．9

图K15－1

　　　图K15－26．若二次函数y＝x2＋mx图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的解为（　　）

A．x1＝1，x2＝5B．x1＝1，x2＝3

C．x1＝1，x2＝－5D．x1＝－1，x2＝5

7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K15－2所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝（　　）

A．a＋bB．a－2b

C．a－bD．3a

图K15－3

8．[2016·枣庄]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图K15－3所示，给出以下四个结论：

①abc＝0；②a＋b＋c>0；③a>b；④4ac－b2<0.其中正确的结论有（　　）

A．1个　　　　B．2个

C．3个　　　　D．4个二、填空题

9．若二次函数y＝x2＋2x＋m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是________．

10．[2016·泰安]将抛物线y＝2（x－1）2＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的解析式为____________．

图K15－4

11．[2017·株洲]如图K15－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（－1，0），点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，－2），小强得到以下结论：

①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞－1.以上结论中，正确的结论序号是________．三、解答题

12．已知抛物线y＝（x－m）2－（x－m），其中m是常数．

（1）求证：

不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．

（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝.

①求该抛物线所对应的函数表达式；

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．|拓展提升|13．[2017·邵阳]如图K15－5，顶点为（，－）的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点M（2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y＝x＋1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y＝（k>0）图象上一点．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

图K15－514．[2017·益阳]如图K15－6①，直线y＝x＋1与抛物线y＝2x2相交于A，B两点，与y轴交于点M，M，N关于x轴对称，连接AN，BN.

（1）①求A，B的坐标；

②求证：

∠ANM＝∠BNM；

（2）如图②，将题中直线y＝x＋1变为y＝kx＋b（b>0），抛物线y＝2x2变为y＝ax2（a>0），其他条件不变，那么∠ANM＝∠BNM是否仍然成立？

请说明理由．

图K15－6

参考答案

1．C　[解析]将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，得到抛物线y＝x2＋2－1＝x2＋1.

2．D　[解析]∵抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2－m－1＝0，

∴m2－m＝1，∴m2－m＋2017＝1＋2017＝2018

3．D　[解析]将a＝1代入原函数解析式，令x＝－1求出y值，由此得出A选项不符合题意；B.将a＝－2代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；C.利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；D.利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．

4．A　[解析]由题意可知：

Δ＝4－4（m－1）≥0，∴m≤2，故选A.

5．B　[解析]∵抛物线的开口向上，顶点的纵坐标为－3，

∴a＞0，＝－3，即b2＝12a.

∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，

∴Δ＝b2－4am≥0，即12a－4am≥0，

即12－4m≥0，解得m≤3，

∴m的最大值为3.

6．D　[解析]∵二次函数y＝x2＋mx图象的对称轴是直线x＝2，∴－＝2，解得m＝－4，∴关于x的方程x2＋mx＝5可化为x2－4x－5＝0，即（x＋1）（x－5）＝0，解得x1＝－1，x2＝5.

7．D　[解析]根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，a＞0，又抛物线过坐标原点，∴c＝0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－，∴0＜－＜1，解得－2a＜b＜0，∴|a－b＋c|＝a－b，|2a＋b|＝2a＋b，∴|a－b＋c|＋|2a＋b|＝a－b＋2a＋b＝3a.

8．C　[解析]由图可知，图象经过原点，则c＝0，

∴abc＝0，结论①正确；

当x＝1时，对应的图象上的点在第四象限，∴a＋b＋c<0，结论②错误；

∵－＝－，∴b＝3a，∵a<0，∴b<0，∴a>b，结论③正确；

抛物线与x轴有两个交点，则b2－4ac>0，∴4ac－b2<0，结论④正确．故答案为C.

9．m＞1　[解析]根据抛物线y＝x2＋2x＋m与x轴没有公共点可知，方程x2＋2x＋m＝0没有实数根，

∴判别式Δ＝22－4×1×m＜0，∴m＞1.

