图形相似与相似三角形知识点1Word文档格式.docx

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的两个等腰三角形；

⑤两个正五边形；

⑥有一个内角是100°

的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________（填序号）．

解析：

根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°

的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：

②⑤⑥．

知识点2．比例线段

对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即

（或a:

b=c:

d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作

d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性．

（2）在比例式

d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项．

（3）如果比例内项是相同的线段，即

或a:

b=b:

c，那么线段b叫做线段和的比例中项。

（4）通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．

例3．已知线段a=2cm,b=6mm,求

．

求

即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．

例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=

dm，求c的长度．

由a,b,c,d成比例，写出比例式a:

d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c．

知识点3．相似多边形的性质

相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．

（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．

例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？

四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为

，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．

知识点4．相似三角形的概念

对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．

（1）相似三角形是相似多边形中的一种；

（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；

（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；

（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；

（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．

注意：

①相似比是有顺序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k,若△A1B1C1∽△ABC，则相似比为

。

②若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。

若两个三角形全等，则这两个三角形相似；

若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．

例6．如图，已知△ADE∽△ABC，DE=2，BC=4，则和的相似比是多少？

点D，E分别是AB，AC的中点吗？

解决此类问题应注意两方面：

（1）相似比的顺序性，

（2）图形的识别．

因为△ADE∽△ABC，所以

，因为

，

所以

，所以D，E分别是AB，AC的中点．

知识点5．相似三角的判定方法

（1）定义：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．

（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．

经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型：

1平行线型

常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC

2相交线型

常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC

如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB

如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC

3旋转型

已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，下图为常见的基本图形．

4母子型

已知∠ACB=90°

，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．

解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．

例7．如图，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？

试分别加以列举．

此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可．

当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC

条件一：

∠1=∠B；

条件二：

∠2=∠ACB；

条件三：

，即AC2=AD·

AB．

知识点6．相似三角形的性质

（1）对应角相等，对应边的比相等；

（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；

（3）相似三角形周长之比等于相似比；

面积之比等于相似比的平方．

例8．如图，已知△ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7

（1）求DE、AE的长；

（2）你还能发现哪些线段成比例．

此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即

（1）∵△ADE∽△ABC，∴

∵，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7设DE=x，则

，∴12x=8×

15,x=10;

设AE=a,则

∴a=14.　　

（2）

例9．已知△ABC∽△A1B1C1，，

=

，△ABC的周长为20cm，面积为40cm2．

求

（1）△A1B1C1的周长；

（2）△A1B1C1的面积．

根据相似三角形周长之比等于相似比；

面积之比等于相似比的平方求解．

易求出△A1B1C1的周长为30cm;

△A1B1C1的面积90cm

相似三角形知识点整理

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）：

涉及概念：

①第四比例项②比例中项

③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

第二套：

二、有关知识点：

1.相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：

用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：

（1）三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

类型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的判定

SAS

SSS

AAS（ASA）

HL

相似三角形

的判定

两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例

两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边

成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：

（1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：

（1）相似三角形的对应角相等。

（2）相似三角形的对应边成比例。

（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

（4）相似三角形的周长比等于相似比。

（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2

9、三角形三条中线的交点叫做重心；

三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点距离的的两倍。

三、注意

1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三

角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“8”型。

在利用定理证明时要注意A型图的比例

，每个比的前项是同一个三

角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成

的错误。

2、相似三角形的基本图形

Ⅰ.平行线型：

即A型和8型。

Ⅰ.相交线型

A.具有一个公共角，

在△ABC与△ADE中∠A是它们的公共

角，且∠ADE=∠C

B.

具有一条公共边和一个公共角

在△ABC与△BDC中CB是它们的公共边，

且∠CBD=∠A，∠C是它们的公共角。

C.有对顶角：

在△ABC中∠1与∠2是对顶角