铅球掷远研究数学建模论文Word格式.docx
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-45°
有的高达55°
建立模型讨论以下问题：
1.以出手速度、出手角度、出手髙度为参数，建立铅球掷远的数学模型。
2.在此基础上，给定出手髙度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。
比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。
图1:
铅球掷远场地
二、问题分析
针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。
【1】
三、模型假设
1、人的髙度和铅球投掷初速度V是一定的，当投掷出时间"
后，铅球到达最高点，当时间在5时刻时铅球落地，重力加速度g=9.Sm/s2,速度方向与投掷的水平方向所成角为&
时（0<
^<
90°
）,此情况下铅球落地点与人的距离是S。
2、由于空气阻力对铅球运动的影响非常小，故忽略空气阻力对投掷铅球的影响。
【2】
四、符号定义：
h：
人的高度，假设为1.7m
v：
铅球投掷初速度
0：
速度方向与投掷的水平方向所成角
S：
下铅球落地点与人的距离
g：
重力加速度g=9.Sin/s2
r.：
当投掷出时间儿后，铅球到达最高点
G：
当时间在°
时刻时铅球落地
五、模型建立与求解：
5-1•铅球运动轨迹图形
图2：
铅球运动轨迹图形
5-2•铅球运动轨迹图形示意可求S：
由模拟铅球运动轨迹图形可知，在儿时刻铅球到达最髙点，此时竖直方向上的速度为0。
［3］
.cusinO
/.vsin0=g/［即=
g
最髙点、H（耳）=h+丄g/J=/?
+-~~
22g
可设该抛物线的方程为/7（『）=必_兰巴）2+/?
+$!
£
g2g
•"
、g,"
sin%.v2sin20"
⑴一尹丁）++〒
又•:
S=vcos/,
可得给定出手高度下，下铅球落地点与人的距离s
^^+（¥
）2+
2g
v2sin20
5-3.*大S相对应的&
的求解
由最终式子可以看出，一个人投掷铅球，在能力（即初速度）一定时，所投距离S只与投掷角度有关0有关，要看S是否有最大值，即要看S关于&
的函数式是否有最大值。
（因为sno,当然求最小值无意义，故S有极值且为极大值就为S的最大值）式子竺=0oS，=0
d0
岂二•2cos0（-sin0）+—sin28•匚心"
12/n*2cos20
（v2sin20T
g+
I2g丿
Sf=-^82
Msin2&
cos2&
-J"
sin2&
Lg|芮cos26>
—^Sghv2cos2+v4sin220&
=——（v2sin2^cos2^-2^/zsin20+cos20^8ghv2cos2+v4sin220）
gQgghv'
cos2&
+Jsin220
=0
即v2sin2&
+cos2&
\/8g/e‘cos'
0+v4sin22&
-2g/?
sin20=0
=>
（2^/?
tan20-v2siii2^）2=Sghv2cos20+v4sin22&
4^2/?
2tan22^-4^/jv2tan2^sin20=Sghv2cos23
g力tan'
20-v2tan2^sin20=2v2cos20
ghsin220-v2sin22&
=v2（cos2^+1）cos220
g/isin228=v2[（l—cos220）cos2&
+cos‘2&
+cos‘20]
g〃（l一cos'
20）=v2（l+cos2&
）cos2&
g〃（l-cos2&
）=v2cos2^
cos20=—"
力=
g/W
可得：
当&
=丄arccos—时投掷距离最远。
2gh+v-
5-4.模型结果的图形表示速度v对应的0的函数
由&
占5洽可得速度V对应的0的函数图像。
由图可知，不同的出手速度对应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于45°
o
5-4・较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性研究
（1）•不同速度不同角度下对应的投掷距离
（2）•不同速度不同角度下的S对V的求导
（3）.不同速度不同角度下的S对角度的求导
由以上三幅图可以很直观的看出掷远结果对岀手速度和出手角度的灵敏性之间的关系。
可以看出初速度V、出手角度A因素对投掷距离s的影响度的大小,从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.
