平稳时间序列模型及其特征Word文档格式.docx

资源描述

平稳时间序列模型及其特征Word文档格式.docx

《平稳时间序列模型及其特征Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平稳时间序列模型及其特征Word文档格式.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

平稳时间序列模型及其特征Word文档格式.docx

二、滑动平均模型（MA）

有时，序列Xt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况

下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即

Xt=£

t-01£

t-1-02£

t-2--0q£

t-q（2.1.4）

此模型常称为序列Xt的滑动平均模型，记为MA（q），其中q为滑动平均的阶数，01,02…0q为参滑动平均的权数。

相应的序列X称为滑动平均序列。

使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成

Xt=（1-01B-02B2-……-0qBq）qt=0（B）£

t（2.1.5）

三、自回归滑动平均模型

如果序列｛Xt｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：

Xt=©

1Xt-1+©

2Xt-2+……+©

pXt-p+£

t-01£

t-1-02£

t-2-……-0q£

t-q

（2.1.6）

简记为ARMA（p,q）。

利用滞后算子，此模型可写为

第二节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性

首先介绍两个概念。

1序列的传递形式：

设｛Yt｝为随机序列，｛£

t｝为白噪声，若｛Yt｝

可表示为：

Yt=£

t+G£

t-1+G£

t-2++G£

t-k+=G（B）£

且近|Gk|£

，则称｛Yt｝具有传递形式，此时｛Y｝是平稳的。

系

数｛G｝称为格林函数。

它描述了系统对过去冲击的动态记忆性

强度。

2序列的逆转形式：

若｛Yt｝可表示为：

t=Yt-niYt-i-n2Yt-2--nkYt-k-=n（B）Yt

且白心|5，则称｛Y｝具有逆转形式（或可逆形式）。

MA模型

1.MA模型本身就是传递形式。

2.MA（q）总是平稳的（由上一章的例），MA（乂）在系数级数绝对

收敛的条件下平稳。

3.MA（q濮型的可逆性条件。

先以MA

（1）（Yt=£

t-i）为例进行分析。

（1）的可逆性条件为：

101<

1o如果引入滞后算子表示MA

（1）,

则Y=（1-0iB）£

t，可逆条件—：

i等价于0（B）=1-0iB=0的根全在单位圆外。

对于一般的MA（q）模型，利用滞后算子表示有：

Yt=（1-0iB-02B--0qB1）£

t=0（B）£

其可逆的充要条件是：

0（B）=0的根全在单位圆外（证明见

Box-Jenkins,P79）。

在可逆的情况下，服从MA（q）模型的序列可以表示成无穷阶的AR模型：

-1

0（B）Yt二£

MA（q）的可逆域：

使0（B）=0的根全在单位圆之外的系数向量（0

1,02,,0q）所形成的集合。

例：

求MA

（2）的可逆域。

解：

由丫―；

2二22，其特征方程为:

V（B）=1-yB-v2B2=0

该方程的两个根为:

■'

；

口4：

由二次方程根与系数的关系，有

当MA

（2）平稳时，根的模人与血都必须大于1,因此必有:

日2=<

由根与系数的关系，可以推出如下式子:

（1）

.■<

=1-

（1）

/.1/.2

由于日、小是实数，’1与'

2必同为实数或共轭复数。

又因为i1,

因此

故

-1-1

匕_K=1-

（1）

（1）：

：

/.1■■2

反之，如果|时<

1，且日2±

缶龙1。

那么从Q2|=——<

1可以推出至

九1Z.2

少有一个I扎>

1，例如，假设人卜1，则根据1-（1耳丄）（1耳丄）<

1可推出

d』"

]1）>

0，由1』>

0可以推出1巧1>

0，从而>

1。

因此,

■■1■■2■'

