小学数学奥数基础教程三年级第12021讲.docx

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小学数学奥数基础教程三年级第12021讲

第1讲加减法的巧算

　　在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。

加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。

这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。

　　先讲加法的巧算。

加法具有以下两个运算律：

加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

即

　　a+b=b+a，

　　其中a，b各表示任意一数。

例如，5+6=6+5。

　　一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。

例如，

　　a+b+c+d=d+b+a+c=…

　　其中a，b，c，d各表示任意一数。

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。

即

　　a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c），

　　其中a，b，c各表示任意一数。

例如，

　　4+9+7=（4+9）+7=4+（9+7）。

　　一般地，多个数（三个以上）相加，可先对其中几个数相加，再与其它数相加。

　　把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就得到加法的一些巧算方法。

1.凑整法

　　先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其它的数相加。

例1计算：

（1）23＋54＋18＋47＋82；

（2）（1350＋49＋68）＋（51＋32＋1650）。

解：

（1）23＋54＋18＋47＋82

　　＝（23＋47）＋（18＋82）＋54

　　＝70＋100＋54＝224；

（2）（1350＋49＋68）＋（51＋32＋1650）

　　＝1350＋49＋68＋51＋32+1650

　　＝（1350＋1650）＋（49＋51）＋（68＋32）

　　＝3000＋100＋100＝3200。

2.借数凑整法

　　有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。

例如，计算976＋85，可在85中借出24，即把85拆分成24＋61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。