（4）•结论和建议结论：
通过上述模型分析，可得出如下结论：
在最佳出手角度的容差围，对于同一个运动员而言•滑步速度是影响投掷距离的最重要的外界因素.其次是出手髙度.故在训练中应注意加强滑步运动和岀手速度的练习；
运动员应根据各自的具体情况，确定与自身相适应的最佳抛射角度.而不必过分追求最佳理论抛射角。
建议：
（1）选拔投掷铅球的运动员时.要选身髙体壮、爆发力强的运动员.这是因为当出手角度、岀手速度一定时•身髙者其岀手髙度必然髙.故有助于增加投掷距离。
（2）加强爆发力和出手速度的训练.有利于提髙投掷距离。
（3）为了更好的利用上述结论作为指导，在日常的投掷训练中应注意以下要领:
滑步时应低、平、快；
过渡阶段随着左腿低而快地直抵趾板下沿•推體侧移.使铅球低而远的远离出手点；
最后发力阶段突岀向前性。
六、模型的评价
（1）上面的模型忽略了铅球在空气中运动时受到的空气阻力的影响，重力加速度随地域不同的变化，出手高度因运动员个体差异引起的不同等，如果加上以上因素，得岀的公式将会更加准确，但处理过程会变得很复杂；
（2）铅球投掷问题的数学模型，可以应用于铁饼、标枪或篮球投篮等投掷问题；
（3）该模型可以得出初速度V、出手角度A因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.
七、参考文献
[1]萧树铁：
《数学实验》，高等教育
【2】美霞.严波涛.吴廷禧.铅球投掷最佳岀手角度的假设检验[J]・体育学院学报
【3】来福.曾文艺数学模型与数学建模[M]:
师大学
七、附录
Matlab程序：
%由角度a粗初速度v求最大投掷距离％
functionf=fun_s（a,v）
f
=（2.*1.7.*v.*v.*cos（a）.*cos（a）./9.8+（v.*v.*sin（2.*a）./2/9.8）.⑵.“0.5+v.*v.*sin（2*a
）./2./9・8；
%不同速度不同角度下的S对冷度的求导函数文件％
functionf=fun_da（a,v）
h=l.7；
f=.4.*sin（2*a）.*cos（2*a）/9.8/9.8-2.*h.*v.*v.*sin（2*a）./9.8）./9.8./
sqrt（8*9.8*h.*v.*v.*cos（a）."
2+v."
4.*sin（2*a）."
2）+v.2.*cos（2*a）./9.8；
%『不同速度不同角度下的S对速度的求导函数文件％
functionf=fun_dv（v.a）
w=4.*1.7.*v.*cos（a）.*cos（a）./9.8+v.»
v.*v.♦sin（2.*a）.*sin（2.*a）./9.8./9.8；
q=（2.*1.7.*v.*v.*cos（a）.*cos（a）./9.8+（v.*v.*sin（2.*a）./2/9.8）."
2）.0.5；
f=1/2.*w./q+v.*sin（2*a）./2./9.8；
%在给定速度Y下，投掷距离S最大时，对应的角度f%
Functionf=fun_sv（v）
f=l/2*acos（l.7*9.8/（1.7*9.8+v*v））/pi*180；
%在假设运动员的身高H为1.7H,重力G为9.8o的情况下.%%可得不同速度¥
时，达到投掷距离S最大时对应的余度a。
%fplot（*fun_sv*,[0.100]）；
xlabel（r速度Vm/sr）；
ylabel（r角度°
r）；
title（'
不同速度下得到最大投掷速度对应的角度值’）；
axis（[0100060]）；
%%
%figure%
v=1inspace（0,20,100）；
a=1inspace（0.pi/2.100）:
[A.V]=meshgrid（a,v）；
S=fun_s（A,V）；
surf（A,V\S）
ylabel（r速度Vra/sr）；
xlabel（f角度八）;
zlabel（r投掷距离'
）；
titleC不同速度不同角度下的距离’）；
axis（[0pi/2020050]）；
shadingflat
%
dv=fun_dv（V.A）
surf（A/3.14*180.Wdv）
xlabel（r角度°
'
ylabel（r速度Vra/sr）；
zlabel（r不同角度下的dv*）；
titleC不同速度不同角度下的S对V的求导'
axis（[09002003]）；
shadingflat
%figure
da=fun_da（A,V）；
surf（A/3.14*180.V.da）；
xlabel（'
角度°
ylabel（r速度Vm/sr）；
zlabel（r不同角度下的da*）；
titleC不同速度不同角度下的S对角度的求导'
axis（[090020-4545]）；
%作者：
圻圻之火％
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