高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题51 平面向量的概念及线性运算原卷版文文.docx
《高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题51 平面向量的概念及线性运算原卷版文文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题51 平面向量的概念及线性运算原卷版文文.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题51平面向量的概念及线性运算原卷版文文
2021年高考文科数学一轮复习：
题型全归纳与高效训练突破
专题5.1平面向量的概念及线性运算
一、题型全归纳
题型一平面向量的基本概念
【题型要点】1．向量的有关概念
（1）向量：
既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
（2）零向量：
长度为0的向量，其方向是任意的．
（3）单位向量：
长度等于1个单位的向量．
（4）平行向量：
方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：
0与任一向量共线．
（5）相等向量：
长度相等且方向相同的向量．
（6）相反向量：
长度相等且方向相反的向量．
2.五个特殊向量
（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
（4）与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
3.辨析向量有关概念的五个关键点
（1）向量定义的关键是方向和长度．
（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等．
（4）单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．
（5）零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．
【例1】下列叙述错误的是________（填序号）．
①已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同；
②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；
③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；
④＋＝0；
⑤若λa＝λb，则a＝b.
【例2】给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中真命题的序号是．
题型二平面向量的线性运算
【题型要点】
1.向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋（－b）
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ（μa）＝（λμ）a；
（λ＋μ）a＝λa＋μ_a；
λ（a＋b）＝λa＋λb
2.向量线性运算的两个常用结论
（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，则＝（＋）.
（2）O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.
【例1】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（ ）
A.－B．－
C.＋D．＋
【例2】（2020·合肥市第二次质量检测）在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝（ ）
A.a＋bB.a＋b
C.a－bD．a－b
题型三平面向量共线定理的应用
【题型要点】
【易错提醒】证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
命题角度1 证明向量共线或三点共线
【例1】已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b（m，n∈R），则与共线的条件是（ ）
A．m＋n＝0B．m－n＝0
C．mn＋1＝0D．mn－1＝0
【升华】证明向量共线：
对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb（b≠0），则a与b共线．
命题角度2 由向量共线求参数的值
【例2】（2020·广东六校第一次联考）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为（ ）
A.B.
C.D．
【升华】求参数的值：
利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．命题角度3证明三点共线
【例3】（2020·江西吉安一中、新余一中等八所中学联考）设两个非零向量a与b不共线．
（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：
A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【规律】证明三点共线：
若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
题型四共线定理的推广与应用
【题型要点】
一、共线定理：
已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.
二、推广形式：
如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y（x，y∈R）．
当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得＝m，则＝m＝mλ＋mμ.
又＝x＋y（x，y∈R），
所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.
以上过程可逆．
因此得到结论：
＝x＋y，
则x＋y＝m（定值），反之亦成立．
【例1】（2020·江西上饶重点中学六校联考）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
【例2】如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是________．
二、高效训练突破
一、选择题
1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是（ ）
A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部
3．（2020·唐山二模）已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝（ ）
A．－2B．－
C．－D．
4.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d反向共线，则实数λ的值为（ ）
A．1B．－
C．1或－D．－1或－
5.如图，已知＝，用，表示，则等于（ ）
A.－B.＋
C．－＋D．－－
6．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于（ ）
A．1 B．
C. D．
7．（2020·广东华附、省实、广雅、深中联考）设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是（ ）
A．a∥bB．θ＝0
C．θ＝D．θ＝π
8．（2020·广东一模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则（ ）
A.＝12＋3B．＝12－3
C.＝－12＋3D．＝－12－3
9.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d反向共线，则实数λ的值为（ ）
A．1 B．－
C．1或－D．－1或－
10.下列四个结论：
①＋＋＝0；
②＋＋＋＝0；
③－＋－＝0；
④＋＋－＝0.
其中一定正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
11.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若＝x＋（1－x），则x的取值范围是（ ）
A.B.
C.D．
12.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：
①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ）
A．①②B．②④
C．①③D．③⑤
二、填空题
1.（2020·河南三市联考）若＝，＝（λ＋1），则λ＝________.
2.（2020·广州综合测试
（一）文）设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是．
3.设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，（a＋b）的终点在同一条直线上，则实数t＝________．
4．（2020·江西临川一中、南昌二中5月联考（文））在△ABC中，＝，＝2，＝λ＋μ，则λ＋μ＝．
5.若||＝8，||＝5，则||的取值范围是．
6．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：
①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.
其中正确命题的个数为．
7．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ（λ∈R），则AD的长为________．
8．（2020·铜川模拟）在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
9．已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积为________．
10.已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为________．
三解答题
1.经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．
2.已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n（m，n∈R）．
（1）若m＋n＝1，求证：
A，P，B三点共线；
（2）若A，P，B三点共线，求证：
m＋n＝1.
升级会员 