（ra）
边界条件为
；
；
可解得1和2的通解为
代入边界条件，得
C1=0，C4=0，C2=，C3=
最终得电位函数的解为
（ra）
（ra）
利用球坐标系中的梯度表达式，求得
（ra）
（ra）
可见，以上结果与应用高斯定理求得的结果完全一致。
4．分离变量法
基本思路：
当待求电位函数是二个或三个坐标变量的函数时，分离变量法是直接求解偏微分方程定解问题的一种经典方法。
对于拉普拉斯方程对应的边值问题，其步骤是：
首先，结合场域边界形状，选用适当的坐标系；其次，设待求电位函数由两个或三个各自仅含一个坐标变量的函数乘积组成，并代入拉普拉斯方程，借助于“分离”常数，将拉普拉斯方程转换为两个或三个常微分方程；第三，解这些常微分方程并以给定的定解条件决定其中的待定常数和函数后，即可解得待求的电位函数。
一般而言，当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标面相吻合时，分离变量法往往是一种简便而有效的方法。
直角坐标系中的平行平面场问题：
设电位函数为（x，y），满足拉普拉斯方程：
设电位函数有分离变量形式，即
（x，y）=X（x）Y（y）
代入拉普拉斯方程，整理得
显然，上式两边在x和y取任意值时恒成立，即等式两边应该恒为同一常数。
记该常数（常称为分离常数）为，这样，上式即转化为两个常微分方程
，
式中，分离常数可取0、mn2>0和-mn2<0，可分别得出如下三种形式的解，即
当=0时X（x）=A10+A20x；Y（y）=B10+B20y
当=mn2>0时X（x）=A1nchmnx+A2nshmnx；Y（y）=B1ncosmny+B2nsinmny
当=-mn2<0时X（x）=A1ncosmnx+A2nsinmnx；Y（y）=B1nchmny+B2nshmny
当mn取不同值时，上述解的线性组合便构成了拉普拉斯方程的通解，即
最后，可根据给定的定解条件，通过傅里叶级数展开方法，确定各个待定常数。
例3：
长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为0。
求槽内电位分布。
[解]：
依题意，本问题为第一类边值问题，即
由于电位函数在x方向具有周期性、在y方向具有单调性，得A1n=0和A2n=0。
通解为
由边界条件，当x=0和y=0时，=0，得
A10=0，A1n=0，B10=0，B1n=0
即
又因为当x=a时，=0，得
C0=0，,（n=1,2,3,）
故得
最后，当y=b时，=0，代入上式，有
作傅里叶正弦级数展开，
积分，得
又上式，得
本问题的电位函数解答为
本问题的等位线的分布如图虚线所示。
圆柱坐标系中的平行平面场问题：
设电位函数为（，），满足拉普拉斯方程：
令电位函数为（，）=R（）Q（），代入上式，并理得
式中n2为分离常数，上式转化为下列两个常微分方程：
当n＝0时R（）=A10+A20ln；Q（）=B10+B20
当n0时R（）=A1nn+A2n-n；Q（）=B1ncosn+B2nsinn
得电位函数的通解为
由给定的边界条件，即可确定上式中的各个待定常数，最终得到待求的电位函数。
例4：
一个横截面半径为a，介电常数为1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电中（场强为E0，方向与介质圆柱的轴线相垂直），介质外的介电常数为2，如图所示。
求圆柱体放入后，场域中的电位和电场强度。
[解]：
采用圆柱坐标系，且令z轴与圆柱轴重合，外电场方向与x轴同向，如图所示。
分别以1和2表示圆柱内外的电位函数。
首先，确定定解条件。
选坐标原点为电位参考点，即1=0，=0
因而，均匀外电场E0=E0i对应的电位函数为
0=-xE0=-E0cos
显然，当时介质圆柱体产生的极化电场应当消失，在处的电位应与均匀外电场对应的电位0相一致，即
2=0=-E0cos，
在圆柱表面=a处，介质分界面的边界条件为
1=2
由本例图示可以看出，电场分布关于x轴对称，即1，2（,）=1，2（,-），这意味着特解Q（）是偶函数，所以，B20=B2n=0。
另外，根据场的对称性可以推知，y轴是电位等于零的等位线，即（，/2）＝0，也就是
A10=A20=0,B1ncos（n/2）=0
可知n取奇整数。
然而，对的电位分析可知，B1n=0（n=3，5，…）。
综上讨论，得
1=（C1+D1-1）cos，a
2=（C2+D2-1）cos，a
由=0，1=0可得D1=0。
又由，2=-E0cos得C2=-E0。
最后利用介质分界面的边界条件，有
C1acos=（-E0a+D2/a）cos
1C1cos=2（-E0-D2/a2）cos
解得
，
电位函数的解答为
，a
，a
圆柱介质内外的电场强度为
可见，圆柱体内为均匀电场，且与外加均匀电场方向一致，如
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