概率23 互斥事件文档格式.docx

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题型一　互斥事件、对立事件的概念

例1　从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张）中，任取一张．

（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

反思与感悟　1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．

2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．

跟踪训练1　从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是（　　）

A．至少有一个红球与都是红球

B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球

D．恰有一个红球与恰有两个红球

题型二　和事件的概念

例2　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：

（1）请举出符合包含关系、相等关系的事件；

（2）利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．

反思与感悟　事件间运算方法：

（1）利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．

（2）利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．

跟踪训练2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：

（1）事件D与事件A、B是什么样的运算关系？

（2）事件C与事件A的交事件是什么事件？

题型三　对立事件、互斥事件的概率

例3　同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．

反思与感悟　1.互斥事件的概率的加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．

2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．

3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．

跟踪训练3　某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．

求复杂事件的概率

例4　玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P（A）＝

，P（B）＝

，P（C）＝

，P（D）＝

.

（1）求“取出1个球为红球或黑球”的概率；

（2）求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．

解后反思　求复杂事件的概率通常有两种方法：

一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；

二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P（A）＝1－P（B）（B是A的对立事件）．

1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．

2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．

3．求复杂事件的概率通常有两种方法：

（1）将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；

（2）先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．

1．给出以下结论：

①互斥事件一定对立；

②对立事件一定互斥；

③互斥事件不一定对立；

④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；

⑤事件A与B互斥，则有P（A）＝1－P（B）．其中正确命题的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

2．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（　　）

A．互斥不对立B．对立不互斥

C．互斥且对立D．不互斥、不对立

3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）

A．“至少有1个白球”和“都是红球”

B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”

C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”

D．“至多有1个白球”和“都是红球”

4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（　　）

A．A⊆DB．B∩D＝∅

C．A∪C＝DD．A∪C＝B∪D

5．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是

，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是（　　）

A.

B.

C.

D.

6．从几个数中任取实数x，若x∈（－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈（－1,0）的概率是________．

7．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为

，则5点或6点至少出现一个的概率是________．

8．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是

，取到黑球或黄球的概率是

，取到黄球或绿球的概率是

.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．

一、选择题

1．已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.2，则P（A＋B）等于（　　）

A．0.3B．0.2

C．0.1D．不确定

2．若A、B是互斥事件，则（　　）

A．P（A＋B）<

1B．P（A＋B）＝1

C．P（A＋B）>

1D．P（A＋B）≤1

3．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为（　　）

A．0.09B．0.97

C．0.99D．0.96

4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）

5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：

①恰有一个偶数和恰有一个奇数；

②至少有一个奇数和两个都是奇数；

③至少有一个奇数和两个都是偶数；

④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是（　　）

A．①B．②④

C．③D．①③

6．下列四个命题：

①对立事件一定是互斥事件；

②若A，B为两个事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；

③若事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1；

④事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为

.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋

（

表示事件B的对立事件）发生的概率为（　　）

B.

C.

二、填空题

8．若A，B为互斥事件，P（A）＝0.4，P（A＋B）＝0.7，则P（B）＝________.

9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为

，则参加联欢会的教师共有________人．

10．对一批产品的长度（单位：

毫米）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25）上的为一等品，在区间[15,20）和区间[25,30）上的为二等品，在区间[10,15）和[30,35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．

三、解答题

12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是

解　从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的．

由题意，得

即

解得

故取到黑球的概率是

，取到黄球的概率是

，取到绿球的概率是

13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．

血型

A

B

AB

O

该血型的人所占比例

0.28

0.29

0.08

0.35

已知同种血型的人互相可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：

（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

解　

（1）对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P（A′）＝0.28，P（B′）＝0.29，P（C′）＝0.08，P（D′）＝0.35.

由于B，O型血可以输给B型血的人，

因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，

根据互斥事件的概率加法公式，得：

P（B′＋D′）＝P（B′）＋P（D′）＝0.29＋0.35＝0.64.

（2）由于A，AB型血不能输给B型血的人，

因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，

所以P（A′＋C′）＝P（A′）＋P（C′）＝0.28＋0.08＝0.36.

[学习目标]　1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．

知识点一　几何概型的含义

1．几何概型的定义

向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P（点M落在G1）＝

，则称这种模型为几何概型．

2．几何概型的特点

（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个．

（2）每个基本事件出现的可能性相等．

思考　几何概型与古典概型有何区别？

答　几何概型与古典概型的异同点

异同　

类型　

古典概型

几何概型

不同点（基本事件的个数）

一次试验的所有可能出现的结果（基本事件）有有限个

一次试验的所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个

相同点（基本事件发生的等可能性）

每一个试验结果（即基本事件）发生的可能性大小相等

知识点二　几何概型的概率公式

P（A）＝

思考　计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？

答　首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．

题型一　与长度有关的几何概型

例1　取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？

解　如图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A.

把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1m，所以事件A发生的概率为P（A）＝

反思与感悟　在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．

跟踪训练1　平面上画了一组彼此平行且相距2a的平行线．把一枚半径r＜a的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．

解　设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A.

如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰．

故P（A）＝

＝

题型二　与面积有关的几何概型

例2　如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

解　记“射中黄心”为事件B.

因为中靶点随机地落在面积为

cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为

cm2的黄心内时，事件B发生，

所以事件B发生的概率P（B）＝

＝0.01.

反思与感悟　解此类几何概型问题的关键：

（1）根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．

（2）找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．

跟踪训练2　一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．

解　如图所示，区域Ω是长30m、宽20m的长方形．

图中阴影部分表示事件A：

“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．

由于区域Ω的面积为30×

20＝600（m2），阴影部分的面积为30×

20－26×

16＝184（m2）．

所以P（A）＝

≈0.31.

即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31.

题型三　与体积有关的几何概型

例3　已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于

的概率．

解　如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于

设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为

由题意，知区域D（三棱锥S－ABC）的体积为

Sh，

区域d（三棱台ABC－A1B1C1）的体积为

Sh－

·

Sh·

所以点M到底面的距离小于

的概率P＝

反思与感悟　如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．其概率的计算公式为

跟踪训练3　一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．

解　依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：

位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝

题型四　与角度有关的几何概型

例4　如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°

角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．

解　以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．

于是，记事件B＝{射线OA落在∠xOT内}．

因为∠xOT＝60°

，所以P（B）＝

反思与感悟　当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．

跟踪训练4　如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．

解　因为CM是∠ACB内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB的大小，即为90°

，

所以作AC′＝AC，且∠ACC′＝

＝67.5°

如图，当CM在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有AM＜AC′＝AC，即P（AM＜AC）＝

转化与化归思想

例5　把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．

分析　将长度为a的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．

解　设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x，y，a－x－y，则（x，y）满足的条件为

它所构成的区域为图中的△AOB.

设事件M＝{能构成一个三角形}，

则当（x，y）满足下列条件时，事件M发生．

它所构成的区域为图中的阴影部分，

故P（M）＝

故满足条件的概率为

解后反思　解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.

1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是（　　）

答案　C

解析　此数不大于2的概率P＝

2．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为（　　）

答案　A

解析　问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，

所以P＝

3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是

，则阴影区域的面积是（　　）

B.

D．无法计算

解析　在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P（A）＝

，解得S＝

4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是（　　）

解析　由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝

5．在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．

答案　

解析　由几何概型知，P＝

　1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．

2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．

3．注意理解几何概型与古典概型的区别．

4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为