平稳时间序列模型及其特征Word文档格式.docx

1、二、 滑动平均模型（ MA）有时，序列Xt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆， 在这种情况下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即Xt = t- 0 1 t-1 - 0 2 t-2 - - 0 q t-q （2.1.4）此模型常称为序列 Xt 的滑动平均模型，记为 MA（q）， 其中 q 为滑动 平均的阶数，0 1, 020 q为参滑动平均的权数。相应的序列 X称为 滑动平均序列。使用滞后算子记号， （2.1.4 ）可写成Xt=（1-0 1B-0 2B2- - 0 qBq）qt=0 （B） t （2.1.5）三、 自回归滑动平均模型如果序列 Xt的当前值不仅与自身的过去值有关，而且

2、还与其 以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系， 则在用模型刻画这种动 态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这 种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：Xt= 1Xt-1 + 2Xt-2 + + pXt-p + t-0 1 t-1 - 0 2 t-2 - 0 q t-q（2.1.6）简记为 ARMA（p, q） 。利用滞后算子，此模型可写为第二节 线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性首先介绍两个概念。1序列的传递形式：设 Yt为随机序列， t 为白噪声，若 Yt可表示为：Yt= t + G t-1 +G t-2 + +G t-k + =G（B） 且近|Gk|，则称

3、 Yt具有传递形式，此时 Y 是平稳的。系1数G称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。2序列的逆转形式：若 Yt可表示为： t = Yt- n i Yt-i - n 2 Yt-2 - - n k Yt-k - = n （B） Y t且白心| 5，则称 Y具有逆转形式（或可逆形式）。MA模型1.MA模型本身就是传递形式。2.MA（q）总是平稳的（由上一章的例），MA（乂）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。3.MA（q濮型的可逆性条件。先以MA（ 1） （Yt= t-i）为例进行分析。MA（1）的可逆性条件为：101 1 o如果引入滞后算子表示 MA（1）,则Y= （1- 0 iB）

4、 t，可逆条件 ：i等价于0（B）=1- 0 iB=0的根全在 单位圆外。对于一般的MA（q）模型，利用滞后算子表示有：Yt= （1- 0 iB- 0 2B- - 0 qB1） t = 0 （B） 其可逆的充要条件是： 0 （B） =0的根全在单位圆外（证明见Box-Jenkins , P79）。在可逆的情况下，服从 MA（q）模型的序列可以表示成无穷阶的 AR 模型：-10 （B）Yt二 MA（q）的可逆域：使0（B） =0的根全在单位圆之外的系数向量（01 , 0 2, , 0 q）所形成的集合。例：求MA（2）的可逆域。解：由丫 ；2二2 2，其特征方程为:V（B） =1 - yB -

5、v2B 2 =0该方程的两个根为:T 22 ；口4 ： 2 226由二次方程根与系数的关系，有当MA（2）平稳时，根的模人与血都必须大于1,因此必有:日2 = 1由根与系数的关系，可以推出如下式子:1 1-（1 ）（1 ）.1 2=1-（1 ）（1 ）/. 1 /. 2由于日、小是实数，1与2必同为实数或共轭复数。又因为i 1 ,因此_ 11 0故-1 - 1匕 _ K =1 - （1 ）（1 ） ：:/ . 1 2反之，如果|时1，且日2缶龙1。那么从Q 2|= 1，例如，假设人卜1，则根据1-（1耳丄）（1耳丄）0，由10可以推出1巧1 0，从而1。因此, 1 2 1 2RB） =1 亠B

6、2 =0的根在单位圆之外。（平稳域为一三角形）AR模型1.AR（P）模型本身就是一种逆转形式2.平稳性。先以AR（1）（ Yt=rY-1 +），进行分析AR（1）平稳的条件为-1 ：i，它等价于（B）=1- iB=0的根在单位 圆外。3、在平稳的情况下，AR（1）有传递形式：4 O0（1- 1B）丫= t 二 ，八；t1-%B j仝一般地，对于 AR（P）模型：（B） Y t= t，序列 Yt平稳的充要条件是：（B）=0的根全在单位圆外。此时，Yt有传递形式：Y =-1（B）AR（P）的平稳域：使（B）=0的根全在单位圆外的AR系数向量（1,，护p ,）的全体形成的集合。练习：求AR（1）与A

7、R（2）的平稳域。三、ARMA （p,q）模型1、 平稳性与传递形式首先考察 ARMA（1 , 1）的平稳性： Yt 1Yt-1= t - 1 “Yt平稳 m I 1 l 1 （与AR （1）的平稳域相同）此结论表明，ARMA （1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关，而与滑动平均系数无关。而且平稳条件与 AR （1）的平稳条件相同。在平稳的条件下，Yt有上述形式的传递形式。一般地，服从ARMA （p,q）模型的序列 平稳的充要条件是： （B） =0的根全在单位圆外。在平稳的条件下，Yt有传递形式 Yt二-1 （B） 0 （B） t2、 可逆性对于 ARMA （ 1,1），假定可逆形式为e t

8、= n （B） Yt二（1 n iB n 2B -n k B k ） Yt代入 ARMA （ 1 ,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法， 比较同次冥系数可得e t= Y t - （ 1 _0 1） Yt-i _0 1 （0 1 _0 1） Yt-2 - -B 1 k-1 （0 1 - 0 1）丫 t-k -根据前面的定义（可逆性定义），应有丨0 1 1 1。因此，ARMA （1,1）可逆的条件是丨0 1 1q）由上式，有 Y= T （ 1+0 / + 0 q ）故Yt的自相关函数（ACF）为：P S= y/ YOs +3&s 十+0q/q从而 Y= i Y-1= 1 u s-2= 1

