圆的有关证明与计算题专题Word下载.docx
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③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
三、解题秘笈：
1、判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：
全等转化；
平行转化；
直径转化；
中线转化等；
有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：
角平分线定理；
等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；
②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：
（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：
CD为⊙O的切线；
（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：
DE是⊙O的切线.
（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：
（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：
CD是⊙O的切线.
2、与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：
如：
①构建矩形转化线段；
②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；
③构造垂径定理模型：
弦长一半、弦心距、半径；
④构造勾股定理模型；
⑤构造三角函数.
（2）方程思想：
设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：
借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
3、典型基本图型：
图形1：
如图1：
AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：
（1）在“AC平分∠BAE”；
“AD⊥CD”；
“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。
（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；
DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。
（3）如图（4）：
若CK⊥AB于K，则：
①CK=CD；
BK=DE；
CK=
BE=DC；
AE+AB=2BK=2AD;
②⊿ADC∽⊿ACB
AC2=AD•AB
（4）在
（1）中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD
于E时（如图5），则：
①DE=GB；
②DC=CG；
③AD+BG=AB；
④AD•BG=
=DC2
图形2：
如图：
Rt⊿ABC中，∠ACB=90°
。
点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：
（1）在“BO平分∠CBA”;
“BO∥DE”;
“AB是⊙O的切线”;
“BD=BC”。
四个论断中，知一推三。
（2）①G是⊿BCD的内心；
②；
③⊿BCO∽⊿CDE
BO•DE=CO•CE=
CE2；
（3）在图
（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。
（4）如图（3），若①BC=CE，则：
②
=
=tan∠ADE；
③BC：
AC：
AB=3：
4：
5；
（在①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH
图形3：
Rt⊿ABC中，∠ABC=90°
以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：
如右图：
（1）DE切⊙O
E是BC的中点；
（2）若DE切⊙O，则：
①DE=BE=CE；
②D、O、B、E四点共圆
∠CED=2∠A
③CD·
CA=4BE2,
图形特殊化：
在
（1）的条件下
DE∥AB
⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；
如图2：
若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：
①
;
图形4：
如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，
基本结论有：
（1）DE⊥AC
DE切⊙O；
（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：
①⊿DFC是等腰三角形；
②EF=EC；
③D是的中点。
④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD，产生母子三角形。
图形5：
：
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，基本结论有：
（1）如图1：
①AD+BC＝CD；
②∠COD=∠AEB=90°
；
③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；
（注：
在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·
BC＝
2=R2；
（2）如图2，连AE、CO，则有：
CO∥AE，CO•AE=2R2（与基本图形2重合）
（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：
EG=FG.
图形6：
直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。
（1）PQ=PR（⊿PQR是等腰三角形）；
（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一
（3）2PR·
RE=BR·
RQ=BE·
2R=AB2
图形7：
如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。
（1）如图1，①BD=CD=ID；
②DI2＝DE·
DA；
③∠AIB=90°
+
∠ACB;
（2）如图2，若∠BAC=60°
，则：
BD+CE=BC.
图形8：
已知，AB是⊙O的直径，C是中点，CD⊥AB于D。
BG交CD、AC
于E、F。
（1）CD=
BG；
BE=EF=CE；
GF=2DE
（反之，由CD=
BG或BE=EF可得：
C是中点）
（2）OE=
AF，OE∥AC；
⊿ODE∽⊿AGF
（3）BE·
BG=BD·
BA
（4）若D是OB的中点，则：
①⊿CEF是等边三角形；
②
四、范例讲解：
1.△ABP中，∠ABP=90°
，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧
，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.
（1）求证：
（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求
的值。
2．直角梯形ABCD中，∠BCD=90°
，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.
⑴求证：
CD为⊙O的切线⑵若
，求
的值
3．如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP。
PC为⊙O的切线。
（2）过D点作DE⊥AB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求
4。
如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。
AC与⊙O相切；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长
5.如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，，过D作AE的垂线，F为垂足.
DF为⊙O的切线；
（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求
的值.
6．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.
EF为⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD=5，求
7．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.
DE=DF；
（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求
8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°
，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.
⊙O与AC相切；
（2）若EF=3，BC=4，求
9．如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.
DE为⊙O的切线；
（2）若BC=
，AE=1，求
的值.
10．如图，BD为⊙O的直径，A为的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.
（2）若AE=2，DE=4，△BDF的面积为
11、如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．
CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE
的长．
12、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.
AD是⊙O的切线；
（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.
13、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD.
BC是⊙O的切线；
（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.
14、如图，AB是半⊙O上的直径，E是
的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F.
且∠ADO=∠B.
CF为⊙O的⊙O切线；
（2）求sin∠BAD的值.
11、如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．
DF是⊙O的切线．
（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长
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