角平分线的性质定理和判定.docx
《角平分线的性质定理和判定.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《角平分线的性质定理和判定.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
角平分线的性质定理和判定
课题
11-4角平分线的性质定理和判定
学生姓名
年级
八年级
日期
2012.9.22冯晓娟
第一部分：
知识点回顾
1、角平分线：
把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；
2、角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等：
①平分线上的点；②点到边的距离；
3、角平分线的判定定理：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上
第二部分：
自我评测
知识点
掌握情况
备注
非常好
一般
有待提高
角平分线的定义
角平分线的性质定理
角平分线的判定定理
角平分线的作图
第三部分：
例题剖析
例1.已知：
在等腰Rt△ABC中，AC=BC∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，
（1）求证：
BD+DE=AC．
（2）求△DBE的周长．
分析：
（1）因为AC=BC=BD+CD，只要证明CD=DE即可，又因为AD平分∠BAC，则CD=DE；
（2）由
（1）可知AC=BD+DE，由CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，可证△ACD≌△AED，则AC=AE，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB．
解答：
解：
（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∴BC=BD+CD=BD+DE，
AC=BC，
∴AC=BD+DE；
（2）∵CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，
∵AC=BD+DE，
∴BD+DE=AE，
∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．
例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，
求证：
AM平分∠DAB．
分析：
首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．
解答：
证明：
作ME⊥AD，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
例3.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？
．
分析：
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．
解答：
解：
如图，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC=×22×3=33．
故答案为：
33．
第四部分：
典型例题
例1、已知：
如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：
OB=OC．
证明：
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．
∵AO平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
在△AOD和△AOE中，
∠ADC＝∠AEB
∠1＝∠2
OA＝OA
，
∴△AOD≌△AOE（AAS）．
∴OD=OE．
在△BOD和△COE中，
∠BDC＝∠CEB
OD＝OE
∠BOD＝∠COE
，
∴△BOD≌△COE（ASA）．
∴OB=OC．
【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，
求证：
∠PCB+∠BAP=180º
过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．
解答：
证明：
如图，过点P作PE⊥BA于E，
∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，
∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，
在Rt△PEA与Rt△PFC中
PA＝PC
PE＝PF
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴∠PAE=∠PCB，
∵∠BAP+∠PAE=180°，
∴∠PCB+∠BAP=180°．
点评：
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
例2、已知：
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？
请你证明你的结论；
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？
请说明理由．
3）CD、AB、AD间？
直接写出结果
首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．
（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．
解答：
（1）证明：
作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
（2）解：
DM⊥AM，
理由是：
∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠DMA=180°-（∠1+∠3）=90°，
即DM⊥AM．
（3）解：
CD+AB=AD，
理由是：
∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
DM＝DM
EM＝CM
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．
点评：
本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【变式练习】1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：
点P在∠C的平分线上．
首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可．
解答：
证明：
如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，
∵P在∠BAC的平分线AD上，
∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，
∴PM=PN，
∴PQ=PN，
∴点P在∠C的平分线．
点评：
本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：
到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答本题的关键
例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．
过点D作DF⊥BC于点F．根据角平分线的性质，得DE=DF=2，再根据三角形的面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积即可．
解答：
解：
过点D作DF⊥BC于点F．
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DF=DE=2．
∴△ABC的面积为
1
2
（9×2+6×2）＝15cm2
【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：
AD平分∠BAC．
首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到
1
2
BF•DM=
1
2
DN•CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．
解答：
证明：
过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为：
1
2
BF•DM，
△DCE的面积为：
1
2
DN•CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴
1
2
BF•DM=
1
2
DN•CE，
∵CE=BF，
∴DM=DN，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）
例4.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．
（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1：
10 000，用尺规作图）．
（2）求出仓库G到铁路的实际距离。
（1）利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上；
（2）利用图上距离与实际距离的比值进行计算即可．
解答：
解：
（1）∵其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，
∴利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上，再用刻度尺量出5cm即可得出G点．
（2）仓库到铁路的图上距离为5cm，
则实际距离为5×10 000=50 000cm=500m．
答：
仓库到铁路的实际距离为500m．
【变式练习】如图，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到
三条公路的距离相等，试问：
（1）可选择的地点有几处？
（2）你能画出塔台的位置吗？
第五部分：
思维误区
一、忽视“垂直”条件
例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
求证：
AF为∠BAC的平分线。
错误解法：
正确解法：
∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）
∴∠CDF=∠BEF=90°
∵∠DFC=∠BFE（对顶角相等），BF=CF（已知）
∴△DFC≌△EFB（S.S.A.）
∴DF=EF（全等三角形对应边相等）
∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知）
∴点F在∠BAC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
即AF为∠BAC的平分线
错因：
在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直”的条件。
第六部分：
方法规律
（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。
（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。
常用方法有：
使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。
（3）注意：
许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．
第七部分：
巩固练习
A组
一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）
1．三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点
C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（）
A、12cm B、10cm C、14cm D、11cm
3．如图2所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（）
A.
升级会员 