9、Y自相关函数（ACF）为：p s= y/ Y= 当丨 1 |0,即自相关函数p s随s的增大而衰 减至零。这种现象称为拖尾性。对于一般的AR （p）,序列的自相关函数的特征分析如下：设 Yt= 1丫t-1+ 2丫t-2+ + pYt-p+ t= （B） Yt+ 则自协方差函数：Y= 1 Y-1+ 2 Y-2 + p Y-p这是一个关于 s 的线性差分方程。上式两边同除Y，得关于自相关函数（ACF）的线性差分方程。p s= 1 p s-1+ 2 p s-2+ + p p s-p在AR（p）平稳的条件下， （B）=0有p个在单位圆外的根a 1、a2，, a p。根据线性差分方程解的有关理论，自相关

10、函数（ ACF）服从的 线性差分方程 （B） p s=0的通解为：-S -S -Sp s=C1 a 1 + C2 a 2 + + Cp a p由于| a j| 1,因此ps将按指数衰减（实根情形）或正弦振荡 衰减（复根情形）。这种特性称为AR （p）的拖尾性。AR （p）的典型特征是：p s拖尾（衰减）3、ARMA （p,q）的自相关函数设ARMA （p,q）的形式为：Yt= 2丫卜2+ 1 t-1 一B q 则Yt的s阶自协方差函数为：Y = 1 Y-l+ 2 Y-2+ + P Y-p + E（ Yt t+s） _0 lE（Yt t+S-1） _0qE（Yt t+S-q）1当OW sq时，t

11、+s， t+S-1， t+s-q中有一部分位于t 时刻以前（t+ s-i t =3 q 时，s- q0, t+s-qt,从而 t+S , t+S-1，, t+S-q 全在t时刻以后，由于Yt与未来的外部冲击不相关，因此 y中后面 的项全为零。 1 Y-i+ 它只同自回归系数有关。两边同除 Y，得 P s= 1 P s-1+ 2 P s-2+ + p P s-p （s q）即ARMA （p,q）的自相关函数（ACF）在sq时，与AR （p） 的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。借用前面关于AR （p）的自相关函数特征的讨论可知， ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在q以后随s的增长按

12、指数衰减或以正 弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。二、偏自相关函数从前面的自相关函数的讨论中可看出，自相关函数的截尾性是MA （q）的独有特征，但自相关函数的拖尾性却是 AR （p）与ARMA （p,q）共有的特征，尽管ARMA （p,q）的自相关函数在q阶后开始 按指数衰减或以正弦振荡衰减，但这还不足于区别AR （p）与ARMA（p,q）,因为在实际应用中很难区分是否是从 q阶开始衰减的。因此, 还需寻找序列的其他统计特征。这就是偏自相关函数的特征。设Y J是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数，是指扣出 中间s-1个项的影响之后，Yt与丫t+s的相关系数。为了考察偏自相关 函数的特性，我们

13、分析如下：设Y t是一零均值平稳序列，我们设想用 Yt_i, 丫辺，Yt- s的s阶自回归模型去拟和 Yt,即建立如下模型： siYt-i+ S2Yt-2+ ssYt-s+ et其中et为误差项。估计模型的常用方法是最小二乘法，即选择 si, s2,， sss . .使模型的残差方差Q=E （Yt sj Yt- j ） 2=Eet2达到最小。根据极值j乙条件应有：Q / ： sj =0 （j=1, 2,，s）据此，可推出si, s2,， ss所满足的方程为其中p k（k=i，s）为Yt的k阶自相关系数。此方程组称为Y ule-Walker 方程。可以证明， ss是在给定丫t-1, 丫t-2，丫

14、t-s+1的条件，Yt和Yt- s之间的条件相关系数，即偏相关系数。 ss就为 Yt的偏相 关函数。要考察 Yt服从自回归过程的情况下，偏自相关函数的特征， 就需要由Yule-Walker方程解出 ss的表达式，然后进行分析。由于 求解过程比较复杂。在此我们通过另外一条途径考察 ss的特性。假定 Yt的真实过程为AR （p） （p阶自回归），我们用s阶自 回归过程去逼近，则模型的残差方差为Q=E （Yt-： sj Yt- j ） 2j亠p s 2=E L （ j - j Yt-j + t-v Sj Yt-j ） 2j 土 j甘p s 2 2=E （、 （ sj） Yt-j- v Sj Yt- j ） + cj 土 *（T则当且仅当- Sj 1 j p Sj= Y匚 0 p j p时， ss=0,即 pp= p是AR （p）模型偏自 相关函数 ss, s 1中不为零的最后一项。这种偏自相关 p步截 尾是AR （p）的典型特征。对于AR （p）和ARMA （p,q）模型，在可逆的条件下，有逆转 形式 t= 9 -1（B） （B） Yt这是一个无穷阶的 AR模型，根据前面的讨论知，Yt的偏自 相关函数不会出现截尾现象，而是无限延伸的。 （AR （p）是p阶截 尾的，AR （亠）不会截尾）可以证明，其偏自相关函数呈指数衰减 或正弦波衰减。至此，我们已完全分析了各种线性时间序列模型的特征。