高二数学上学期期末测试卷(理科)北师大版.doc
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高二数学上学期期末测试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是 （）
A．所有被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
2．若的 （）
A．充公不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若a、b、c，则下列不等式成立的是 （）
A． B．
C． D．
4．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是 （）
A． B． C． D．
5．已知数列{an}是逐项递减的等比数列，其首项a1<0，则其公比q的取值范围是（）
A．（－，－1） B．（－1，0）
C．（0，1） D．（1，+）
6．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：
① ②
③ ④
其中能推出M、A、B、C四点共面的是 （）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
7．若等于 （）
A．2 B．－2 C． D．
8．已知数列{an}，如果是首项为1，公比为2的等比数列，那么an = （）
A．2n+1－1 B．2n－1 C．2n－1 D．2n+1
9．已知实数x，y满足条件，则z=x+3y的最小值是 （）
A． B． C．12 D．－12
10．下列函数中，最小值为4的是 （）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为 （）
A． B． C． D．
12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 （）
A．海里/小时 B．海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是.
14．点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之
和的最小值是.
15．已知数列{an}的通项公式是设其前n项和为Sn，则S12.
16．已知命题P：
不等式；
命题q：
在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件.
有下列四个结论：
①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真
其中正确结论的序号是.（请把正确结论的序号都填上）
三、解答题：
本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，其上一点A（m，－4）到焦点F的距离为6.求抛物线的方程及点A的坐标.
18．（本小题满分12分）解关于x的不等式
19．（本小题满分12分）在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，原点O是BC的中点，A点坐标为
，D点在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°.
（Ⅰ）求D点坐标；
（Ⅱ）求的值.
20．（本小题满分12分）为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2006年开始出口，当年出口a吨，以后每一年出口量均比上一年减少10%.
（Ⅰ）以2006年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
（Ⅱ）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2006年最多出口多少吨？
（保留一位小数）
参考数据：
0.910≈0.35.
21．（本小题满分12分）如图所示，F1、F2分别为椭圆C：
的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4.
（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积.
22．（本小题满分14分）已知数列是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为d的等差数列；是公差为d2的等差数列（d≠0）.
（Ⅰ）若a20=30，求d；
（Ⅱ）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围：
（Ⅲ）续写已知数列，可以使得是公差为d3的等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，提出同（Ⅱ）类似的问题，（（Ⅱ）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
[参考答案]
一、选择题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
CACBDCDBBCCA
二、填空题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13．14．15．016．①③
三、解答题：
本大题共6小题，共74分.
17．解：
由题意设抛物线方程为………………………………1分
则其准线方程为…………………………………………………………………2分
……………………………………………………………………………4分
……………………………………………………………………6分
故抛物线方程为x2=－8y……………………………………………………………8分
又∵点A（m，－4）在抛物线上，
∴m2=32，
即点A的坐标为……………………………………………12分
18．解：
不等式可化为
……………………………………………………………………………2分
即……………………………………………………………………………4分
上面的不等式等价于
（x－a）（x+2）<0，…………………………………………………………………6分
∴当a>－2时，原不等式的解集是；
当a<－2时，原不等式的解集是；
当a=－2时，原不等式的解集是.…………………………………………12分
19．解：
（Ⅰ）在平面yoz上，过D点作DH⊥BC，垂足为H.
在△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
得，………………………………………………………………2分
………………………………………………………5分
（Ⅱ）由得
………………………………………………………………6分
由题设知：
B（0，－1，0），C（0，1，0），
……………………………………………………………………7分
……………………………………8分
，………………………………………9分
，……………………………………………………………………………10分
………………………………………………12分
20．解：
（Ⅰ）由题意知每年的出口量构成等比数列，且
首项a1=a，公比q=1－10%=0.9，…………………………………………2分
……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）10年出口总量，……………………7分
，
，……………………………………………………………9分
即，…………………………………………………………………10分
∴a≤12.3.
答：
2006年最多出口12.3吨.…………………………………………………12分
21．解：
（Ⅰ）由题设知：
2a=4，即a=2；……………………………………1分
将点代入椭圆方程得
，
解得b2=3；…………………………………………………………………………2分
∴c2=a2－b2=4－3=1，…………………………………………………3分
故椭圆方程为，……………………………………………………4分
焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0），………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，………………………………………………………………6分
∴PQ所在直线方程为，
由得
，……………………………………………………………8分
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
，……………………10分
……………………………12分
22．解：
（Ⅰ）依题意：
a10=1+9·1=10，……………………………………1分
a20=a10+10d
=10+10d
则10+10d=30，
∴d=2.…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵a30=a20+10d2，
a20=10+10d,
，…………………6分
，………………………………………………7分
当时，
………………………………………………………………9分
（Ⅲ）所给数列可推广为无穷数列{an}，
其中是首项为1公差为1的等差数列.
当n≥1时，数列是公差为dn的等差数列.…………11分
研究的问题可以是：
试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围.……………………12分
研究的结论可以是：
由a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3），
依次类推可得a10（n+1）=10（1+d+d2+…+dn）
=，
当d>0时，a10（n+1）的取值范围为等.……………………………13分
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