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高等数学（下）知识点
高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
（一）向量及其线性运算
1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、线性运算：
加减法、数乘；b（bx,by,bz）
3、空间直角坐标系：
坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、利用坐标做向量的运算：
设a（ax,ay,az），，
则
ab（a
x
b,a
y
b,a
z
b）
a（a
x
a
y
a）；
x
y
z
z
5、向量的模、方向角、投影：
1）向量的模：
r
x2
y2
z2
；
2）两点间的距离公式：
AB
（x2
x1）2
（y2
y1）2
（z2z1）2
3）方向角：
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
4）方向余弦：
cos
x,cos
y,cos
z
r
r
r
cos2cos2cos21
5）投影：
Prjuaacos，其中为向量a与u的夹角。
（二）数量积，向量积
1、数量积：
ababcos
1）
aaa
2
2）
abab0
第1页共20页
高等数学（下）知识点
abaxbxaybyazbz
2、向量积：
cab
大小：
absin，方向：
a,b,c符合右手规则
1）aa0
2）a//bab0
ijk
abaxayaz
bxbybz
运算律：
反交换律baab
（三）曲面及其方程
1、曲面方程的概念：
S:
f（x,y,z）0
2、旋转曲面：
yoz面上曲线C:
f（y,z）
0，
绕y轴旋转一周：
f（y,
x2
z2）
0
绕z轴旋转一周：
f（
x2
y2,z）
0
3、柱面：
F（x,y）0
F（x,y）0表示母线平行于z轴，准线为的柱面
z0
4、二次曲面
第2页共20页
高等数学（下）知识点
x2
y2
z2
1）椭圆锥面：
a2
b2
x2
y2
z2
1
2）椭球面：
a2
b2
c2
x2
y2
z2
1
旋转椭球面：
a2
a2
c2
x2
y2
z
2
1
3）单叶双曲面：
a2
b2
c2
x2
y2
z
2
1
4）双叶双曲面：
a2
b2
c2
x2
y2
z
5）椭圆抛物面：
a2
b2
x2
y
2
z
6）双曲抛物面（马鞍面）：
a2
b2
x2
y2
1
7）椭圆柱面：
a2
b2
x2
y2
1
8）双曲柱面：
a2
b2
9）抛物柱面：
x2
ay
（四）空间曲线及其方程
1、一般方程：
F（x,y,z）0
G（x,y,z）0
第3页共20页
高等数学（下）知识点
x
x（t）
x
acost
2、参数方程：
y
y（t），如螺旋线：
y
asint
z
z（t）
z
bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
F（x,y,z）
0
H（x,y）0
G（x,y,z）
，消去z，得到曲线在面
xoy上的投影
0
z0
（五）平面及其方程
1、点法式方程：
A（x
x0）B（y
y0）C（zz0）0
法向量：
n（A,B,C），过点（x0,y0,z0）
、一般式方程：
Ax
ByCzD
0
2
x
y
z
1
截距式方程：
a
b
c
3、两平面的夹角：
n1
（A1,B1,C1），n2
（A2,B2,C2），
cos
A1A2
B1B2
C1C2
A12
B12
C12
A22
B22
C22
1
2
A1A2
B1B2
C1C2
0
1//
A1
B1
C1
2
A2
B2
C2
4、点P0（x0,y0,z0）到平面Ax
By
CzD0的距离：
d
Ax0By0Cz0D
A2B2C2
（六）空间直线及其方程
第4页共20页
高等数学（下）知识点
A1xB1yC1zD1
0
1、一般式方程：
0
A2xB2yC2zD2
2、对称式（点向式）方程：
xx0
yy0
zz0
m
n
p
方向向量：
s（m,n,p），过点（x0,y0,z0）
x
x0
mt
3、参数式方程：
y
y0
nt
z
z0
pt
4、两直线的夹角：
s1
（m1,n1,p1），s2
（m2,n2,p2），
cos
m1m2
n1n2
p1p2
m12
n12
p12
m22
n22
p22
L1
L2
m1m2
n1n2p1p20
L1
//L2
m1
n1
p1
m2
n2
p2
5、直线与平面的夹角：
直线与它在平面上的投影的夹角，
AmBnCp
sin
A2B2C2m2n2p2
L//AmBnCp0
L
ABC
mnp
第九章多元函数微分法及其应用
（一）基本概念
第5页共20页
高等数学（下）知识点
1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区
域，有界集，无界集。
2、多元函数：
z
f
（x,y），图形：
3、极限：
lim
f（x,y）
A
（x,y）
（x0,y0）
4、连续：
lim
y）
f（x,y）
f（x
y
）
（x,y）
（x
0
0
0
0
5、偏导数：
fx（x0,y0）
lim
f（x0
x,y0）
f（x0,y0）
x
x0
fy（x0,y0）
lim
f（x0,y0y）
f（x0,y0）
y
y0
6、方向导数：
f
fcos
fcos
其中,
为l
的方向角。
l
x
y
7、梯度：
z
f（x,y），则gradf（x
0
y
）
f
（x,y
）i
f
（x,y
）j。
0
x
00
y
00
8、全微分：
设z
f（x,y），则dz
z
dx
z
x
dy
y
（二）性质
1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
1
2
偏导数连续
函数可微
偏导数存在
充分条件
必要条件
2
4
定义
3
函数连续
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高等数学（下）知识点
2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
3、微分法
1）定义：
ux
2）复合函数求导：
链式法则z
若z
f（u,v）,u
u（x,y）,v
v（x,y），则
z
zu
z
v
z
z
u
zv
x
ux
vx，y
u
y
vy
vy
3）隐函数求导：
两边求偏导，然后解方程（组）
（三）应用
1、极值
1）无条件极值：
求函数zf（x,y）的极值
fx
0
解方程组
fy
0
求出所有驻点，对于每一个驻点（x0,y0），令
Afxx（x0,y0），B
fxy（x0,y0），Cfyy（x0,y0），
①若AC
B2
0
，A
0，函数有极小值，
若AC
B2
0，A
0
，函数有极大值；
②若AC
B2
0
，函数没有极值；
③若AC
B2
0
，不定。
2）条件极
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