高考数学数列专题突破.doc
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第一部分等差数列、等比数列的概念及求和
一、选择题
1.（2009年广东卷文）已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=
A.B.C.D.2
【答案】B
【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B
2.（2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于
A.-1 B.1 C.3 D.7
【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。
【答案】B
3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,,则等于
A.18B.24C.60D.90
【答案】C
【解析】由得得,再由得则,所以,.故选C
4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）
A．13B．35C．49D．63
【解析】故选C.
或由,
所以故选C.
5.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于
A．1BC.-2D3
【答案】：
C
[解析]∵且.故选C
6.（2009辽宁卷文）已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差d＝
A.－2B.－C.D.2
【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2（a3＋d）＝2d＝－1Þd＝－
【答案】B
7.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是
A.90B.100C.145D.190
【答案】B
【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100
8.（2009宁夏海南卷文）等差数列的前n项和为，已知，,则
A.38B.20C.10D.9
【答案】C
【解析】因为是等差数列，所以，，由，得：
2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。
9..（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和
二、填空题
10.（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=
答案24
解析是等差数列,由,得
.
11.（2009浙江理）设等比数列的公比，前项和为，则．
答案：
15
解析对于
12.（2009北京文）若数列满足：
，则；前8项的和.（用数字作答）
答案225
.解析本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算的考查.
，
易知，∴应填255.
13.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{}的前n项和为。
若，则=×
答案：
3
解析：
本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3
14.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则
解析为等差数列，
答案9
15.（2009辽宁卷理）等差数列的前项和为，且则
解析∵Sn＝na1＋n（n－1）d
∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d
∴6S5－5S3＝30a1＋60d－（15a1＋15d）＝15a1＋45d＝15（a1＋3d）＝15a4
答案
三、解答题
16.（2009浙江文）设为数列的前项和，，，其中是常数．
（I）求及；
（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
解（Ⅰ）当，
（）
经验，（）式成立，
（Ⅱ）成等比数列，，
即，整理得：
，
对任意的成立，
17.（2009北京文）设数列的通项公式为.数列定义如下：
对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得？
如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
解（Ⅰ）由题意，得，解，得.
∴成立的所有n中的最小整数为7，即.
（Ⅱ）由题意，得，
对于正整数，由，得.
根据的定义可知
当时，；当时，.
∴
.
（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.
∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m都有
，即对任意的正整数m都成立.
当（或）时，得（或），
这与上述结论矛盾！
当，即时，得，解得.
∴存在p和q，使得；
p和q的取值范围分别是，..
18.（2009山东卷文）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数）的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记求数列的前项和
解:
因为对任意的,点，均在函数且均为常数）的图像上.所以得,
当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列,所以,公比为,所以
（2）当b=2时，,
则
相减,得
所以
【命题立意】:
本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.
19.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{}中，求{}前n项和.
解析：
本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。
解：
设的公差为，则
即
解得
因此
20.（2009安徽卷文）已知数列{}的前n项和，数列{}的前n项和
（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；
（Ⅱ）设，证明：
当且仅当n≥3时，＜
【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。
【解析】
（1）由于
当时,
又当时
数列项与等比数列,其首项为1,公比为
（2）由
（1）知
由即即
又时成立,即由于恒成立.
因此,当且仅当时,
21.（2009江西卷文）数列的通项，其前n项和为.
（1）求;
（2）求数列｛｝的前n项和.
解:
（1）由于,故
故（）
（2）
两式相减得
故
22.（2009天津卷文）已知等差数列的公差d不为0，设
（Ⅰ）若,求数列的通项公式；
（Ⅱ）若成等比数列，求q的值。
（Ⅲ）若
（1）解：
由题设，
代入解得，所以
（2）解：
当成等比数列，所以，即，注意到，整理得
（3）证明：
由题设，可得，则
①
②
①-②得，
①+②得，
③
③式两边同乘以q，得
所以
（3）证明：
=
因为，所以
若，取i=n，
若，取i满足，且，
由
（1）
（2）及题设知，，且
①当时，，由，
即，
所以
因此
②当时，同理可得因此
综上，
【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。
23.（2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为已知
（I）设，证明数列是等比数列
（II）求数列的通项公式。
解：
（I）由及，有
由，．．．① 则当时，有．．．．．②
②－①得
又，是首项，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得，
数列是首项为，公差为的等比数列．
，
评析：
第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．
第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：
，主要的处理手段是两边除以．
总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。
具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。
也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
24.（2009辽宁卷文）等比数列{}的前n项和为，已知,,成等差数列
（1）求{}的公比q；
（2）求－＝3，求
解：
（Ⅰ）依题意有
由于，故
又，从而5分
（Ⅱ）由已知可得
故
从而10分
25.（2009陕西卷文）已知数列满足，.
令，证明：
是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式。
（1）证
当时，
所以是以1为首项，为公比的等比数列。
（2）解由
（1）知
当时，
当时，。
所以。
26.（2009湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，
且满足a3a6＝55,a2+a7＝16.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：
an＝＝，求数列{bn}的前n项和Sn
解
（1）解：
设等差数列的公差为d，则依题设d>0
由a2+a7＝16.得①
由得②
由①得将其代入②得。
即
（2）令
两式相减得
于是
=-4=
27.（2009福建卷文）等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
解：
（I）设的公比为
由已知得，解得
（Ⅱ）由（I）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
28（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）
已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：
；
（Ⅲ）求证：
．
解：
（Ⅰ），所以
（Ⅱ）由得即
所以当时，于是
所以
（Ⅲ）当时，结论成立
当时，有
所以
2005——2008年高考题
一、选择题
1.（2008天津）若等差数列的前5项和，且，则（）
A.12 B.13 C.14 D.15
答案B
2.（2008陕西）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）
A．64 B．100 C．110 D．120
答
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