例1.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是（）
（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段
例2.已知的周长是16，，B,则动点的轨迹方程是（）
（A）（B）（C）（D）
例3.若F（c，0）是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是（）
（A）（c，）（C）（0，±b）（D）不存在
例4设F1（-c，0）、F2（c，0）是椭圆+=1（a>b>0）的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为（）
（A）（B）（C）（D）
例5.P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若，则P点的坐标是.
例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴与短轴的和为18，焦距为6;.
（2）焦点坐标为,,并且经过点（2，1）;.
（3）椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的;____.
（4）离心率为，经过点（2，0）;.
例7.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是．
二、双曲线
1.双曲线的定义：
第一定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a（0<2a<|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
第二定义:
平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数叫做双曲线的离心率
例8.命题甲：
动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a（a>0）；命题乙：
点P的轨迹是双曲线。
则命题甲是命题乙的（）
（A）充要条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）不充分也不必要条件
例9到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23的点的轨迹是（）
（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线
例10.过点（2，-2）且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（）
（A）（B）（C）（D）
例11.双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足,则的面积为（）
例12设的顶点，，且，则第三个顶点C的轨迹方程是________.
例13.根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；
⑵与双曲线有公共焦点，且过点（，2）.
例14.设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）求直线AB方程；
注：
用两种方法求解（韦达定理法、点差法）
三、.抛物线
1.抛物线的定义:
平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（点F不在上）.定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程及其几何性质（如下表所示）
标准方程
图形
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点
顶点
原点
准线
离心率
1
注:
通径为2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.
例15.顶点在原点，焦点是的抛物线方程是（）
（A）x2=8y（B）x2=-8y（C）y2=8x（D）y2=-8x
例16抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（）
（A）（B）（C）（D）0
例17.过点P（0,1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有（）
（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条
例18.过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于（）
（A）2a（B）（C）（D）
例19若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为（）
（A）（3，3）（B）（2，2）（C）（，1）（D）（0，0）
例20动圆M过点F（0，2）且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是.
例21过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝_________.
例22以抛物线的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.
例23.过点（-1,0）的直线l与抛物线y2=6x有公共点，则直线l的斜率的范围是.
例24设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。
（Ⅰ）试证:
抛物线顶点在圆H的圆周上；
（Ⅱ）求圆H的面积最小时直线AB的方程.
四、求点的轨迹问题
如何求曲线（点的轨迹）方程,它一般分为两类基本题型：
一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法（相关点法）外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
求轨迹方程的一般步骤:
建、设、现（限）、代、化.
例25.已知两点M（－2，0），N（2，0），点P满足=12，则点P的轨迹方程为（）
例26.⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，|O1O2|=4，动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，则动圆圆心轨迹是（）
（A）椭圆（B）抛物线（C）双曲线（D）双曲线的一支
例27.动点P在抛物线y2=-6x上运动,定点A（0,1）,线段PA中点的轨迹方程是（）
（A）（2y+1）2=-12x（B）（2y+1）2=12x（C）（2y-1）2=-12x（D）（2y-1）2=12x
例28.过点（2，0）与圆相内切的圆的圆心的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆
例29.已知的周长是16，，B则动点的轨迹方程是（）
（A）（B）（C）（D）
例30.椭圆中斜率为的平行弦中点的轨迹方程为.
例31.已知动圆P与定圆C:
（x＋2）＋y＝１相外切，又与定直线l：
x＝１相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是______________.
_.
五、圆锥曲线综合问题
直线与圆锥曲线的位置关系
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定
直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
相交、相切、相离.
直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.
⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长
注:
实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已（因为，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则.
注:
1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：
一是韦达定理；二是点差法.
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:
一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
例32.AB为过椭圆=1中心的弦，F（c，0）为椭圆的右焦点，则△AFB的面积最大值是（）
（A）b2（B）ab（C）ac（D）bc
例33若直线y＝kx＋2与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
, ,,
例34.若双曲线x2－y2=1右支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为，则a＋b的值是（）.
或（D）2或－2
例35抛物线y=x2上的点到直线2x-y=4的距离最近的点的坐标是（）
）（B）（1,1）（C）（）（D）（2,4）
例36抛物线y2=4x截直线所得弦长为3，则k的值是（）
（A）2（B）-2（C）4（D）-4
例37如果直线与双曲线没有交点，则的取值范围是.
例38已知抛物线上两点关于直线对称，且，那么m的值为.
例39双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?
若存在，试求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.
高中数学选修2--1圆锥曲线
基本知识点与典型题举例答案
一、椭圆
例1.D
例2.B
例3.C先考虑M+m=2a，然后用验证法.
例4.B∵，∴.
例5（3,4）或（-3,4）
例6.
（1）或;
（2）;
（3）或;（4）或.
例7.≤
二、双曲线：
例8.B
例9.C
例10.D
例11.A假设,由双曲线定义且,
解得而由勾股定理得
[点评]考查双曲线定义和方程思想.
例12
例13.⑴设双曲线方程为（λ≠0）,∴∴,
∴双曲线方程为;⑵设双曲线方程为∴,解之得k=4,∴双曲线方程为
评注：
与双曲线共渐近线的双曲线方程为（λ≠0），当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上。
与双曲线共焦点的双曲线为（a2+k>0，b2-k>0）。
比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想.
例14解题思路分析：
法一：
显然AB斜率存在设AB：
y-2=k（x-1）由得：
（2-k2）x2-2k（2-k）x-k2+4k-6=0
当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2）则∴k=1，满足△>0∴直线AB：
y=x+1
法二：
设A（x1,y1），B（x2,y2）则两式相减得：
（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）
∵x1≠x2∴∴∴AB：
y=x+1代入得：
△>0
评注：
法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。
在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。
（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心
设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。
因此
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