中考特殊的平行四边形复习.doc
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特殊的平行四边形复习
一.中点四边形问题:
例1.(变式题:
练习第三2和8题)
(2016•兰州)阅读下面材料:
在数学课上,老师请同学思考如下问题:
如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?
小敏在思考问题是,有如下思路:
连接AC.
结合小敏的思路作答
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?
说明理由;参考小敏思考问题方法解决一下问题:
(2)如图2,在
(1)的条件下,若连接AC,BD.
①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;
②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.
二、四边形中的特殊三角形
例2、如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF.延长DB交EF于点N.
(1)求证:
AD=AF;
(2)求证:
BD=EF;
(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.
三、四边形中的折叠问题
本质:
轴对称(全等性,对称性)关键:
根据折叠实现等量转化
(1)根据勾股定理得方程。
(2)根据相似比得方程。
(3)找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题
例3(2015·滨州)如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处,若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为________.
例3例4
例4(2013•遵义)如上图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.
(1)求证:
CM=CN;
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:
1,求的值.
四、正方形中的线段垂直问题
例5如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.
(1)求证:
AF=BE;
(2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?
并说明理由.
五、探究型问题
例6.(2015•甘肃武威)如图,平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF.
(1)求证:
四边形CEDF是平行四边形;
(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.
(直接写出答案,不需要说明理由)
六、四边形中的相似三角形
例7(2015湖南岳阳第22题8分)如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:
△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
一、选择题
1.(2016·山东省菏泽市·3分)在▱ABCD中,AB=3,BC=4,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )
①AC=5;②∠A+∠C=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
2.(2016贵州毕节3分)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:
EC=2:
1,则线段CH的长是( )
A.3B.4C.5D.6
2题图3题图5题图
3.(2016海南3分)如图,矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上,且a∥b,∠1=60°,则∠2的度数为( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
4.(2016河北3分)关于ABCD的叙述,正确的是()
A.若AB⊥BC,则ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,则ABCD是正方形
C.若AC=BD,则ABCD是矩形 D.若AB=AD,则ABCD是正方形
5.(2016河南)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为( )
A.(1,﹣1)B.(﹣1,﹣1)C.(,0)D.(0,﹣)
6.(16福建龙岩)如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为( )A.1B.2C.3D.4
6T题图7题图8题图
7.(2016·四川眉山·3分)把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,边BC与D′C′交于点O,则四边形ABOD′的周长是( )A.B.6C.D.
8.(2016·四川眉山)如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:
①FB垂直平分OC;②△EOB≌△CMB;③DE=EF;④S△AOE:
S△BCM=2:
3.其中正确结论的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个
9.(2016·四川宜宾)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A.4.8B.5C.6D.7.2
9题图11题图12题图13题图
10.(2016·四川攀枝花)下列关于矩形的说法中正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分
11.(2016·四川南充)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
12.(2016·四川泸州)如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE、DB相交于点M,N,则MN的长为( )
A.B.C.D.
13.(2016·湖北荆门)如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是( )
A.△AFD≌△DCEB.AF=ADC.AB=AFD.BE=AD﹣DF
二、填空题
1.(2016·内蒙古包头·3分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 度.
1题图2题图3题图4题图
2.(16西宁)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长是 .
3.(2016陕西)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为 .
4.(2016江西)如图是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是
5.(2016·辽宁丹东)如图,正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB延长线于点F,则EF的长为 .
D
O
C
E
B
A
图4
5题图6题图7题图8题图
6.(2016·四川南充)如图,菱形ABCD的周长是8cm,AB的长是 cm.
7.(2016·四川内江)如图4,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=______.
8.(2016·黑龙江齐齐哈尔)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件 使其成为菱形(只填一个即可).
9.(2016·齐齐哈尔)有一面积为5的等腰三角形,它的一个内角是30°,则以它的腰长为边的正方形的面积为 .
10.(16昆明)如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是 .
11.(2016海南4分)如图,四边形ABCD是轴对称图形,且直线AC是对称轴,AB∥CD,则下列结论:
①AC⊥BD;②AD∥BC;③四边形ABCD是菱形;④△ABD≌△CDB.其中正确的是 (只填写序号)
10题图11题图·12题图13题图
12.(2016·山东省滨州市·4分)如图,矩形ABCD中,AB=,BC=,点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点F,则= .
13.(16哈尔滨)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EG⊥AC,AB=6,则FG的长为 .
三.解答题
1.已知:
如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E是CD中点,连结OE.过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F,连结DF.求证:
(1)△ODE≌△FCE;
(2)四边形ODFC是菱形.
2.D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB、OC,点G、F分别是OB、OC的中点,顺次连接点D、G、F、E.
(1)如图,当点O在△ABC的内部时,求证:
四边形DGFE是平行四边形;
(2)若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?
(直接写出答案,不需要说明理由.)