基本函数求导公式Word文档下载推荐.docx
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.1x2
（arctanx）
（15）
1x2
函数的和、差、
积、
商的求导法则
设u
u（x）
v
v（x）都可导，则
（u
v）
uv
（3）
（uv）
uvuv
基本初等函数求导公式
反函数求导法则
⑷
（cosx）
sinx
⑹
（cotx）
2cscx
（8）
（cscx）
cscxcotx
（10）
（ex）ex
（12）
（lnx）
x
（arccosx）
（14）
（arccotx）
（16）
⑵（X）X
（2）（Cu）Cu（C是常数）
u
（4）
2v
若函数x（y）在某区间1y内可导、单调且
（y）0，则它的反函数yf（x）在对应
区间Ix内也可导，且
f（x）
（y）
dy
dx
复合函数求导法则
设而吃=倾对且/仪）及血朗都可导”则复合函数/[^（x）i的导数为
dydydu旷石临或y1=f（ulQG）
2.双曲函数与反双曲函数的导数.
或曲函数与反双曲函数都是初等函数.它们的导数都可以用前面的求导公式和求导袪则求出*
可以推出下表列出的公式：
（shx/-chx
（chr）'
=shx
chA：
（arsliv/=f——?
Vl+x
（archx）r=『】
Vx2-1
（arthx）=2
1-x
一、一个方程的情形
在第二章第六节中我们已经提出了隐函数
的概念，并且指出了不经过显化直接由方程
f（^y）=Q
求它所确定的隐函数的方法。
现在介绍隐函数存
在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐
函数的导数公式，
隐函数存在定理1设函数F（x,y）在点PEyo）的
某一邻域内具有连续的偏导数，且Fgyo）0,
FySyo）0，则方程F（x,y）=0在点My。
）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数yf（x），它满足条件y0f（xo），并有
dyFx
dxFy
（2）公式
（2）就是隐函数的求
导公式
这个定理我们不证。
现仅就公式
（2）作如下推
将方程⑴所确定的函数yf（x）代入，得恒等式
F（x,f（x））0,
其左端可以看作是x的一个复合函数，求这
个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒
等，即得
FFdy0,
xydx
由于Fy连续，且口30）0，所以存在（xo,yo）的一个
邻域，在这个邻域内Fy0，于是得
dyFxdxFy'
如果F（x,y）的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式
（2）的两端看作x的复合函数而再一次求导，即得
2
dyFxFxdy
dx2xFyyFydx
FxxFyFyzFx
FxxFy22FXyFxF
FxyFyFyyFxFx
FTF；
yFyyFx2
F3.
y
例1验证方程x2y210在点（0,1）的某一邻域
内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时,yi的隐函数y心），并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值。
解设F（x,y）x2y21，则
Fx2x,Fy2y,F（0,1）。
尺心）20.因此由定理1可知，方程x2y210在点（0,1）的某邻域内能唯一确定一
个单值且有连续导数、当x=0时，y1的隐函数
yf（x）
F面求这函数的一阶和二阶导数
d2yyxy
22dx=y
d2ydx2
隐函数存在定理还可以推广到多元函数•既然一个二元方程
（1）可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程
F（x,y,z）=0
（3）就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数
F（xy,z）的性质来断定由方程F（xy,z）=0所确定的二元函数z=（x,y）的存在，以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理2设函数F（x,y,z）在点
P（xo,yo,zo）的某一邻域内具有连续的偏导数，且
F（xo,yo,zo）0,Fz（xo,yo,zo）0，则方程F（x,y,z）=0在点
（Xo，yo，zo）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连
Zof（x°
y°
），并有
ZFxZFy
x=Fzy=Fz
作如下推导.
法则得
z
Fx+Fzx=0
Fy+Fzy=0。
因为Fz连续，且Fz（x0，y0，z0）0,所以存在点（X0,y0，z0）的一个邻域，在这个邻域内Fz半0,于是得
zFxzFy
x=Fzy=Fz
2z例2设x2y2z24z0，求=
解设F（x，y,z）=x2y2z24z，则Fx=2x,Fz=2z4
应用公式（4），得
再一次x对求偏导数，得
（2z）x
（2z）2
、方程组的情形
F面我们将隐函数存在定理作另一方面的
推广。
我们不仅增加方程中变量的个数。
而且增
加方程的个数，例如，考虑方程组
F（x,y,u,v）0,
G（x,y,u,z）0.
（5）这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组（5）就有可能确定两个二元函
数。
在这种情形下，我们可以由函数F、G的性
质来断定由方程组（5）所确定的两个二元函数的
存在，以及它们的性质。
我们有下面的定理。
隐函数存在定理3设函数F（x,y,u,v）、G（x,y,u,v）
在点po（X0,yo,U0,V0）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F（x0，y0，u0，vo）0，G（xo,y0，u0，v0）0,且偏导
数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）:
在点Po（xo，yo，Uo,Vo）不等于零，则方程组F（x,y,u,v）0，
G（x,y,u,v）0在点（xo,yo，Uo，Vo）的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数uu（x，y），vv（x,y），它满足条件UoU（Xo,yo）,vov（Xo,Uo），并有
FxFv
GxGv
u1（F,G）
FuFv
J
xJ（x,v）
GuGv
FuFx
GuGx
1（F,G）
J（u,x）
（6）
FyFv
Gy
Gv
（F,G）
Fu
Fv
j
（y,v）
Fy|
Gu
（u,y）
这个定理我们不证.
uuvv例3设xuyvo,yuXV1，求匚，y,匚和y.
解此题可直接利用公式（6），但也可依照推
导公式（6）的方法来求解。
下面我们利用后一种方
法来做。
将所给方程的两边对x求导并移项，得
Xyu,
xx
uvyxv.
Jxy220
在Jyxxy0的条件下，
uy
vx
xy
yx
xu
yv
xuyv
-22，
yuxv
~22-
将所给方程的两边对y求导，用同样方法在
Jx2y2
0的条件下可得
xuyv—22.
uxvyu
—~22，
yxy
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