例2计算：

（1）57＋64＋238＋46；

（2）4993＋3996＋5997＋848。

解：

（1）57＋64＋238＋46

　　＝57＋（62＋2）＋238＋（43＋3）

　　＝（57＋43）＋（62＋238）＋2＋3

　　＝100＋300＋2＋3＝405；

（2）4993＋3996＋5997＋848

　　=4993＋3996＋5997＋（7＋4＋3＋834）

　　=（4993＋7）＋（3996＋4）＋（5997＋3）＋834

　　=5000＋4000＋6000＋834＝15834。

　　下面讲减法和加减法混合运算的巧算。

加、减法有如下一些重要性质：

（1）在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。

例如，

　　a-b-c＝a-c-b，a-b+c＝a+c-b，

　　其中a，b，c各表示一数。

（2）在加、减法混合运算中，去括号时：

如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“-”，“-”变为“＋”。

例如，

　　a＋（b-c）=a+b-c，

　　a-（b＋c）=a-b-c，

　　a-（b-c）=a-b+c。

（3）在加、减法混合运算中，添括号时：

如果添加的括号前面是“＋”号，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“-”变为“＋”。

例如，

　　a＋b-c＝a＋（b-c），

　　a-b＋c=a-（b-c），

　　a-b-c＝a-（b＋c）。

　　灵活运用这些性质，可得减法或加、减法混合计算的一些简便方法。

　　3.分组凑整法

例3计算：

（1）875-364-236；

（2）1847-1928＋628-136-64；

（3）1348-234-76＋2234-48-24。

解：

（1）875-364-236

　　=875-（364＋236）

　　=875-600=275；

（2）1847-1928＋628-136-64

　　=1847-（1928-628）-（136＋64）

　　=1847-1300-200＝347；

（3）1348-234-76＋2234-48-24

　　=（1348-48）+（2234-234）-（76＋24）

　　=1300＋2000-100＝3200。

　　4.加补凑整法

例4计算：

（1）512-382；

（2）6854-876-97；

（3）397-146＋288-339。

解：

（1）512-382=（500＋12）-（400-18）

　　=500+12-400+18

　　＝（500-400）＋（12＋18）

　　＝100＋30＝130；

（2）6854-876-97

　　=6854-（1000-124）-（100-3）

　　=6854-1000＋124-100＋3

　　=5854+24+3＝5881；

（3）397-146＋288-339

　　＝397＋3-3-146＋288＋12-12-339

　　＝（397＋3）＋（288＋12）-（146＋3＋12＋339）

　　＝400＋300-500=200。

第20讲乘、除法的运算律和性质

　　我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。

本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。

　　1.乘法的运算律

　　乘法交换律：

两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。

即

　　a×b=b×a。

　　其中，a，b为任意数。

　　例如，35×120=120×35=4200。

　　乘法结合律：

三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。

即

　　a×b×c=（a×b）×c=a×（b×c）。

　　注意：

（1）这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。

即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。

（2）这两个运算律常一起并用。

例如，并用的结果有

　　a×b×c=b×（a×c）等。

例1计算下列各题：

（1）17×4×25；

（2）125×19×8；

（3）125×72；（4）25×125×16。

　　分析：

由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。

解：

（2）125×19×8

　　=（125×8）×19

　　=1000×19

　　=19000；

（3）125×72

　　=125×（8×9）

　　=（125×8）×9

　　=1000×9

　　=9000；

（4）25×125×16或

　　=25×125×2×8

　　=（25×2）×（125×8）

　　=50×1000

　　=50000，

　　25×125×16

　　=25×125×4×4

　　=（25×4）×（125×4）

　　=100×500

　　=50000。

　　乘法分配律：

两个数之和（或差）与一数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后再把这两个积相加（或减）。

即

　　（a+b）×c=a×c+b×c，

　　（a-b）×c=a×c-b×c。

例2计算下列各题：

（1）125×（40+8）；

（2）（100-4）×25；

（3）2004×25；（4）125×792。

解：

（1）125×（40+8）

　　=125×40+125×8

　　=5000+1000

　　=6000；

（2）（100-4）×25

　　=100×25-4×25

　　=2500-100

　　=2400；

（3）2004×25

　　=（2000+4）×25

　　=2000×25+4×25

　　=50000+100

　　=50100；

（4）125×792

　　=125×（800-8）

　　=125×800-125×8

　　=（125×8）×100-1000

　　=1000×100-1000

　　=1000×（100-1）

　　=99000。

　　2.除法的运算律和性质

　　商不变性质：

被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变。

即

　　a÷b=（a×n）÷（b×n）（n≠0）

　　=（a÷m）÷（b÷m）（m≠0）

例3计算：

（1）425÷25；

（2）3640÷70。

解：

（1）425÷25

　　=（425×4）÷（25×4）

　　=1700÷100

　　=17；

（2）3640÷70

　　=（3640÷10）÷（70÷10）

　　=364÷7

　　=52。

（2）两数之和（或差）除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和（或差）。

即

　　（a±b）÷c=a÷c±b÷c。

　　例如，（8+4）÷2=8÷2+4÷2，

　　（9-6）÷3=9÷3-6÷3。

　　此性质可以推广到多个数之和（或差）的情形。

例如

　　（1000-688-136）÷8

　　=1000÷8-688÷8-136÷8

　　=125-86-17=22。

（3）在连除中，可以交换除数的位置，商不变。

即

　　a÷b÷c=a÷c÷b。

　　在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。

例如，

　　168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……

例4计算下列各题：

（1）（182+325）÷13；

（2）（2046-1059-735）÷3；

（3）775÷25；

（4）2275÷13÷5。

解：

（1）（182＋325）÷13

　　=182÷13+325÷13

　　=14+25

　　=39；

（2）（2046-1059-735）÷3

　　=2046÷3-1059÷3-735÷3

　　=682-353-245

　　=84；

（3）775÷25

　　=（700+75）÷25

　　=700÷25+75÷25

　　=28+3=31；

（4）2275÷13÷5

　　=2275÷5÷13

　　=455÷13

　　=35。

　　3.乘、除法混合运算的性质

（1）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。

例如，

　　a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。

（2）在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：

　　括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。

即

　　a×（b×c）=a×b×c，

　　a×（b÷c）=a×b÷c。

　　括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。

即

　　a÷（b×c）=a÷b÷c，

　　a÷（b÷c）=a÷b×c。

　　添加括号情形：

　　加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。

即

　　a×b×c=a×（b×c），

　　a×b÷c=a×（b÷c），

　　a÷b÷c=a÷（b×c），

　　a÷b×c=a÷（b÷c）。

（3）两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。

即

　　（a×b）÷（c×d）

　　=（a÷c）×（b÷d）

　　=（a÷d）×（b÷c）。

　　上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。

例5计算下列各题：

（1）136×5÷8

　　=136÷8×5

　　=17×5=85；

（