1■■2

RB）=1——亠B2=0的根在单位圆之外。

（平稳域为一三角形）

AR模型

1.AR（P）模型本身就是一种逆转形式

2.平稳性。

先以AR

（1）（Yt=rY-1+「），进行分析

（1）平稳的条件为-1：

i，它等价于（B）=1-iB=0的根在单位圆外。

3、在平稳的情况下，AR

（1）有传递形式：

4O0

（1-1B）丫=£

t£

二，八；

t」

1-%Bj仝

一般地，对于AR（P）模型：

（B）Yt=£

t，序列｛Yt｝平稳的充要

条件是：

（B）=0的根全在单位圆外。

此时，Yt有传递形式：

Y=「-1（B）

AR（P）的平稳域：

使（B）=0的根全在单位圆外的AR系数向量（「1,

「，……，护p,）的全体形成的集合。

练习：

求AR

（1）与AR

（2）的平稳域。

三、ARMA（p,q）模型

1、平稳性与传递形式

首先考察ARMA（1,1）的平稳性：

Yt1Yt-1=£

t-1£

“

Yt平稳mI©

1l<

1（与AR

（1）的平稳域相同）

此结论表明，ARMA（1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关，

而与滑动平均系数无关。

而且平稳条件与AR

（1）的平稳条件相同。

在平稳的条件下，Yt有上述形式的传递形式。

一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列£

平稳的充要条件是：

（B）=0的根全在单位圆外。

在平稳的条件下，Yt有传递形式Yt二

-1（B）0（B）£

2、可逆性

对于ARMA（1,1），假定可逆形式为

et=n（B）Yt二（1—niB—n2B-nkBk）Yt

代入ARMA（1,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法，比较同次冥系数可得

et=Yt-（^1_01）Yt-i_01（01_01）Yt-2-…-B1k-1（01-01）丫t-k-…

根据前面的定义（可逆性定义），应有丨011<

1。

因此，ARMA（1,1）可逆的条件是丨011<

1,它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关。

而且可逆条件与MA

（1）的可逆条件相同。

一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt,其具有可逆性的条件是：

0（B）=0的根全在单位圆外。

在可逆的条件下,Yt的逆转形

式为et=0-1（B）0（B）Yt

3、传递性与可逆性的重要意义

第三节线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数

自相关函数

1、MA（q）模型的自相关函数

设｛YJ服从:

Yt=0（B）£

t=£

t-91£

t-1—・•—Bq£

t-q=—0j£

t-j,00=—

j=0

则｛Yt｝的s阶自协方差函数为：

Y='