10．y＝2（x＋2）2－2

11．①④　[解析]由图象可知抛物线开口向上，∴a＞0，由抛物线经过A（－1，0），B（0，－2），对称轴在y轴的右侧可得：

由此可得：

a－b＝2，b＜0.故a＝2＋b＜2，综合可知0＜a＜2；将a＝b＋2代入0＜a＜2中得：

0＜b＋2＜2，可得－2＜b＜0；

当|a|＝|b|时，因为a＞0，b＜0，故有a＝－b.又a－b＝2，可得a＝1，b＝－1.

故原函数为y＝x2－x－2，当y＝0时，即有x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，

x2＝2＞－1.故答案为：

①④.

12．解：

（1）证明：

y＝（x－m）2－（x－m）＝x2－（2m＋1）x＋m2＋m，

∵Δ＝（2m＋1）2－4（m2＋m）＝1>0，

∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．

（2）①∵x＝－＝，∴m＝2，

∴抛物线所对应的函数表达式为y＝x2－5x＋6.

②设抛物线沿y轴向上平移k个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线所对应的函数表达式为y＝x2－5x＋6＋k.

∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，

∴Δ＝52－4（6＋k）＝0，∴k＝，

即把该抛物线沿y轴向上平移个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

13．解：

（1）依题意可设抛物线为y＝a（x－）2－，将M（2，0）代入可得a＝1，则抛物线的解析式为y＝（x－）2－＝x2－x－2.

（2）当y＝0时，x2－x－2＝0，

解得x1＝－1，x2＝2，所以A（－1，0），

当x＝0时，y＝－2，所以B（0，－2）．

在Rt△OAB中，OA＝1，OB＝2，∴AB＝.

设直线y＝x＋1与y轴的交点为点G，易求G（0，1），

∴Rt△AOG为等腰直角三角形，∴∠AGO＝45°.

∵点C在直线y＝x＋1上且在x轴下方，而k>0，

∴y＝的图象位于第一、三象限，故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：

①此菱形以AB为边且AC也为边，如图①所示，过点D作DN⊥y轴于点N，

在Rt△BDN中，∵∠DBN＝∠AGO＝45°，

∴DN＝BN＝＝，

∴D（－，－－2），

∵点D在y＝的图象上，

∴k＝－·（－－2）＝＋.

②此菱形以AB为对角线，如图②所示，作AB的垂直平分线CD交直线y＝x＋1于点C，交y＝的图象于点D.再分别过点D，B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相交于点E.

在Rt△BDE中，同①可证∠AGO＝∠DBO＝∠BDE＝45°，∴BE＝DE.

可设点D的坐标为（x，x－2）．

∵BE2＋DE2＝BD2，∴BD＝BE＝x.

∵四边形ACBD是菱形，∴AD＝BD＝x.

∴在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2，即（x）2＝（x＋1）2＋（x－2）2，解得x＝，

∴点D的坐标为（，），∵点D在y＝（k>0）的图象上，∴k＝.

综上所述，k的值为＋或.

14．解：

（1）①联立化简得2x2＝x＋1，解得：

x＝－或x＝1.

当x＝－时，y＝；当x＝1时，y＝2.

∴A，B两点的坐标分别为（－，），（1，2）．

②证明：

如图①，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D.

由①及已知有A（－，），

B（1，2），OM＝ON＝1，

∴tan∠ANM＝＝＝，

tan∠BNM＝＝＝，

∴tan∠ANM＝tan∠BNM，∴∠ANM＝∠BNM.

（2）∠ANM＝∠BNM成立．

①当k＝0时，△ABN是关于y轴对称的轴对称图形，

∴∠ANM＝∠BNM.

②当k≠0时，根据题意得：

OM＝ON＝b，

设A（x1，ax12），B（x2，ax22）．

如图②，过A作AE⊥y轴于E，

过B作BF⊥y轴于F.

联立消y得ax2＝kx＋b，

即ax2－kx－b＝0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝－.

∵－＝－

＝

＝

＝＝0.

∴＝.

又∵∠AEN＝∠BFN＝90°，

∴Rt△AEN∽Rt△BFN，

∴∠ANM＝∠BNM.