全国自考复变函数与积分变换的试卷及答案.doc

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全国2010年4月自学考试复变函数与积分变换试题

课程代码：

02199

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.arg（-1+）=（）

A.- B.

C. D.+2nπ

2.w=|z|2在z=0（）

A.不连续 B.可导

C.不可导 D.解析

3.设z=x+iy，则下列函数为解析函数的是（）

A.f（z）=x2-y2+i2xy B.f（z）=x-iy

C.f（z）=x+i2y D.f（z）=2x+iy

4.设C为由z=-1到z=l的上半圆周|z|=1，则=（）

A.2πi B.0

C.1 D.2

5.设C为正向圆周|z|=1，则=（）

A.-πi B.0

C.πi D.2πi

6.设C为正向圆周|z|=2，则dz=（）

A.0 B.e-1

C.2πi D.-πe-1i

7.z=0是的极点，其阶数为（）

A.1 B.2

C.3 D.4

8.以z=0为本性奇点的函数是（）

A. B.

C. D.

9.设f（z）的罗朗展开式为-+（z-1）+2（z-l）2+…+n（z-1）n+…则Res[f（z）,1]=（）

A.-2 B.-1

C.1 D.2

10.设z=a为解析函数f（z）的m阶零点，则函数在z=a的留数为（）

A.-m B.-m+l

C.m-1 D.m

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分,共12分）

请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.|z-i|=|z-1|的图形是_______________.

12.设z=ii，则Imz=_______________.

13.设C为由点z=-l-i到点z=l+i的直线段，则dz=_______________.

14.设C是顶点为z=±,z=±的菱形的正向边界，则dz=______________.

15.设C为正向圆周|z|=1，则coszdz=_________.

16.函数在点z=4的泰勒级数的收敛半径为_________.

三、计算题（本大题共8小题，共52分）

17.设z=x+iy,求复数的实部与虚部.（6分）

18.求复数i8-4i25+i的模.（6分）

19.求f（z）=（z-1）2ez在z=1的泰勒展开式.（6分）

20.求f（z）=在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.（6分）

21.求解方程cosz=2.（7分）

22.设z=x+iy,试证v（x,y）=x2+2xy-y2为调和函数，并求解析函数f（z）=u（x,y）+iv（x,y）.（7分）

23.设C为正向圆周|z-2|=1,求dz.（7分）

24.设C为正向圆周|z|=1，求dz.（7分）

四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。

每小题8分，共16分）

25.

（1）指出f（z）=在上半平面内的所有奇点及类型；

（2）计算f（z）在以上奇点的留数；

（3）利用以上结果计算实积分dx.

26.设D为Z平面上的扇形区域0

（1）w1=f1（z）把D映射为W1平面的上半平面Imw1>0;

（2）w=f2（w1）把Imw1>0映射为W平面上的单位圆盘|w|<1，并且满足f2（2i）=0;

（3）w=f（z）把Z平面上的区域D映射为W平面上的单位圆盘|w|<1.

27.用拉普拉斯变换解方程y（t）=sint-2

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