■0j0s+jc

=|（T（000s+010s+什…+0q-s0q）（SWq）（00=-1）

0（s>

q）

由上式，有Y=T（1+0/+…+0q）

故｛Yt｝的自相关函数（ACF）为：

PS=y/Y

—Os+3&

s十+…+0q/q

从而Y=©

iY-1=©

1us-2=…=©

自相关函数（ACF）为：

ps=y/Y=©

当丨©

1|<

1,ps—>

0,即自相关函数ps随s的增大而衰减至零。

这种现象称为拖尾性。

对于一般的AR（p）,序列的自相关函数的特征分析如下：

设Yt=©

1丫t-1+©

2丫t-2+…+©

pYt-p+£

t=©

（B）Yt+£

则自协方差函数：

Y=©

1Y-1+©

2Y-2+•…+©

pY-p

这是一个关于｛s｝的线性差分方程。

上式两边同除Y，得关于自相关函数（ACF）的线性差分方程。

ps=©

1ps-1+©

2ps-2+…+©

pps-p

在AR（p）平稳的条件下，©

（B）=0有p个在单位圆外的根a1、a2，…,ap。

根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数（ACF）服从的线性差分方程©

（B）ps=0的通解为：

-S-S-S

ps=C1a1+C2a2+…+Cpap

由于|aj|>

1,因此ps将按指数衰减（实根情形）或正弦振荡衰减（复根情形）。

这种特性称为AR（p）的拖尾性。

AR（p）的典型特征是：

ps拖尾（衰减）

3、ARMA（p,q）的自相关函数

设ARMA（p,q）的形式为：

Yt=©

2丫卜2+…+©

—1£

t-1一…—Bq£

则Yt的s阶自协方差函数为：

Y=©

1Y-l+©

2Y-2+…+©

PY-p+E（Yt£

t+s）_0lE（Yt£

t+S-1）_0

qE（Yt£

t+S-q）

1当OWs<

q时，£

t+s，£

t+S-1，…，£

t+s-q中有一部分位于t时刻以前（t+s-i<

t=3<

0），Yt与这一部分外部冲击有关，从而y除了受自回归系数的影响外，还受一部分滑动平均系数的影响。

2当s>

q时，s-q>

0,t+s-q>

t,从而£

t+S,£

t+S-1，•…,£

t+S-q全在t时刻以后，由于Yt与未来的外部冲击不相关，因此y中后面的项全为零。

1Y-i+©

它只同自回归系数有关。

两边同除Y，得Ps=©

1Ps-1+©

2Ps-2+…+©

pPs-p（s>

q）

即ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在s>

q时，与AR（p）的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。

借用前面关于AR（p）的自相关函数特征的讨论可知，ARMA

（p,q）的自相关函数（ACF）在q以后随s的增长按指数衰减或以正弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。

二、偏自相关函数

从前面的自相关函数的讨论中可看出，自相关函数的截尾性是

MA（q）的独有特征，但自相关函数的拖尾性却是AR（p）与ARMA（p,q）共有的特征，尽管ARMA（p,q）的自相关函数在q阶后开始按指数衰减或以正弦振荡衰减，但这还不足于区别AR（p）与ARMA

（p,q）,因为在实际应用中很难区分是否是从q阶开始衰减的。

因此,还需寻找序列的其他统计特征。

这就是偏自相关函数的特征。

设｛YJ是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数，是指扣出中间s-1个项的影响之后，Yt与丫t+s的相关系数。

为了考察偏自相关函数的特性，我们分析如下：

设｛Yt｝是一零均值平稳序列，我们设想用Yt_i,丫辺，…，Yt-s

的s阶自回归模型去拟和Yt,即建立如下模型：

siYt-i+©

S2Yt-2+…+©

ssYt-s+et

其中et为误差项。

si,©

s2,…，©

s..

使模型的残差方差Q=E（Yt"

sjYt-j）2=Eet2达到最小。

根据极值

j乙

条件应有：

Q/：

sj=0（j=1,2,…，s）

据此，可推出©

si,©

s2,…，©

ss所满足的方程为

其中pk（k=i，…，s）为Yt的k阶自相关系数。

此方程组称为

Yule-Walker方程。

可以证明，©

ss是在给定丫t-1,丫t-2，…，丫t-s+1的条件，Yt和

Yt-s之间的条件相关系数，即偏相关系数。

｛©

ss｝就为｛Yt｝的偏相关函数。

ss的表达式，然后进行分析。

由于求解过程比较复杂。

ss的特性。

假定｛Yt｝的真实过程为AR（p）（p阶自回归），我们用s阶自回归过程去逼近，则模型的残差方差为

Q=E[（Yt-：

sjYt-j）2]

j亠

ps2

=E[L（©

j-©

jYt-j+£

t-v©

SjYt-j）2]

j土j甘

ps22

=E[（、■（©

sj）Yt-j-v©

SjYt-j）]+c

j土*

》（T

则当且仅当

-©

Sj1<

Sj=Y

匚0p<

时，Q达到最小值。

上式表明，当s>

p时，©

ss=0,即©

pp=©

ss,s>

1｝中不为零的最后一项。

这种偏自相关p步截尾是AR（p）的典型特征。

对于AR（p）和ARMA（p,q）模型，在可逆的条件下，有逆转形式£

t=9-1（B）©

（B）Yt

这是一个无穷阶的AR模型，根据前面的讨论知，｛Yt｝的偏自相关函数不会出现截尾现象，而是无限延伸的。

（AR（p）是p阶截尾的，AR（亠）不会截尾）可以证明，其偏自相关函数呈指数衰减或正弦波衰减。

至此，我们已完全分析了各种线性时间序列模型的特征。

展开阅读全文