第七章第三节 空间中的平行关系文档格式.docx

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m

β或m∥β.

当m

β时，又n⊥β，所以m⊥n；

当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n，故m⊥n，故选A.

A

4．（2019·

济宁模拟）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，

侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角

形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　）

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE⊥B1C1

D．A1C1∥平面AB1E

对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又

两直线不平行，故相交，A错误；

对于B，AC与平

面ABB1A1所成的角为60，所以AC不垂直于平面

ABB1A1，故B错误；

对于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，

所以AE⊥B1C1，故C正确；

对于D，AC与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，

所以A1C1与平面AB1E相交，故D错误．

5．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A．m∥lB．m∥n

C．n⊥lD．m⊥n

因为α∩β＝l，所以l

β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.

6．（2019·

重庆六校联考

（一））设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a

α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a

α，b

β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a

对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；

同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；

对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.

D

7．（2019·

宜昌调研）如图所示，在棱长均相等的四棱锥P

－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为

侧棱PA，PB的中点，有下列结论：

①PC∥平面OMN；

②平面PCD∥平面OMN；

③OM⊥PA；

④直线PD与MN所成角的大小为90．

其中正确结论的序号是________．（写出所有正确结论的序

号）

如图所示，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥

平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD

∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，

所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC

∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为

侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB

∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60

，所以直线PD与

MN所成的角即∠PDC，故④错误．故正确的结论为①②③.

①②③

8．如图所示，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，点E，F分别为AD，PC的中点．

（1）证明：

DF∥平面PBE；

（2）求点F到平面PBE的距离．

取PB的中点G，连接EG，FG，则FG∥BC，且FG＝

BC，

∵DE∥BC且DE＝

BC，∴DE∥FG且DE＝FG，

∴四边形DEGF为平行四边形，∴DF∥EG，又DF

平面PBE，EG

平面PBE，∴DF∥平面PBE.

（2）由

（1）知DF∥平面PBE，∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等的，故转化为求点D到平面PBE的距离，设为d.

连接BD.∵VDPBE＝VPBDE，

∴

S△PBE·

d＝

S△BDE·

PD，

由题意可求得PE＝BE＝

，PB＝2

，

∴S△PBE＝

×

2

＝

，又S△BDE＝

DE·

AB＝

1×

2＝1，

∴d＝

.

9．（2019·

昆明七校模拟）一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.

（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

（2）证明：

直线MN∥平面BDH；

（3）过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．

（1）点F，G，H的位置如图所示．

连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN.

∵M，N分别是BC，GH的中点，

∴OM∥CD，且OM＝

CD，

NH∥CD，且NH＝

∴OM∥NH，OM＝NH，

则四边形MNHO是平行四边形，

∴MN∥OH，

又MN

平面BDH，OH

平面BDH，

∴MN∥平面BDH.

（3）由

（2）知OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是正方体的棱长，∴体积比等于底面积之比，即3∶1.

B组　能力提升练

10．（2019·

荆州模拟）如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（　　）

A．KB．H

C．GD．B′

取A′C′的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM

，得四边形EFKM为平行四边形，若P＝K，则AA′∥BB′∥CC′∥KF，故与平面PEF平行的棱超过2条；

HB′∥MK⇒HB′∥EF，若P＝H或P＝B′，则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不满足条件；

连接BC′，则EF∥A′B′∥AB，若P＝G，则AB，A′B′与平面PEF平行．故选C.

11．（2019·

洛阳统考

（一））正方形ABCD和等腰直角三角形DCE组成如图所示的梯形，M，N分别是AC，DE的中点，将△DCE沿CD折起（点E始终不在平面ABCD内），则下列说法一定正确的是（　　）

A．MN∥平面BCE

B．在折起过程中，一定存在某个位置，使MN⊥AC

C．MN⊥AE

D．在折起过程中，不存在某个位置，使DE⊥AD

折起后的图形如图所示，取CD的中点O，连接

MO，NO，则在△ACD中，M，O分别是AC，CD的

中点，∴MO∥AD∥BC，同理NO∥CE，又BC∩CE

＝C，∴平面MON∥平面BCE，∴MN∥平面BCE，故

A正确；

易知MO⊥CD，NO⊥CD，又MO∩NO＝O，

∴CD⊥平面MNO，∴MN⊥CD，若MN⊥AC，又AC∩CD＝C，∴MN⊥平

面ABCD，∴MN⊥MO，又MO＝

AD＝

EC＝NO，∴MN不可能垂直于MO，故MN⊥AC不成立，故B错误；

取CE

的中点Q，连接MQ，则在△ACE中，M，Q分别是AC，CE的中点，∴MQ

∥AE，由图知MQ与MN不可能始终垂直，故C错误，当平面CDE⊥平面

ABCD时，又平面CDE∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，

AD

平面ABCD，∴AD⊥平面CDE，∴AD⊥DE，故

D错误．

12．下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行

B．若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行

C．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行

A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；

对于B选项，如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1

中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，

但这两个平面垂直；

D选项中两平面也可能相交．C正

确．

13．（2019·

杭州模拟）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.

根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.

又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt

△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝

14．（2019·

唐山统一考试）在三棱锥PABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为________．

过点G作EF∥AC，分别交PA、PC于点E、F，过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，分别交AB、BC于点N、M，连接MN（图略），则四边形EFMN是平行四边形，所以

，即EF＝MN＝2，

，即FM＝EN＝2，所以截面的周长为2×

4＝8.

8

15.如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方

形，四条侧棱长均为2

.点G，E，F，H分别是

棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平

面ABCD，BC∥平面GEFH.

GH∥EF；

（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

因为BC∥平面GEFH，BC

平面

PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥

BC.

同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

（2）如图所示，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，

同理可得PO⊥BD.

又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以

PO⊥底面ABCD.

又平面GEFH⊥平面ABCD，且PO

平面

GEFH，所以PO∥平面GEFH.

因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，

所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，

从而GK⊥EF，

所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

从而KB＝

DB＝

OB，即K为OB的中点．

由PO∥GK得GK＝

PO，

即G是PB的中点，且GH＝

BC＝4.

由已知可得OB＝4

PO＝

＝6，

所以GK＝3.

故四边形GEFH的面积S＝

·

GK＝

3＝18.