西交大复变函数考查课习题及答案.doc

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西安交通大学现代远程教育考试卷及答案

课程：

复变函数（A）

专业班号考试日期年月日

姓名学号期中 期末

一、单项选择题（每题2分，共20分）

1、若函数在区域D内解析，则函数在区域D内（）

A．在有限个点可导B．存在任意阶导数

C．在无穷多个点可导D．存在有限个点不可导

2、设在内解析且，那么（）

A．B．C．1D．-1

3、函数，在以为中心的圆环内的洛朗展式有m个，则m=（）

A．1B．2C．3D．4

4、下列命题正确的是（）

A．B．零的辐角是零

C．仅存在一个数z,使得D．

5、函数在处的泰勒展式为（）

A．（<1）B．（<1）

C．（<1）D．（<1）

6、在下列函数中，的是（）

A．B．

C．D．

7、设a，C：

=1，则（）

A．0B．

C．D．

8、下列函数是解析函数的为（）

A．B．

C．D．

9、下列命题中，不正确的是（）

A．如果无穷远点是的可去奇点，那么

B．若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数，则在内解析

C．幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数

D．函数将带形域映射为单位圆

10、函数在（）处可导。

A．全平面B．

C．D．处处不可导

二、判断题（每题2分，共30分；正确：

√；错误：

×）

1、对任意的，.（）

2、在柯西积分公式中，如果，即在之外，其它条件不变，则积分0，.（）

3、区域是无界的单连通的闭区域。

（）

4、若是和的一个奇点,则也是的奇点。

（）

5、若与都是调和函数，则是解析函数。

（）

6、解析函数的与互为共轭调和函数。

（）

7、如果在连续，那么存在。

（）

8、解析函数的导函数仍为解析函数。

（）

9、如果在解析，那么在连续。

（）

10、解析函数的零点是孤立的。

（）

11、单位脉冲函数与常数1构成一个傅氏变换对。

（）

12、如果，的偏导数存在，那么可导。

（）

13、因为，所以在复平面上有界。

（）

14、在处可导的函数，一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。

（）

15、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。

（）

三、解答题（每题5分，共50分）

1、己知F，求函数的傅里叶变换。

2、求拉普拉斯逆变换.

3、（积分曲线取正向）

4、求幂级数的和函数，并注明其收敛域。

5、设，求其像原函数.

6、求下列各函数在其孤立奇点的留数。

（1）;

（2）;（3）.

7、应用傅代变换解微分方程：

8、请指出指数函数、对数函数、正切函数的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。

9、求以为虚部的解析函数，使.

10、计算积分：

，其中为以为圆心，为半径的正向圆周，为正整数。

复变函数

一、1B2B3C4B5B6C7B8B9A10A

二、1╳2╳3╳4√5√6、╳7、╳8、√9、√10、╳11、╳12、╳13、╳14、╳15、╳

三、1、

2、

3、解：

4、解：

．

5、解：

6、解：

（1）为的可去奇点,

;

（2）为的三阶极点,为的一阶极点。

;

（3）为的本性奇点,

.

7、解：

∵F=F

∴F[H（t）]+F[H（t）]=1

∴F[H（t）]=

∵衰减函数F[f（t）]=

∴H（t）=

8、答：

（1）指数函数的解析域为：

整个复平面，解析域是无界开区域；

（2）对数函数的解析域为：

除去原点及负半实轴，解析域是无界开区域；

（3）正切函数的解析域为：

除去点，解析域是无界开区域。

9、解：

由得

10解：

设的方程为,则

所以：

（当时）；（当时）。